1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Б, мы без труда приходим к следующим нормальным формам янкремента вблизи точек стратов коразмерности один. У Т е о р е и а. В окрестноспш некрипшческой точки сужения инкремента семейства общего положения на кри- У, вую Рг можно выбрать гладкие координиты (х, у) на Вг плоскости пирометров так, юпо инкремент ) примет один из следующих трех видов (рис.
!16): Случай Ргг (жорданова клетка): У ! = сопз(+ у+ ( О, есяи х(0. Случай Рзь и Рзг (простой обгон): У (= соп51+х+ ! у !. Кривые Рг и Ргз разделяют области вещественных е Е, Р гг н комплексных корней Р, н 0ь. Линни уровня ннкремента подходят к кривой Р, со стороны вещественных корней с касанием, а со стороны комплексных — трансверсально. К кривым Рз и Рг линия уровня декремента подходят в точках Рю Рг трансе ь версально с обеих сторон. Угол линий уровня, меньший 180', образуюшнйся на линиях излома Рг, во всех случаях содержит направление уменьшения ( вдоль линия. Рнс..
116. Т е о р е и а. В окрестности критической точки сухсения инкремента семейства общего положения можно выбрать координюпы (х, у) гпак, что инкремент пРимет один из ниже яеречисленньт 12 видов (рнс. 116). Случаи Р» и Р», й=1, ..., 4 (условный зкстремум прн обгоне): (=сонг!+ех~+<р(у)+,'у(, е=( — 1)", где р (у) ау+ ...— гладкая функция, а) О, а ~ 1. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ (гл.
а Четыре значения й получаются прн комбинации двух знаков е и двух возможностей для а: й ( 1, 2 3, 4 а ((О, !) (1, + со) Нечетные й соответствуют условному максимуму, а четные — минимуму. Чтобы получить ясное представление о виде декремент-диаграммы, достаточно рассмотреть случай «р(у)=ау: в аюм случае линии уровня ) состоят из кусков двух парабол, сдвигаемых вдоль осн у.
Случаи Ра. й= 1, ..., 4 (условный эистремум с жордановой клеткой а»): »' (=сопя!+ах»+ф (у)+ О, если у(0. Здесь а=-+. 1, ф(у)=ау+...— гладкая функция, оные. Четыре значения й получаются при комбинациях знаков в и а: й ! '1 2 3 4 знаке, знак а~ — — — + + — ++ Нечетные й соответствуют условному максимуму, а четные — минимуму. Чтобы получить ясное представление о виде декремейт-диаграммы, достаточно рассмотреть случаи ф (у)=-«- у.
Наша теорема утверждает, что никаких других особенностей во внутренних точках кривых р, кроме особенностей перечисленных 15 видов г» (15 = = 3+ 12), инкремент двупараметрического семейства общего положения не имеет; если в некотором семействе есть другие особенности, то от них можно избавиться сколь угодно малым шевелением семейства. Особенности же уы ь очевидно, неустранимы. К.
Строение декремент-диаграмм вблиаи стратов коразмерности 2. При исследовании особенностей стратов коразмерности 2 в двупарамет- рических семействах общего положения можно рассматривать только «самые невырожденные» случаи, так как любое вырождение повышает коразмерность, и особенность становится устранимой. Комбинируя теорему трансверсальности и явные формулы для нереальных семейств матриц из п, Б, мы приходим к следующим нормальным формам инкремента вблизи точек стратов коразмерности 2. Теорема. В окрестности точки каждого стратп коразмерности 2 (6» в обозначениях п. 3) на плоскости пираметрое семейстьо общего положения можно еыбрать гладкие координаты (х, у) так, что инкремент 7" примет один из нижеперечисленнык 18 видов (рис.
117). Случаи 6(- (жорданова клетка порядка 3): (=Ф(х, у)+Л(х, у), где Л вЂ” наибольшая нз вещественных частей корней кубического уравнения Л»=хЛ+у, а «р — гладкая функция, такая, что (дф/дх) (О, 0)=а Ф О. Вид декремент-диаграммы определяется знаком числа а. Знак «+» или « — » в 6» отвечает а)0 и а(0 соответственно. Чтобы 1 составить себе ясное представление о виде декремент-диаграммы, достаточно рассмотреть случаи ф=-+.х. К точке х=у=О подходит две касающиеся в ней особые кривые: луч Р» (у=О, х ( 0) и половина полукубической параболы Р» (4х»=27у', у сО). Этй две кривые отделяют область комплексно-сопряженных корней»1, (выпуклую) от области вещественных корней ()».
При движении вдоль грайицы областей О, и О» инкремент ( в случае а~О меняется моно- тонно, а в случае а (О имеет в точке 6» минимум. Со стороны )г» линии уровня ( касаются полукубической параболы Ум млтииыы, злиисящин От пАРАмвтвоь Случаи 6~ (комплексная пара жордановых 2-клеток): г=ф(х, р)+) йег' х+(у). Здесь йе — вещественная часть, ~р — гладкая функция, такая, что(йр)дх) (О, 0) = = а ныл. Вид декремент-диаграммы определяется знаком числа а.
Знаки + и — в 6ан отвечают а)0 и а(0 соответственно. Чтобы со ставить себе ясное представление о виде декремент-диаграммы, достаточно рассмотреть случаи ф -+- х. К точке х =у=О подходит (и кончается в ней) луч Ра Рис. 117. (у=О, х(О). В случае а«сО функция 7 имеет в точке 6з (х=у=О) минимум. В случае а) 0 точка 6з~ (я=у=О) — топологически неособая для функции ). Проходяшая через зту точку линия уровня функции ( имеет особенность полукубического типа.
Случаи 6„" (а=1, ..., 6; столкновение комплексной пары с жордановой клеткой): )=со 1+ +пах~ Р х, ф(х, У), если хвмО, О, гр(х, у), если к=-О. Здесь <р (х, р) = ах+ ар-)-...— гладкая функция, а ~ О, Ь ~ 0 и Ь ~ — 1. Шесть значений Ь получаются при комбинировании двух возможностей для знака а и трех интервалов изменения Ь: Гг ' ! 2 3 4 Ь б знак а ! + + + интервал Ь! (О + оо) (О*'+ ~) ( Чтобы составить себе ясное представление о виде декремент-диаграммы, достаточно взять функцию ф линейной.
К точке подходят три гладких луча Ра (гл, а ТЕОРИЯ БИФУРКАИИИ Р„ Р, причем Рт и Р вдут навстречу друг другу (с касзцием первого по- ядка), а Рз подходит трансверсзльно со стороны комплексных корней, О,. случае бч (т. е когда а<О, Ь< — 1) инкремент имеет в точке к=у=О е ь минимум; в остальных случаях точка 6 (Ь чь 5) — топологически неособая . точка функции !. Случаи 6ь (Ь= 1 2 3) (двойной обгон). <р=сопз1+х+шах()у ), ~р(х, у)), где ~р(л, у)=ак+Ьу+...— гладкая функция, а <О, Ь) О, а+1 чь-+-Ь.
Три значения й для 6 соответствуют интервалам изменения а: ь Гг ! 1 2 3 условие на а~Ь вЂ” 1<а — Ь вЂ” 1<а<Ь вЂ” 1 а< — Ь вЂ” 1 Чтобы составить себе ясное представление о виде декремент-диаграммы, дортаточно взять функцию <р линейной. В каждом из трех славен (Ь= 1, 2, 3) в точке 6, сходятся трансверсально ь трн гладкис ветви кривой Р,.
В последнем случае эта точка †миним инкре- мента, в первом и втором-топологически неособая точка. При подходе к точке 6ь по й из трех лучей инкремент убывает, а.ло остальным растет. Слумги 6"(Ь= .+. 1, -~- 2, 3) (двойной обгон с участием вещественного г ь корня). Инкремент дается той же формулой, что в случаях 6„но приходится различать больше вариантов в зависимости от того, какому из векторов соот- ветствует вещественный корень. Отрицательным Ь соответствуют случаи, в которых на линии Рз (на кото- рой сталкиваются комплексные пары) при подходе к точке 6, декремент растет. а Два других луча в ветви кривой Р .
Л. Обсуждение. Рассматривая перечисленные выше нормальные формы, можно прийти к ряду выводов общего характера о строении декремент-диаграмм нак в малом, так н в целом. Прежде всего из наших теорем вытекает С л е д с т в и е. Инкргмент у: А Р двупараметрического семейства общего положения топологически эквивалентен гладкой функции, имеюшрй лишь просите критические точки.
А именно, точки минимума — это точки типов 111, Р;, 6гл, 6зв 6ь,з. 1 * Топологиче ки эквивалентны седлу точки 1)г и Ри В окрестности точек максимума (01) иикремент — гладкая фунхцня. Точки всех остальных типов топологически неособые. Иэ сформулированного следствия вытекают, очевидно, неравенства для чисел особых точек разных типов.
В частности, если какая-либо замкнутая линия уровня инкремента ограничивает однссвязную область, то суммарное число точек типов Тэ!', Р), 6, э, 6з 6а,з внутри епюй области на единицу больше числа точек Рл), Рес. Неизвестно, переносится ли утверждение следствия на 1-параметрические семейства с 1 ) 2 '). Из того, что отрезки Рт и Р, вместе образуют замкнутые кривые и нз описания особенностей на найцах отрезков Ра вытекает ') Заметим, что в случае 1 2 особенноста инкремента общего семейства такие же, как особенности наибольшей вещественной часты корня злгйбраического уравнения, коэффициенты которого †функц общего положения от 1 параметров. Пйы (ут 3 зто уже ие так: инкремент может иметь более сложные особенности. МАТРИЦЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Следствие.
Если лространаяео нараметров Л вЂ” замкнутое двумерное многообразие, то числа точек тинов О, и Ог одинаковой четности, и суммарное чисел точек тинов 0«, Оз. О«, 6«четно. Если рассматривать в качестве пространства параметров Л компактную область с краем, трансверсально пересекающим Ее н не проходящим через точки Оп то результат изменится следующим образом: суммарное число точек типов От и Ов одинаковой четности с суммарным числом точек пересечения края с Ет и Ее, а суммарное число точек типов О„Ов, 0„0,— с числом у( . П Х у(уз««йщ Л точек пересечения края с Ез. У Я Проведенное исследование инкре- Га мента позволяет, в частности, изучить Х особенности границы устойчивости Е (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
