1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Если этот модуль отличен от единицы, то его особенности (как функции от цараметров в семействе общего положения) такие же, как у декремента семейства общего положения. Поэтому далее рассматривается только декремент. При исследовании модулей собственных чисел в нелинейных задачах указанных только что типов результаты настоящего параграфа применимы вне границы устойчивости, и в тех точках границы, для которых единица — не собственное число. )К. Декремент-диаграммы.
Рассмотрим семейство линейных операторов А в евклидозом пространстве(ч", гладко зависящих как от параметра ат точки А пространства параметров й, А (Х): Р"-~ (г'. Оп р еде лен не. Оикрелентом *) семейства назовем функцию / от параметра, значение которой в точке А равно наибольшей вещественной части собственных чисел оператора А (А): /(А)= !пп — 1п!(ел Ф!г(!. г +ьэт Функция / непрерывна, но не обязательно дифференцируема. Наша задачз— изучение особенностей функции / для двупараметрйческих семейств общего положення. Таким образом, пространством параметров й можно считать пло.
скость йз или область на плоскости. Семейство линий уровня функции / на плоскости й мы будем называть декремент-диаграммой. Черточка поперек линии уровня (абергштрихэ топогра. фов) будет указывать направление ската, т. е. направление, по которому / уменьшается. Иными словами, черточка направлена в сторону повышения устойчивости. П р и ме р. Рассмотрим дифференциальное уравнение у=ха+уй, х аависящее от двух параметров, (х, у). Матрица соя ответствующей системы имеет вид 3 Декремеит-диаграмма изображена на рнс. 113. Парабола 4х+уз О делит плоскость (х, у) на Рис.
113. две части. В каждой из нкх инкремент †глад- кая функция. Слева от параболы собственные числа комплексные и /=у/2. Справа собственные числа вещественные, = (у -»- у'4х+уз)/2. Линии уровня ннкремента †касательн к параболе луча. Все точки параболы являются особыми точками декремент-диаграммы. Им соответствуют матрицы А с жордзновой клеткой порядка 2. При пересечении параболы слева направо линейное изменение инкремента сменяется коренным.
*) В технике величина )/! называется декрементом при / ( О и инкрементом при /~ О. 227 МАТРИЦЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Ясно, что указанная здесь особенность неустранима малым шевелением семейства. Существуют и другие неустранимые особенности; наша цель — их полное перечисление. 3. Страты коразмерностн одни м два в пространстве матриц. Если максимальную вещественную часть имеет одно вещественное собственное число матрицы А (Лэ) или одна пара комплексно-сопряженных собственных чисел '), то инкремент — гладкая функция в окрестности рассматриваемого значении паРаметРа Ач.
Гладкость теряется лишь в случае, когда собственное число с максимальной вещественной часзью не единственно. Матрица, у которых максимальную вещественную часть имеют несколько собственных чисел сразу, образуют эамкнугое полуалгебраическое'*) подмногообразие Р в пространстве гсл всех матриц порядна л. Коразмерносгь этого многообразия равна единице, а его дополнение состоит из двух открытых компонент: 7УР сшрагл (а). мансимальную вещественную часть имеет ровно одно вещественное собственное число.
ьзз. Саврасо (а ск йо). Манснмальную вещественную часть имеет ровно одна комплексно сопряженная пара. Многообразие Р легко стратифицировать. Страты максимальной размерности (коразмерности 1) исчерпываются следу1ощим списком: РР Строга (цз). Максимальную вещественную часть имеют ровно два совпадающих собственных числа; они веществейны и им отвечает жорданова клетка порядка 2. Г,. Сглрагл (гэ, а ск йо). Мансимальную вещественную часть имеют ровно три собственных числа: одно вещественное и одна комплексно сопряженная пара.
Г,. Строга (а.+- йе,, а -~- йзэ). Максимальную вещественную часть имеют равно две разные комплексно сопряженные пары. Ясно, что страты Ры Рэ, Рэ — гладкие регулярные незамкнутые непересел' кающиеся подмногообразия кораэмерности один в пространстве всех матриц )сл . Остаток Р ~,(Р,ЦРз()Рэ) многообразия Р (многообразия матриц с неединственным собственным числом с максимальной вещественной частью) является замк. нутым полуалгебраическим **) подмногообразием коразмерности двз в пространстве всех матриц )лл . Страты максимальной размерности многообразия Р~,(Р,ОРэ()Рэ) имеют кораэмерность 2 в )г'". Их легко перечислить: СР Строга (гзэ).
Максимальную вещественную часть имеют ровно три собственных числа; они вещественны и им отвечает жорданова клетна порядка 3. Сз. Слграт ((а.+- иэ)'). Максимальную вещественную часть имеют ровно две совпадающие пары комплексно собственных чисел; им отвечают жордановы клетки порядка 2. бэ. Сгораю (сгз, а.+. йо). Максимальную вещественную часть имеют ровно четыре собственных числа; двум вещественным отвечает жорданова клетка порядка 2, а два комплексных образуют комплексно сопряженную пару. Сы Слграт (а, а л- 1ы„а .+- иоз).
Максимальную вещественную часть имеют ровно пять собственных чисел: одно вещественное и две разные комплексно сопряженные пары. бэ. Страт (а+ гыы а+ йэз, а+ (ыа). Максимальную вещественную часть имеют ровно три разные комплексно сопряженные пары. ') Здесь и дальше считается, что числа комплексно сопряженной пары не вещественны. *л) Г)олуалгебраичесним подмногообразием линейного пространства называется конечное обьединение множеств, заданных конечными системами полино. мнальных уравнений и неравенств. 8* 1гл. е ТЕОРИЯ БИФУРКАНИИ Страты б! — 6! являются регулярными незамкнутыми непересекающимися яодмногообразиями*) коразмерности 2 в пространстве всех матриц (чп .
Оста. ток Р~ () Рг~,, () б! является замкнутым полуалгебраическим подмногообразнем коразмерности 3 в )с'! . Из слабой теоремы трансверсальности ($ 29) вытекает Следствие. В двупарамстричвских семействах матриц общсво положе пиа нс встречаются матрицы, имеющие наборы собственных чисел с максимальной вещественной чаапью, отличные от пгрвчислснпык выше (Рг, Р!, 6!); вти жс поборы вгтрк й Рс чаются лишь трапсвсрсальпо. Е й Таким образом, в семействе общего положения ! ! наборы собственных чисел коразмерности 1 (РД й„.Р Д! встречаются на гладких кривых в плоскости пара- 3 Гч Р! е ров, имеющих о бые точки лишь в х точ Р! 5 ках плоскости параметров, где появляются наборы коразмерностн 2 (б;). Последнее обстоятельство может иметь место, лишь в изолированных точках плоскости параметров. Рве. !14.
Отрезки Р, н Рь, если присоединить к ним нх особые точка бг, образуют кривые, которые делят плоскость параметров на части двух типов: О! и Р,. Нетрудно сообравить, что все отрезки Рз лежат в части 0а. /(алев, точки б! (аа) лежат на стыке Рг (аз) и Рз(а, а чс йо). 6! ((а чс !ю)з) прймыкают к Рз (а чс (юб а чп ио,). бв (а', а ш ио) — на стыке Р1 (аз), Рз (а, а ь иь), Рз (а чс гюх,з). бв(а, а чс йег,а) — на стыке Рз(а, а чс йо) и Рз(а чн йаг,а). 6„(а -г йвч,а,ч) примыхают к Ра (а -ь гют, !) На рис.
Н4 взображен (гипотетический) пример конфигурации, которую могут образовывать зтн линии на плоскости параметров в семействе общего положения. И. Строение декремент-диаграмм вблизи точек стратов норазмерности б н 1. На дополнении к множеству особенностей Р инкременг / †гладк функция параметров. Однако у декремент-диаграмм в некоторых точках етого до. полнении могут быть особенности: ото †критическ гочки функции /. Вне Р инкремент семейства общего положения имеет лишь простые критяческне ючкн, т.
е. точки следующих трех типов, превращающихся в б, если различать случаи вещественных корней (Р!) и комплексных (Рз):! О,'. Минимум. В окрестности рассматриваемой точки плоскости парамет' ров можно выбрать гладкие координаты бл у) так, что инкремент будет иметь Вид / сап!1 + хз+ у!. О/. Седло. В подходящих координатах /=сон!1+ха — у'. Р!. Максимум. /=сон!1 — хз — у!. Изучим теперь поведение функции / вблизи неособых точек множества Р, т.
е. вблизи внутренних точек кривых Р! плоскости параметров. Здесь следует различать два случая: точка кривой Р! может быть некритической для ннкремента, рассматриваемоге как гладкая функция на втой кривой, но может быть н критической. )в ср чь,.п,а, ч,, ~,, и„ вия: прн и 2 — Ра н Рх, при п 4 — Ра, бз, бы при п=б-бр имеют по две компоненты, МАТРИЦЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Из теоремы трансверсальности вытекает, что в семействах общего положения критические точки сужений ннкремента на кривые Рг могут быть только невырожденнымн максимумами илн минимумами. Соединяя зту информацию с явными формулами версальных семейств матриц нз п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
