1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Бернштейн, А. Г. Хованский). Пусть )= 2„Г„х — числовой формальный ряд по степеням переменных х„..., х„(х х, »...х~а). Рассмотрим октаит решетки целых точек т с неотрицательными координатами та. У Обозначим этот октант через Е» . О п р е д е л е н и е. Носи»лелем ряда ) называется множество точек т из октанта Е», для которых ) ~ О.
Обозначение: зцррГ=(т ев Е+.Г ~О~. Оп р ед еле н'и е. Многогранником Ньютона ряда г называется выпуклая оболочка обьединения параллельных Е+ октантов с вершинами в точках носителя в октанте )ч+ вещественного линейного "ространства. Обозначение: Гг =выпуклая оболочка обьединения т+Е», т ~зпррг. Многогранник Ньютона называется удобным, если он пересекает все координатные оси. Т е о р е м а. Пусть дани л удобных многогранников Ньютона ы ...;Г». 214 тиория виеирклцин [гл. е Рассмотрим векторное поле о,д/дх +...+о,д/дх„, где многогранники Ньютона для компонент о, ..., о„суть Г„..., Г,. Тогда кратность )ь особой точки нуль нашего векторного поля не меньше, чем определяемое ниже число Ньютона т(Г„..., Г„) и совпадает с ним для почти всех полей с данными многогранна коми Ньютона компонент (для всех полей, исключая гиперповерхность в пространстве полей с данными многогранниками).
3 а м е ч в и и е. Условие удобиости многогранников ие является огреииче. кием, так как можно доклввть, что его выполнения можно добиться добавле. кием членов сколь угодно высокой степени, ие меняющих кратности (если только оиа конечна). Для определения числа Ньютона системы удобных многогранников нам потребуется понятие смешанного объема. Пусть à — удобный многогранник Ньютона. Под объемом ьг(Г) мы будем понимать объем, (невыпуклой) области между нулем и границей многогранника Г в положительном октанте Ьс+.
Пусть Гы à †д удобных многогранника Ньютона. Суммой Г,+Г, назйвается арифметическая сумма, т. е. множество всевозможных сумм векторов из Г, и из Г,. Сумма также является удобным многогранником Ньютона. Таким образом, удобные многогранники Ньютона образуют коммутативную полугруппу. Из этой полугруппы обычным методом строится группа (она называется группой Гротендика): эле. ментом группы является формальная разность двух многогранников Ньютона Г,— Г„причем по определению Г,— Г,=Г,— Г, если и только если Г, + Г, = Г, + Гв.
Построенная группа определяет также линейное пространство над полем вещественных чисел:, если Л положительное число, то. ЛГ означает многогранник, полученный из Г гомотетией с центром в О с коэффициентом Л. Объем У(Г) однозначно продолжается иа. это линейное пространство в качестве формы степени и (доказа. тельство этого не совсем очевидного факта оставляется любознательному читателю в виде упражнения). Каждая форма степени и единственным образом представляется в виде значения симметричной и-линейной формы при совпадающих аргументах; например, а' = аЬ | а = Ь, аЬ = Ца+ Ь)' — а' — Ьву2.
Определение. Смешанным объемом (Минковского) системы многогранников (Г„..., Г„) называется значение на наборе. (Г„..., Г„) той единственной симметричной п-линейной формы, которая совпадает с объемом У(Г) при Г,=...=Г„=Г. Обозначение: $'(Г„..., Г„). Пример. В плоском случае п=2 и смешанный объем пары (Г„Г,) ° (Г(гм Г,) =(~ (Г,+ Г,) - У(Г,) - У(гя)))2. МАТРИЦЫ, ЗАВИСЯШИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ э ея Определение. Число Ньютона т(Г„..., Г„) определяется следующим образом: т(Г„..., Г„)=п(Р(ГМ .
Г ) Пример. В двумерном случае пусть Г„Г, ограничены прямыми, пересекающими оси координат в точках (ам Ьт) для Г, и (пм Ь,) для Г,. Тогда т(Г,, Г,) равно ппп(а,Ь„аАЬ,). Следовательно, почти всегда кратность особой точки равна )А = ппп (а,Ь„а,Ь,). й 30. Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декремент-диаграмм В качестве подготовки к исследованию бифуркаций особых точек векторных полей мы рассмотрим здесь задачу о нормальной форме семейств эндоморфизмов линейного пространства. А. Задача о нормальной форме матриц, зависящих от параметров.
Приведение матрицы к жордановой нормальной форме в не устойчивая операция, если среди собственных чисел есть кратные. Действительно, сколь угодно малое изменение матрицы может при наличии кратных собственных чисел совершенно изменить жорданову форму. Поэтому если матрица известна лишь приближенно, то приведение ее к жордановой нормальной форме в случае кратных собственных чисел практически невозможно. Оно и ие нужно, так как матрица общего вида не имеет кратных собственных чисел.
Кратные собственные числа возникают неустранимым малым шевелением образом в случае, когда мы интересуемся не отдельной матрицей, а семейством матриц, зависящих от параметров. В этом случае, хотя мы и можем привести к жордановой нормальной форме каждую индивидуальную матрицу семейства, как эта нормальная форма, так и приводящее к ней преобразование будут, вообще говоря, разрывно зависеть от параметра.
Таким образом возникает вопрос о том, к какому простейшему виду можно привести семейство матриц, гладко (для оп))еделениости, голоморфно) зависящих от параметров при помощи гладко (голоморфно) зависящих от параметров замен координат. рассмотрим множество всех квадратных комплексных матриц и~рядка а как линейное пространство размерности и'. Отношение подобия матриц разбивает все пространство С"* на многообразия (Орбиты линейной группы): две матрицы лежат в одной орбите, если у них совпадают собственные числа и размеры жордановых клеток Из-за собственных чисел это .разбиение континуально. — 216 теОРия БиФРРкации ~гл. 6 В качестве грубой модели можно представлять себе разбиение трехмерного пространства на страты многообразий кь+уь — г'= С (рнс.
108). Семейство матриц задается отображением пространства параметров семейства в пространство матриц ч' . Оказывается, среди всех .семейств матриц можно выделить такие семейства, что приведение к ним осуществляется уже гладко зависящей от параметров заменой базиса (и гладкой заменой параметра). Такие семейства называются версаль- ными деформациями (точное определение см. ниже). Версальные деформации с минимальным возможным числом параметров называются миниверсальными. Ф Таким образом, миниверсальные деформации — это нормальные формы с наименьшим возможным числом параметров, при приведении к которым можно сохранить гладкую зависимость от параметров. ' а Пример, Если все собственные числа диагональной матрицы различны, то в качестве ее миниверсальной деформации можно взять семейство всех диагональных матриц (параметры †ссбств- :.'Р' ные числа). Мы укажем ниже миниверсальные деформации- произвольных матриц.
Б. Версальные деформации. Определение. Семейством матриц мы будем называть голоморфное отображение А: Л-э ч'", где Л вЂ” окрестность начала коор- 4' динат в некотором пространстве параметров Ю'. Росток семейства А в точке 0 мы будем называть деформацией матрицы А (О). Деформация А' матрицы А (О) называется экаиаамнтной деформации А, если существует такая деформация единицы С, по А (),)=С())АР)(СР.))-. Пусть ~р: (М, О)-+.(Л, О) — голоморфное отображение (Мс$"', 3 Лс Сг). ;я Определение. Семейством, индуцированным цз А при отображении <р, называется семейство ~р*А: (<р*А) ((ь) = А (<р (й)), (ь ~ М. Индуцированная деформация ~р*А матрицы А (О) определяется й' такой же формулой.
Определение. Деформация А матрицы Аь называется версальной, если любая' деформация А' матрицы А, зквивалентна ' ".,"" деформации, индуцированной из А. Версальная деформация называется универсальной, если зто индуцирующее отображение ~р определяется деформацией А' однозначно. Версальная деформация '4 МАТРИЦЫ, ЗАВИСЯШИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ называется миниверсальной, если размерность пространства параметров — наименьшая возможная для версальной деформации. Пример. Семейство диагональных матриц с диагональными элементами (схс+ХД, где все а, различны, а Лс — параметры дефор; мацки, является нереальной, универсальной н миниверсальной деформацией матрицы (иД. Семейсгво всех матриц С" определяет п'-параметрическую версальную деформацию любой своей матрицы.
Однако, эта деформация не является, вообще, говоря, ни универсальной, нн миниверсальной. Размерность миниверсальной деформация произвольной матрицы дается следующей теоремой. Обозначим через а, собственные числа матрицы А, и пусть и (ас)~п,(сьс)вм...— размеры принадлежаших а, жордановых клеток, упорядоченных, начиная с наибольшей. Теорема 1. Наименьшее число параметров версальнай деформации матрицы Аь равно ~ [и- (аД+ Зп, (ас)+ бпе (сх,)+...1. Сами миниверсальные деформации можно выбирать по-разному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
