1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 42
Текст из файла (страница 42)
в окрестности нулевого. "ч82 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ (ГЛ. а Решения приводится к автономной нормальной форме х = Лх биеаломорфным 2п-периодическим по ( преобразованием (тео рема 3 и геля ,для случая периодических коэффициентов). 4 Доказательство обычное, см. й 2В.
Ф Ж. Окрестность замкнутой фазовой кривой. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение й = п (х), -имеющее периодическое решение и, следовательно, замкнутую фазовую кривую. Все сказанное выше об окрестности нулевого решения уравнения с периодическими коэффициентами непосредственно переносится на этот случай. Действительно, в окрестности замкнутой фазовой кривой можно выбрать координаты так, что поле направлений, заданное векторным полем о, будет полем направлений уравнения с периодическими коэффициентами, причем размерность фазового пространства уменьшится на единицу (координата, меняющаяся вдоль фазовой кривой, станет называться временем), 3 а м е ч а н и е.
Если фазовое пространство — многообразие, то .окрестность замкнутой фазовой кривой может оказаться не диффеоыорфнзй прямому произведению окружности на трансверсальный диск. П р и м е р. Фазовое пространство — лист Мебиуса, фазовая кривая — его осевая окружность. Вообще, окрестность окружности в многообразии не будет пря.Мым произведением, если и только если многообразие не ориенти.Руемо и окружность — его дезориентирующий путь. В этом случае для перехода к уравнению с периодическими коэффициентами приходится прибегать к двулистному накрытию исходной окружности.
3. Связь с функциямн последования. Теорию нормальных форм уравнений с периодическими коэффициентами можно было бы вывестн из теории нормальных форм их отображений последования, т. е, нормальных форм диффеоморфизмов в окрестности неподвижной -точки. Обратно, изучение днффеоморфизма в окрестности неподвижной точки йожно свести к исследованию уравнения с периодическими коэффициентами. для которого этот диффеоморфизм является функцией последования. В случае конечной и даже бесконечной вещественной гладкости построение дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами ч) по данному отображению последования не представляет больших трудностей.
В аналитической илн голоморфной ситуации положение более сложно. Зтот вопрос эквивалентен вопросу об аналитической (голоморфной) тривиальности аналитических (голоморфных) расслоений над круговым кольцом, в предположении топологической тривиальности. Хотя в сущности положительный ответ и следует ,нз теории пучков и многообразий Штейна, доказательство, насколько мне известно, не опубликовано (я благодарен В.
П. Паламодову н Ю. С. Ильяшенко .за разъяснения по этому поводу). Мы не будем вдаваться в эту теорию, тем ") Включить данное отображение в фазовый поток автономного уравнения, вообще говоря, нельзя (пример — диффеоморфнзм окружности с иррациональ.ным числом вращения, дифференцируемо не эквивалентный повороту, см. $11). й 261 УРАВНЕНИЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 183 более, что все необходимые для изучения дифференциальных уравнений и диффеоморфизмов результаты можно не выводить одни из других, а получать независимо, используя тот же метод доназзтельства.
И. Случай усяовио-периодических коэффициентов. Метод Пуанкаре допускает непосредственное обобщение на случай условно-периодических коэффициентов. Речь идет об уравнении 2=Лх+о(х, а), ф=аг где <р точка . г'-мерного тора, а — постоянный вектор, Л: ч'а-ьО' линейный оператор (не зависящий от.ф), о — векторное поле, линейная часть которого в точке х=О равна нулю. На компоненты вектора частот а накладываются обычные условия нормальной несоизмеримости.
Условия резонанса имеют в этой ситуации вид Аг=((й, а)+(т, ).), где й пробегает решетку целых точек г-мерного пространства, а т удовлетворяет обычным условиям тр)0, ~',та~2. Функция о предполагается аналитической (голоморфной) по х и <р, периода 2п по ~р=(~рх, ..., <р,). Доказывается приводимость. системы, к виду у=Лу, ф=а аналитической (голоморфной) заменой х=у+й(у, ф), 2зх-периодической по гр (Э. Г. Бе лага, О приводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности условно-периодического движения, ДАН СССР, 143, 2 (1962), 255 — 258,) Недостатком этой теории является, несовершенство теории линейных уравнений с условно-периодическими коэффициентами: в то время как для уравнений с периодическими-коэффициентами постоянства линейной части можно было добиться подходящим периодическим линейным преобразованием координат, для уравнений с условно- периодическими коэффициентами предположение о независимости Л от гр является существенным ограничением.
К. Проблема приводимости линейных уравнений с условно- периодическими коэффициентами; Под линейным уравнением с условно-периодическими коэффициентами ниже понимается система У=А(<р)х, ф=а, где хеи'ч'а, фен Т', а — вектор с целочисленно назависимыми компонентами, А(ф) — линейный оператор в О'. т84 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ [гл. Б Таким образом, уравнение задается парой (А, ю), где А есть тладкая функция на таре с операторными (если угодно, матричными) значениями, а ю — вектор на торе. Определение. Линейное уравнение с условно-периодическими коэффициентами приводимо, если существует такая (гладкая) операторная функция на торе В, что замена х=В(ф)у превращает исходное уравнение в уравнение с постоянными коэффициентами у=Су.
Проблема приводимости состоит в том, 'приводимо ли линейное уравнение общего положения. Неизвестно даже, не существует ли в функциональном пространстве аналитических пар (А, ю) области, свободной от приводимых систем.. Вопрос о приводимости линейных (и нелинейных) уравнений .с условно-периодическими коэффициентами естественно возникает при исспедовании окрестности инвариантного тора автономного уравнения, несущего условно-периодические движения. Сам этот тор обычно отыскивается при помощи последовательных приближений, которые в случаях общего положения как правило можно .модифицировать.так, чтобы одновременно как получить инвариантный тор, так и привести к нормальной форме уравнения в вариациях вдоль него, обойдя таким образом нерешенную проблему при.водимости (по существу используется приводимость для некоторой «невозмущенной» задачи).
$27. Нормальная, форма окрестности эллиптической кривой Теория Пуанкаре нормальных форм дифференциальных уравнений в окрест- :насти особой точки имеет близким аналогом теорию пормвльпых форм окрестностей элляптяческкх кривых яв комплексных поверхностях. В настоящем параграфе .коротко рассматривается этв теория, являющаяся приложением методов теории дифференциальных уравнений к аналитической геометрии к сама имеющая приложения в теории дифференциальных уравнений (см.
4 36). А. Эллиптические кривые. Эллилщкческай кривой называется одномерное комплскскав многообразие, гомеоморфяас тору. П р я м е р. Рассмотрим плоскость комплекского переменного С к двв 'комплексных числа (ыы ыэ), отношение которых яевсществеяяо. Отождсствпм .каждую точку ф кз С с точкой, полученной яз ясс сдвигами яв ы» я яз ы (з следовательно, я со всеми точкэмя ~р+я,ю, +азы», где йь аэ — целые числа). .После такого отождествления плоскость С преврвтятся.в эллиптическую кривую Г = С/в,Е+ ю»Е Таким образом, эллиптическую кривую Г можно представить себе кзк пзрвл.лслогрзмм со сторонами (ю», ыэ), в котором отождествлеяы соответственные тачка яв противоположных сторонах.
Можно доказать, что конструкцией описанного примера получаются (с точ- яостью до бяголоморфпой эквяввлсяткостя) все эллиптические кривые. Этот ,факт †отню яс очевидная теорема. 4 271 ФОРМА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ ' 18Ь Рассмотрим, например, полосу 0 ( 1ш)р ( т и склеим все точки )р, )р+2л, а также склеим точки краев полосы, отождествляя точку)р с)р+И+о+0,5 з!и р при вещественных )р. Полученное многообразие биголоморфно отображается нз фактор-многообразие С)агЕ+ызЕ, но дохазать это не летно.
При т-ь О, вероятно, ы,/юз стремится к числу вращения при обычных диофантовых условиях. Числа ы, и вз называются периодами кривой. Если умножить оба периода на одно и то же комплексное число, то получатся новые периоды, которые задают эллиптическую кривую, биголоморфно эквивалентную исходной. Поэтому периоды всегда можно выбрать тзк, чтобы ых=2л. В таком случае мы будем обозначать второй период через ы. Всегда можно считать, что 1ш ы) О.
Разным ы соответствуют, вообще говоря, биголоморфно неэквивалентные эллиптические кривые (точнее, кривые биголоморфно неэквивалентны, если соответствующие решетки ы,Е+ы,Е не переводятся друг в друга умножением на комплексное число). 3 а д а ч а *). Докажите, что фазовые кривые одномерного уравнения Ньютона с потенциальной энергией 8 или 4 степени — эллиптяческие кривые (если их рассматривать в комплексной области). У н а з з н и е. Роль координаты )р на накрывающей эллиптическую кривую плоскости играет время Г движения по фазовой кривой, определенное соотношением Ж=дх)у (время называется также эллиптическим интегралом яереоеа рода).
3 а д а ч а. Пусть потенциальная энергия — многочлен 4 степени С двумя .минимумами. Докажите, что периоды колебаний (не обязательно малых) с одинаковой полной энергией в обеих ямах совпадают. Указание. Интегралы первого рода вдоль любых двух меридианов торп одинаковы. 3 а д а ч а.
Пусть потенциальная энергия — многочлен третьей степени с локальными максимумом и минимумом, Докажите, что период колебаний в яме равен периоду движения из бесконечности в бесконечность по некомпакт-. ной фззовой ириной с тем же значением полной энергии. 3 а и е ч а н'и е. Подбирая потенциальную энергию третьей илн четвертой степени, можно получить любую эллиптическую кривую. Поэтому из результатов предыдущих задач следует, что эллиптическая кривая является алгебраическим многообразием. Б.
Простейшие расслоения над эллиптической кривой. Простейшей поверхностью, содержащей эллиптическую кривую, являетсп прямое произведение эллиптической кривой на комплексную прямую. Подобно тому, как над окружностью кроме прямого произведения окружности на прямую есть нетривиальное расслоение со слоем прямая (лист Мебиуса), над эллиптической кривой, кроме прямого произведения, существуют другие расслоения со слоем С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
