1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тем самым доказывается формальная жесткость отрицательного норыального расслоения эллиптической кривой на поверхности. Более внимательный анализ нашего построения доказывает и аналитическую жесткость (т. е. теорему Грауертз): доказательство сходимости здесь настольно же проще, чем в случае Р =О, исследованном в п. п. Ж, 3, насколько теорема Пуанкаре проще теоремы Зигеля ($28).
)ь Л. Положительные окрестности. Предположим, что индекс самопересечення эллиптической кривой на поверх. ности положителен. В этом случае гомологнческое уравнение, изученное !93 ФОРмА'ОкрестнОсти пллиптическОП кривОН в предыдущем пункте. вообще говоря, неразрешимо, так как ) ви«ч й«+т) растет при ) в )-ь со.
Зго значит, что окрестность эллиптической кривой с положительным индексом самопересечения на общей комплексной псаерхностн не только не отображается бнголоморфно на охре«тиос«ь втой кривой в нормальном расслоении, но такое отображенве невозможно уже на уровне 2.струй (т. е.
с пренебрежением членами 3-го порядка по отношению к расстоянию от кривой), Окрестность эллиптической кривой с положительным индексом само- пересечения называется положительной. Положительная окрестность эллиптической кривой, согласно сказанному выше, должна иметь модули, и более того, функциональные модули: «нормальная форма« окрестности должна содержать произвольные функции (и даже, по-ввднмому, функции двух переменных или- ростки функций двух переменных в нескольких точках). В то время иак кривая с отрицательным индексом самопересечения лежит на поверхности изолировано, эллиптическую кривую с положительным индексом самопересечения всегда можно деформировать. Теорема (частный случай теоремы Римана — Рока).
Если индекс санонсрсссчвния эллиптической кривой на поверхности ровен р, то нормальнм расслоение имеет р линейно нсзависиммя сечений. ч( Вопрос сводится к однородномулгомологнческому уравнению вида и («р+ ю) Хе'«Реи («р), имеющему, как мы видели в пункте К, р линейно независимых решений. Ш Переходя к членам высшего- порядка относительно расстоянию до зллиптической кривой, можно убедиться, что существует р-параметрическая деформация кривой в ее окрестности. Отсюда- следует, между прочим, что окрестность зллиптнческой кривой на поверхности, где кривая имеет положительный индекс самопересечения, как правило не допускает струнтуры расслоения нзд этой кривой.
Действительно, комплексная структура эллиптической кривой при деформацяи, вообще говоря, меняется. Поэтому среди близких продеформироваяных кривых будут встречаться, в общем случае, кривые, не допускающие биголоморфного отображения на исходную кривую. Прн изучении прохождения дифференциальных уравнений через резонанс встречаются лишь окрестности эллиптических кривых на таких поверхностях, где онн имеют индекс самопересечения нуль. М.
Эллиптическая вривая в пространстве. Многое из того, что сказано выше об окрестности эллиптической 'кривой на поверхности, переносится на случай эллиптической кривой в многомерном пространстве. Для этого в приведенных выше формулах следует считать переменную г многомерной. Векторные расслоения произвольной размерности най эллиптичесной кривой описываются склейками (г, «р) (г, ~р+2н) (Л (и) г, «р+ю), где Л (~р)— линейный оператор в жордановой нормальной форме о собственными числами вида )лсре. Расслоение называется отрицательным (нвноюжинмльным, нулшмм) если все числа р положительные (неотрицательные, нулевые).
Предположим, что нормальное расслоенне эллиптической кривой отряцательно. Тогда окрестность кривой в многообразии биголоморфно отображается на ее окрестность в нормальном расслоении (теорема Грауерта), т. е. нормальное расслоение жестко. В классе нулевых нормальных расслоений жесткость нарушается лишь с вероятностью ноль. условие резонанса. имеет внд )«ьв«ьн, где й целое число, йн )снт...)ь"т, т=й)ш(г), н)~0, г'н.м:2. У В. И. Арнольд !94 НОРМАЛЬНЫИ ФОРМЫ !Гл. 6 Нерезонансное расслоение формально-жесгкое. Для настоящей голоморфной жесткости достаточно обычного неравенства (С, «)-нормальности: )ллг'аа —,Хл!)СЦн!.(-)Ь!) «, !л!=аз+ ... -(-нт, для всех н)0, ~н!)2 в целых Ь.
Мера множества векторов Х, которые ни при каких (С, «) ) 0 ые (С, «)-нормальны, равна нулю. жесткость с вероятностью 1 имеет (по-видимому) место также и для неположительных расслоений. Вопрос о строении окрестностей кривых рода больше единицы изучен весьма мало, исключая случай, когда нормальное расслоение отрицательно ы, следовательыо, жесткое по теореме Грауерта.
В 28. Доказательство теоремы Зигелы В этом параграфе доказывается теорема о голоморфной локальной зквивалентносты отображения и его лийейной части в неподвижной точке. А. Формулнровиа теоремы. Определен не. Набор (Хг, ..., 3,н) зиО' имеет мультипликативный тил (С, «), если че!)С!Ь~-«(!Ь! Ь,( ! Ь )а да! дан~ для любого з ы для любого целочисленного. вектора Ь с неотрицательными ,компонентами по модулю большего единицы (С)0, «)0). Теорема. Предположим, что набор собственных чисел линейной части голоморфного отображения в окрестности неподвижной нючни 0 в О' имеет мультипликативный тин (С, «). Тогда а некоторой окрестности точки 0 отображение бигаломорфно эквивалентно своей линейной части.
Пусть А — задаыное в окрестности тайны 0 <а С' бнголоморфное отобра. жение, оставляющее 0 на месте, н пусть линейный оператор Л вЂ” линейная часть А в О. Утверждается, что существует оставляющий О на месте биголоморфный в окрестности точки 0 диффеоморфизм Н, такой, что Н.
А ° Н з= Л в некоторой окрестности точки О. Мы будем доказывать эту теорему в случае, когда все собственные числа Ал оператора Л различны. В этом случае можно выбрать систему координат так, . чтобы матрица оператора' Л была диагональной. Зафиксируем такую систему координат. В. Построение аамены координат Н. Запишем данное отображение А и замену Н в виде А (г) Лг+а (г), Н (г) =г+Ь (г), где ряды Тейлора а и Ь в нуле не содержат членов степени 0 и !. Запишем отображение Н ° А.Н"зг вычисляя члены нулевой н первой степеней относи.
тельно Ь н а. Мы получаем (Н ° А Н-з) (г) Лг+!а (г) — ЛЬ (г)+Ь (ЛгД+К Ца), (Ь)) (г), где остаточный член )! имеет относительно а я Ь второй порт!он малости в смысле, который будет точно определен далее. Мы заключнлн аргументы у К в квадратные скобки, чтобы подчеркнуть, что этот оператор дей™ствует ва функцыи, а не на их значения в точке г. Рассмотрим гомологическое уравнение относительно Ь ЛЬ(г)-Ь(Лг)- (г).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ Здесь ряды Тейлора известной вектор-функции а и неизвестной Ь не имеют свободных и линейных членов. В классе таких рядов уравнение однозначно разрешимо, так как набор собственных чисел нерезонансный. Мы докажем в п. В, что полученные~ряды сходятся, если набор собственных чисел имеет мультипликативный тип (С, т) при каких-нибудь положительных С и т. Обозначим через У оператор, переводящий правую часть а гомологичесного уравнения в его решение Ь=У ([а)). Определим по индукции функции а, Ь, формулами Ь,=У([ае[), альт=И([ае), [Ье[) начиная с ае а. Построим отобрЪжения Нэ, Н„..., определенные формуламн Н (г) = г -1- Ь (г).
Искоыая замена координат дается, как мы докажем, формулой Н= 1!ш Не'" 'Нт'Нь е са В. Исследование гомологического уравнения. Мы предполагаем, что ряды Тейлора правой части и решения гомологического уравнения йЬ (г) — Ь (йг) = а (г) не имеют свободных и линейных членов. Через [г[ мы будем обозначать шах [г/). Лемма 1.
Пусть набор сгйственныг чисел диагонального линейного оператора й имеет мультипликативный тип (С, т). Предположим, что правая часть а гомологичесеого уравнения непрерывна в полицилиндре [ г/ [ щ. г и голоморфна внутри етого пояициеиндра. Тогда гомологачеснсе уравнение имеет решение Ь, гаеоморфное внутри полицилиндра, причем для любого 6, татого, что 0(6(1/2, выполняется неравенство шах )Ь(г) [( шах [а(г)',/6", 1е1,ц се-а ! е1< г где положительная поспюянная а =а (й) не зыисит ни от 6, ни от а, ни от г. «1 Разложим а и Ь в ряды Тейлора и обозначим коэффициенты при г"ее через аь и Ьеь соответственно.
Тогда Ь',=аде/(Л вЂ” Ль). Оценим числители при помощи неравенств Коши для коэффициентов Тейлора, а знаменатели — исходя нэ того, что ()се) типа (С, т).. Обозначим шах [а(г) ! через М. Согласно неравенству Коши, [а~а~~ 1е1 Щг ~ М/г' 1. Следовательно, ) Ьеа )( МС 2 ! Ь [ч/г1" .
Оценим сумму Тейлора ~Ьаегь. Рассмотрим члены степени [Ь [=р. Их число не превосходит ст(п) р" Ч поэтому [ ~', А~~ге(Мсзры [(г/г)"[, где 1[а1 се=с,/С и т=т+и — 1. Функция лые л имеет максимум (т/е)"', поэтому рте аи/2~сед ы, где сз=(2т/е)"'. Следовательно, при 12~(ге ь имеем [Ь[(Мсэб т г', е р 2 Мсэб™/(в — еэ/2), [Ь[(Мсьб 'ы+м, где се 4сзсэ не зависит от а, г, 6[» В дальнейшем нам потребуется кроме оценки функции Ь еще оценка функции Ь й, определяемой условием (Л. й) (г) =Ь (йг). Тч НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ (гл. з Л е и м а 2.
В условиях леммы 1 щах ,'й(Лг)(< шах 1'а(г) 1/би«, г«Ь 1«1<«' едв повотипыяьная постоянная ыь=аь(Л) нв мыисигп от 6, а, г. ч( Начнем со следующего замечания. Пусть (Ц имеет мультипликативный пшп (С, «). Тогда 'существует такая нв зависящая от й аостоянная Сь, что ~А,— Хь 1 гвС ~ й ! «! Эа! двя всех в=1, ..., и и двя всех целочисленных векторов й с неотрицательными компонвнпами сумма которых ) й) кв мвныив 2.
щ Обозначим шах ( А ( через р. При 1)ьь ( <2р можно взять С«=С/2р. При ~ У'() 2р.можно взять Сь — — 1/2. ~ Оценивая ряд Тейлора, получаем на основании доказанного предложения 1й (Лг) ) < ~ МС« ' ) й ~1«) "Аь ~ т ( )ььгь/га (. Дальнейшие оценки — как в доказательстве леммы 1. щ Г. Порядок операторов. Для проведения дальнейших оценок удобно ввести следующие обозначения. Пусть / — функция, непрерывная в полицилиядре 1г ~ <г, голоморфная во внутренних точках и обращающаяся в нуль в центрр полицилиидра. Мы введем для таких функций норму '1/$ = гпр 1/(г) (/1г(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
