1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 55
Текст из файла (страница 55)
линии нулевых инкрементов) на уу г Устгг. плоскости параметров двупараметрических систем общего положения. Из наших теорем вытекает х Следствие. Граница устойчивости об«цто двунараметрич ского се- Не~ст. мйт. мейства матриц состоит из гладких гх дуг, пересекающихся тронсеерсально Г1 в своих концевых гаечках. ! с 1 Заметим, что точки излома границы устойчивости могут быть, по класси- ст У фикацин пп.
И и К, ты поз Р,' («жорданова Х 2-клетнаэ) или Е«, Г', («простой обгонэ). Каждая нз дуг грайицы устойчивости Ю( продолжается поэтому за свои концевые точки без потери гладкости. При этом суммарное число точек излома типов Х Е«и Е1 на каждой замкнутой компоненте границы устойчивости всегда четно. )г )( Заметим также, что проведенный анализ особенностей инкремента двупа- 5 раметрических семейств достаточен для исследования границы устойчивости в трехпараметрических семействах. В самом деле, особые точки стратов нораэмерности 3, а также критиче- У скис точки сужений и икр емента на стра- Ой ты коразмерности О, 1 и 2 по теореме трансверсальности можно удалить с границы устойчивости малым шевелением семейства.
Таним образом, граница устойчивости общего семейства состоит из гладких поверхностей, а ее особенности лежат на кривых, по которым граница устойчивости пересекается с поверхностями типов Еп и в точках пересечения границы устойчивости со стратами Ое (наследные в общих трехпараметричесних семействах проявляются в виде кривых). Двигаясь вдоль такой кривой Оп мы можем рассматривать наше трех- параметрическое семейство как однопараметрическое семейство двупараметрнческих (два параметра †координа в трансверсальной к Ое площадке, однн— координата г вдоль Ог). Рассматривая нормальные формы пи. и и К,мы дола«ны теперь считать все постоянные сола( и произвольные функции ф гладко вавнся«цнми от параметра А Более того, в случае общего положения мы можем прынять за параметр г самы зти функции у (х, у, г).
Мы приходим, таким образом, к следуюйгему выводу. Рис. 118 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ !Гл. з С л е д с т в и е. Особенности границы устойнигости общего тргхпараметричгсного семгйстеа матриц такие же, кан особенности графиков инхрементоа общих дгупараметрических семейств «). Эти особенности, с пючностью до диффеоморфизма ««), исчерпываются следующим списком (рис. 118): Деугранный угол (Рг): ! у,'+г=о. Трехгранный угол (Оьа, а): г+шах (х, ! у !)=О Тупик на ребре (Ог): г+(йе Усх+~у! О. (Эта поверхность е Р~ диффеоморфна **) поверхности, заданной урагненигм ХУз=хз, где Х~О, Ухео).
Иэлом ребра (От)' г+ Х (х, у) = О, где Х вЂ” наибольшая из егщгстеенных частей корней уравнения Хз=хХ+у. (Эта поверхность е Р диффеоморфна *') поеепхност и, заданной у раею н игм Хауз = Ее, где Х ) О, У с е О ) Углы границы устойчивости направлены всегда наружу, вклиниваясь в область неустойчивости. Повидимому, зто — проявление весьма общего принципа, согласно которому все хорошее хрупко.
Из сказанного вытекают также некоторые глобальные свойства границы устойчивости. Например, если зта граница замкнута, то суммарное число вершин типов (Оь 1) 1) четно, равно как и число вершин типов От и Ог вместе. Доказательства приведенных теорем можно найти в статье: В. И. А р н о л ь д, Лекции о бифуркациях и версальных семействах, УМН 27, 5 (1972), 119 — 184, $31. Бифуркации особых точек векторного поля В этом параграфе рассматриваются однопараметрические семейства дифференциальных уравнений.
Исследуются бифуркации особых точек для семейств общего положения. А. Кривая особых точек. Рассмотрим векторное поле, гладко зависящее от параметра. Предположим, что при некотором значении параметра поле имеет особую точку. Поставим себе вопрос: что будет происходить с особой точкой при изменении параметра? Теорема. Осрбая точка векпюрного поля, гладко зависящего от параметра, сама гладко зависит от параметра, пока все собственные чясла линейной части поля в особой точке отличны от нууя. 4 В окрестности изучаемой точки и изучаемого значения параметра семейство полей в п-мерном фазовом пространстве задается п функциями от и+1 переменной (от .и фазовых координат и от параметра е).
Особые точки задаются системой и уравнений относительно и+1 переменной, о (х, е) = О. По теореме о неявной функции, эти уравнения локально определяют гладкую кривую х= у(е), если в рассматриваемой начальной точке определитель ди!дх отличен от нуля. Но этот определитель равен произведению собственных чисел линеаризации поля в особой точке.
Он отличен от О по предположению. > *) Точно так же особенности границы устойчивости (и+1)-параметрических сечейстз — такие же, как у графиков инкрементов п-параметрических. **) Речь идет об отображении, продолжаемом до диффеоморфнзма окрестности поверхности. э зп БНФУРКАЦНИ ОСОБЫХ ТОЧЕК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 235 Замечание. Особые точки, в которых все собственные числа линеаризованного поля отличны от нуля, называются невырожденными.
Таким образом, если поле гладко зависит от параметра, то, его особые точки гладко зависят от параметра, пока они остаются невырожденными. Проведенное выше доказательство сохраняет силу при любой размерности пространства параметров. У поля общего положения все особые точки невырождены. Однако, если рассматривается семейство векторных полей, то при некоторых значениях параметра могут возникать вырождения, неустранимые малым шевелением семейства. Исследуем вырождения в однопараметрических семействах общего положения векторных полей в и-мерном пространстве. Рассмотрим (и+ 1)-мерное пространство, являющееся прямым произведением фазового пространства и оси значений параметра в.
Будем обозначать точку фазового пространства буквой х. Наше семейство задает семейство дифференпиальных уравнений х=о(х, е). Рассмотрим в нашем я+ 1-мерном пространстве множество, образованное особыми точками уравнений семейства при всех значениях параметра (рис. 119): е Г=(х, е: о(х, в) =О). Рис. !19. Теорема. Для семейства общего положения множество особых точек является гладкой кривой. Здесь и далее слова «семейства общего положения» означает «семейства из некоторого всюду плотного множества в'пространстве всех семейств»; всюду плотное множество, о котором идет речь, открытое, если область определения семейства компактна или если семейства рассматриваются в тонкой топологии (см. 9 29); во всяком случае это всюду плотное множество является пересечением счетного количества открытых множеств.
4 Теорема вытекает из теоремы трансверсальности (9 29), или из леммы Сарда (э 10). Действительно, по теореме о неявной функции, à — локально гладкая кривая, если 0 — не критическое значение локального отображения 1«""-»-)с', (х, е) о(х, Б). Но для отображения общего положения значение 0 не критическое. ~ Замечание.
В этой теореме размерность пространства параметров также несущественна. Доказанная теорема сразу исключает некоторые бифуркации особых точек. Рассмотрим, например, бифуркации, изображенные на рис. 120 слева. Из теоремы следует, что при малом шевелении семейства 236 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ ~гл. б такие бифуркации не сохранятся.
Действительно, легко видеть, что, вообще говоря, эти бифуркации распадаются при малом шевелении одним из указанных на рис. 120 справа способов. Если в какой- либо задаче появляются бифуркации вида, указанного на рис. 120 слева, то это свидетельствует о том, что рассмат- Х )( риваемое семейство не общего положения. Это может быть связано с какой-либо особой симметрией ситуации, или же может свидетельствовать о неадекватной идеализации, при которой мы пренебреглн каким-либо малым эффектом, способным, однако, качественно изменить поведение особых точек в зависимости от параметра.
Рис. !Ю. Чтобы указать, какой именно из случаев имеет место в реальной системе, при идеализации кото. рой возникла не общая бифуркация, нужно вычислить некоторые из отброшенных при идеализации членов дифференциального уравнения. Формулы следующих разделов подсказывают, какие именно члены нужно вычислять. Б. Бифуркационные значения параметра. Предположим, что множество особых точек семейства является гладкой кривой (гапк (до!д (х, е)) = л). Рассмотрим отображение проектирования этой гладкой кривой на ось значений параметра.
Точки, в которых кривая плохо проектируется на ось е — это как раз вырожденные особые точки. Действительно, по теореме о неявной функции в окрестности невырожденной особой точки кривая особых точек является графиком гладкой функции от параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
