1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Построенные нормальные формы, позволяют при исследовании многих вопросов, относящихся к поведению операторов, зависящих ТЕОРИЯ ВИФУРКАЦИП [гл. 6 от параметров, ограничиваться специальными семействами— миниверсальными деформациями. Одним из таких вопросов является вопрос о строении бифуркационных диаграмм.
Д. Бнфуркационные диаграммы. Бифуркационной диаграммой семейства матриц мы будем называть разбиение пространства параметров Л по жордановым типам матриц. Семейство — это отображение А: Л-А-ч)" пространства параметров в пространство матриц, поэтому для изучения бифуркационных диаграмм следует изучить разбиение пространства всех матриц на матрицы с жордановыми формами разных типов. При этом разбиении мы объединяем вместе матрицы с одинаковыми размерами жордановых клеток, различающиеся лишь величиной собственных чисел.
Поэтому получающееся разбиение является конечной стратификацией пространства матриц. Каждый страт этой стратификации определяется совокупностью наборов п,(1) )п,(1) )... размеров жордановых клеток, соответствующих ч различным собственным числам (1(1( ч). Коразмерность с такого страта в пространстве С" меньше коразмерности й соответствующей орбиты на количество различных собственных чисел, т.
е. на тл Заметим, что простые собственные числа дают в эту сумму нулевой вклад. Применяя слабую теорему трансверсальности, мы приходим к следующему выводу. Теорема. В пространстве семейств матриц порядка п всюду плотное множество образуют семейспма, трансеерсальные стратификации по жордановым типам. Эта теорема вместе с формулами версальных деформаций п. Г позволяет описать бифуркационные диаграммы семейств общего положения. В частности, для семейств с небольшим числом параметров мы приходим к следующим результатам. 1'.
Однопараметрические семейства. Из с = 1 следует, что матрица имеет лишь одно двукратное собственное число и ему соответствует жорданова клетка' порядка 2. Такой страт мы будем обозначать аь. С л е д с т в и е. В однопараметри~ском семействе матриц оби(его вида встречаются лишь матрицы с простыми собственными числами, и при отдельных, изолированных значениях параметров— матрицы типа а' (с одной жордановой клеткой порядка 2). Если в семействе имеются матрицы более сложной жордановой структуры, пю от них можно избавиться сколь угодно малым шевелением семейства. МАТРИЦЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 2'. Двупараметрические семейства. Существует ровно два жордановых типа с с = 2: а' (одна жорданова клетка порядка 3) и аь(1А (две клетки порядка 2 с разными собственными числами).
Следствие. Бифуркационная диаграмма общего двупараметрического семейапва матриц имеет вид кривой, единственные особенности которой — точки возврата и точки само- пересечения (рис. 111). Точкам возврата соответствуют матрицы типа а' с одной жордановой клеткой порядка 3, точкам самопересечения — типа азрь с дву. мя жордановыми клетками порядка 2 при розных собственных числах, точкам кривой-с одной жордановой клеткой порядка 2. Точкам вне кривой оеиеча- Рчс 111. ют матрицы с простыми собственными числами. Если в семействе имеются магприцы более сложных типов, или бифуркационная диаграмма имеет более сложные особенности, то от них можно избавиться сколь угодно малым шевелением семейства. 3').
Трехпараметрические семейства. Имеются четыре страта с с=3: а'(Ру' (три 2-клетки), аа (две клетки порядка 1 с одинаковым собственным числом), ссзрз (2 клетки второго и третьего порядка) и ал (4-клетка). Следовательно, точечные особенности бифуркационных диаграмм общих трехпараметрических семейств имеют вид, изображенный Рнс. 112. на рис. 112. Особенность САА называется ласточкиным хвостом: эта поверхность задается уравнением Л(а, Ь, с) =О, где Л вЂ” дискриминант многочлена г~+-агз~- Ьг+с. Строго говоря, все сказанное выше относится к комплексному случаю, так что изображенные на рис. 112 поверхности следует рассматривать как комплексные.
Версальные деформации вещественных матриц построены Д. М. Галиным (Д. М. Галин, О вещественных матрицах, зависящих от параметров, УМН, 27, 1 (1972), 241 — 242). Построение производится следующим образом. Пусть вначале вещественный оператор , для которого ищется версальная деформация, имеет единственную пару комплексно сопряженных собственных чисел х + гу (уФО) с жордаиовыми клетками размеров п,)и,~..., так что пг+пз+...=п.
Тогда в некотором вещественном базисе в Й~ ~гл, е твоуия виол'акции матрица оператора имеет такой же вид, как матрица овеществления комплексного жорданового оператора А,: С"- С" с единственным собственным числом х+ (у-и жордановыми клетками размеров и, ) п»р:..., т.
е. вид А <х — уЕ) (2) где Х вЂ” верхнегреугольная жорданова вещественная матрица с соб- ственным числом х и )глеткамн размеров и, )и»==:..., а Š— еди- ничная матрица порядка и. Оказывается, в качестве минимальной версальной деформации веи(ественной матрицы А» можно взять овен(еспмление минималь- ной комплексной версальной деформации комплексной матрицы А,. Например, в качестве минимальной версальной деформации ве- щественной матрицы четвертого порядка с двумя жордановыми клетками второго порядка и с сгйственными числами х-+ (у можно взять четырехпарамегрическую деформацию, которая получается при 'овеществлении комплексной версальной деформации <О ')+<', ') т.
е. деформацию 'с параметрами р„р„г„т,: г х 1 — у О О О О О О х Π— у р, у, — т, — т» з=х+(р, у О х 1 О О О О Л»=Р»+(т» + О у О к т, т, рг р Каждая вещественная матрица подобием над полем веществен- ных чисел приводится к блочно-диагональиому 'виду, в котором р каждому вещественному собственному числу отвечает вещественная жорданова матрица, а каждой паре комплексно сопряженных соб- ственных чисел — блок вида (2). Версальная вещественная деформация приведенной к такому виду матрицы (с наименьшим возможным числом параметров) полу- чится, если заменить каждый блок его минимальной версальной деформацией. Минимальное число параметров неществеиной вер- сальной деформации дается, таким образом, формулой й = ~ [и (Л)+оп» (Л) + ба» (Л) +...], » '» где суммирование распространяется на все т собственных чисел» как вещественных, так и комплексных.
Явные формулы версальных деформаций и таблицы бифурка- ционных диаграмм вещественных матриц приведены в работе Галина для й — т(3. Для приложений в механике составлены таблицы ". версальных деформаций симплектических и гамильтоновых (инфини- тезимально симплектических) матриц (имеются в виду деформации, МАТРИЦЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ сохраняющие симплектичность): Д. М. Г а л и н, Версальные деформации линейных гамильтоновых систем, Труды семинара им. И Г.
Петровского, 1975, вып. 1, стр. 63 — 74. Одно из применений полученных бифуркационных диаграмм состоит в следующем. Предположим, что при изучении какого- либо явления получилась бифуркационная диаграмма иной структуры, чем перечисленные здесь, Тогда, вероятно, произошло одно из двух: либо при идеализации явления пропущено что-то существенное, что может качественно изменить структуру диаграммы, либо имеются какие-нибудь специальные причины для дополнительной кратности спектра или для негрансверсальности к жордановой стратификации (например, симметрия или гамильтоновость задачи). Е. Задача о классификации особенностей деиремеит-диаграмм.
В качестве одного из приложений версальных деформаций матриц мы рассмотрим здесь решение следующей задачи. Пусть дано семейство лниейнйх однородных автономных дифференциальных уравнений. Как известно, асимптотика решений при Г -ь+со определяется тем собственным числом оператора, задающего уравнение, которое имеет наибольшую вещественную часть, Спрашивается, как эта вещественная часть зависит от параметров? Указанная вещественная часть (со знаком минус) в технике называется декрементом. Таким образом, наша задача состоит в исследовании поведения декремента при изменении параметров системы. Повеление декремента при изменении параметров удобно описывать, указывая на плоскости (в пространстве, ...) параметров линии (поверхности, ...) уровня декремента.
Семейство линий уровня декремента на плоскости значений параметров мы будем называть декремент-диаграммой. Вид декремент.диаграммы сильно меняется от семейства к семейству; в некоторых случаях декремент-диаграмма может иметь весьма сложные особенности. Оказывается, однако, что в семействах общего положения могут встречаться только некоторые простейшие особенности декремент-диаграмм: все более сложные особенности распадаются при малом шевелении семейства. В настоящем параграфе описаны все особенности декремент-диаграмм двухпаракетрических семейств общего положения. Классификация особенностей декремент-диаграмм общего положения может оказывать при исследовании зависимости систем от параметров такие жв услуги, какие классификация особых точек общего положения оказывает при исследовании фазовых портретов.
Появление на декремент.диаграмме особенности не общего положения должно вызывать тревогу: оно может объясняться специальной симметрией секейстза или может свидетельствовать о неадекватной идеализации (енекоррехтностиз), при которой неучтенные в уравнениях малые эффекты (например, «паразитные связи» в радиотехнике) способны качественно менять картину. Классификация особенностей двупараметрнческих декремент-диаграмм общего положения содержит, в частности, исследование особенностей границы области устойчивости в трехпараметрических семействах линейных уравнений общего положения (поверхности нулевых декрементов).
Полученные результаты можно применять и к нелинейным системам, имеющим стационарные точки, гладко зависящие от параметров: декремент линеаРизации нелинейной системы в такой точке будет, кзк функция параметров, иметь лишь простейшие особенности (в случае семейства общего положения). При применении полученных результатов к нелинейным системам нужно, однако, исключить часть гранины области устойчивости, соответствующую нулевым корням, тэк как на ней зеряется гладкая зависимосп стационарной 8 В, И.
Арнольд 226 1гл. а ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ точки от параметров. Таким образом, описание особенностей границы области устойчивости для нелинейных систем общего положения (и описание декремеитдиаграмм в окрестности точек втой границы) требует дополнительного исследования. Мы вернемся к этому вопросу в следующих параграфах. Прн изучении итераций отображений, а также уравнений с периодическими коэффициентами или движений в окрестности периодической траектории, роль декремента играет наибольший из модулей собственных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
