1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Рассмотрим расслоение плоскости двух комплексных переменных на комплексные прямые. Мы будем называть слои этого расслоения 'вертикальными прямыми. Координаты в Сх мы будем обозначать (г, )р), причем координата г будет считаться вертикальной, а )р горизонтальной. Наше расслоение С'= С сопоставляет точке (г, )р) точку )р горизонтальной комплексной прямой. Пусть à †эллиптическ кривая, накрываемая горизонтальной прямой Кривая Г получается из горизонтальной оси )р отождествлением точек, различающихся на целые кратные периодов (ым гоз). Отождествим на плоскости Се вертикальные прямые, проекции которых на горизонталь различаются на целые кратные периодов. Такое отождестзле')е' *) ) .

*) о топологии римановых поверхностей, имеющихся.в любом курсе теорив функций комплексного переменного. 186 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 1гл. а цие превратит Сз в расслоение над эллиптической кривой Г. Но само отождествление вертикальных прямых можно провести разными способами (подобно тому, как при склеивании расслоения над окружностью из прямоугольнина можно получать либо цилиндр, либо лист Мебиуса, в зависимости от того, как склеиваются вертикальные прямые). Прэстейшйй способ склейки состоит в том, что мы отождествляем точку (г, ф) с точками (г, ф+ы,) и (г, ф+ыг).

Прн этом получается прямое произведение. Следующий по сложности способ склейки включает подкручивание склеиваемых вертикальных прямых. Пример. Пусть Х вЂ” комплексное число, отличное от нуля, и пусть Г— эллиптическая кривая с периодами (2п, е). Отождествим на плоскости Сд с координатами (г, ф) точки (г, ф), (г, ф+2п), (Хг, ф+ы). После такого отождествления С' превращается в гладкую компленсную поверхность В, а расслоение Сг-ьС, (г, ф)ь ф, превращается в расслоение Ь-ч-Г, бааой которого является эллиптическая кривая Г, а слоем С.

Уравнение г 0 задает вложение Г в Г,. Поверхность ь. можно представить себе следующим образом (в случае вещественного Л). Рассмотрим вещественное трехмерное пространство с горизонтальной плоскостью (ф гм ~3), расслоенное на вертикальные прямые. Рассмотрим полосу 0 «1гп ф «1ш еь Склеим вертикальные плоскости, ограничивающие эту полосу, отождествляя точку (г, ф) на вертикальной плоскости 1шф=О (г— координата по вертикали) с точкой (Хг, ф+ю) на плоскости 1гпф 1шю.

Кроме того, склеим точки, различающиеся лишь на 2п по координате ф. Получится расслоение над эллиптической кривой, слоем которого является прямая. Чтобы представить себе комплексную поверхность ь, остается заменить вещественные вертикальные прямые комплексными. Топологичсски построенное расслоение является прямым произведением. Однако с голоморфной точки зрения это расслоение, вообще говоря, нетривиально.

В. Тривиальные и нетривиальные расслоения. Теорема. Пусть ЛФ гыи, й гм Е. Тогда никакая окрестность зллиптичвской кривой Г в описанной вишг поверхности ь нг опюбражавтся бигсломорфно на окрестность втой кривой Г в прямом произведении. 4 В прямом произведении кривую Г можно деформировать: для любого в равнецне г=е определяет эллиптическую кривую в прямом произведении. усть Г, — эллиптическая кривая в пространстве расслоения 3, близкая к кривой Г, являющейся нулевым сечением расслоения (уравнение Г имеет вид г=О).

Тогда кривая Гг задается уравнением г=г(ф), где г(ф+2п) =г'(ф), 1(ф+ш) = л((ф). Разлагая г в ряд Фурье г=ьгьгг"э, находим )ьвгьи=лгэ. Следонательно, Та=О и Гг совпадает с Г. Итак, наша эллиптическая кривая в расслоении с Х~ггэы не деформируема.

~ Задача. Доказать, что при Х=г'ьа расслоение Г- Г является прямьщ произведением (голоморфио тривиально). Зада ч а. Доказать, что расслоения Г„- Г, Гг Г, заданные компленснымя числами Лг, Хз, биголоморфно эквивалентны если и только если Хг=Х,г'э" для некоторого целого й. 3 а и е ч а,н и е. Классы биголоморфной эквивалентности расслоений описанного вида над фиксированной эллиптической кривой Г образуют группу (умножение состоит в перемножении чисел Х). Из результатов предыдущих задач следует, что зта группа естественно отождествляется с фактор-группой мультипликативной группы комплексных чисел по подгруппе чисел вида ггэ". Фактор-группа Сг/(ггам) сама биголоморфио отображается на исходную эллиптическую кривую. Зтз группа называется также вруппвй Пикара или многообразием Якоби кривой Г (эти понятия определяются не только для эллиптических кривых, но для произвольных алгебраических ьшогообразий, и в общей ситуации не совпадают с исходным многообразием).

ФОРМА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ !8Т 3 а д а ч а. Рассмотрим расслоение над эллиптической кривой, заданное отождествлениями ~Р) (Аьг' 7+юг) (Хит, ф+Ф ). докажите, что это расслоение биголоморфно эквивалентно расслоению с ыт=йп, ьг=!. Замечание. Можно доказать, что все топологически тривиальные одномерные вехторные расслоения над эллиптической кривой биголоморфно эквивалентны описанным выше расслоениям Г,-«Г.

Г. Топологнчески нетривиальные расслоения над эллиптической кривой. Топологически все описанные выше расслоения тривиальны (гомеоморфны прямому произведению). Инвариантом, позволяющим различать топологически неэквивзлентные расслоения, является индекс самопересеченкя нулевого сечения. Пусть Мт Мз †гладк ориентированные компактные подмногообразия ориентированного вещественного гладкого многообразия М (речь идет о многообразиях без края).

Предположим, что размерность многообразия М равна, сумме размерностей многообразий Мт н М . Предположим, что М, и М, пересекаются трансверсально (т. е. в каждой точке пересечения касательное пространство к первому и второму подмногообразиям в сумме дают хасательиоо пространство к объемлющему многообразию М). Индексам пересечении Мд и Мз в М называется число точек пересечения с учетом ориентаций (точка пересечения считается со знаком плюс, если положительно ориентирующий М, репер вместе со следукицим за ним положительно ориентирующим Мз репером определяют репер, положительно ориентирующий М). Пусть Мт — ориентированное гладкое компактное подмногообразие половинной размерности в М.

Индекс самалересечекия Мт в М определяется ках индекс пересечения Мт с многообразием Мз, полученным из М, малой деформацией и пересекающим Мг трансверсзльно. Например, индекс самопересечения меридиана тора равен нулю, так как соседние меридианы не пересекаются.' Можно доказать, что индекс самопересечения Мт в М не зависит ат выбора многообразия Мз, лишь бы оно получалось из Мд малой деформацией. Зада ч а.

Найти индекс самопересечения сферы Зз в пространстве еа касательного расслоения. Ответ. +2. Вообще, индекс самопересечения многообразия в своем касательном расслоении равен эйлеровой характеристике многообразия. Рассмотрим теперь одномерное векторное расслоение В -« Г над эллиптической кривой, полученное из расслоения С'-» С склейкой вертикальных прямых (вертикальная координата обозначена через г) по правилу (г.

ф) (, ф+2 ) (йеглчг. ф+ю), где р целое число, Х вЂ комплексн число, отличное вг нуля. Задача. Найти индекс самопересечения нулевого сечения (г=О) в пространстве полученного расслоения, считая, что я ориентирована как комплексное многообразие (ориентации комплексных многообразий определяются так, что индекс пересечения комплексных плоскостей всегда положителен: пространство с комплексными координатами (з„ .... г„) ориентируется координатами яе ат, 1п'зы ...., Веак, 1гпг„). Ответ: — р, если 1шы) О.

3 а м е ч а н и е. Полученными расслоениями исчерпываются, с точностью до бнголоморфиой эквивалентности, все одномерные веиторные расслоения нзд эллиптической кривой. 4. Окрестность эллиптической кривой на комплексной поверхности. Рассмотрим эллиптическую кривую иа комплексной поверхности. Окрестность хривай на поверхности определяет одномерное векторное расслоение над эюй кривой † карлааьнае расслоение. Слоем нормального расслоения в точке 188 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ [ГЛ. з кривой является фактор-пространство касательного пространства к поверхности в этой точке по подпростраиству, касательному к кривой.

Пространство нормального расслоения само является комплексной поверхностью. Исходная эллиптическая кривая вложена в эту поверхность (как нулевое сечение расслоения). Возникает вопрос, будет ли достаточно малая окрестность кривой иа исход.ной поверхности биголоморфыо отображаться иа ее окрестность в нормальном расслоении. Оказывается, этот вопрос весьма близок к вопросу о приводимосты дифференциального уравнения (или гладкого отображения) в окрестности неподвижной точки к линейной нормальной форме и решается теми же методами. Покажем прежде всего, что окрестность эллиптической кривой иа поверхаости может вообще ие расслаиваться голоморфио над этой кривой.

П р к и е р. Рассмотрим семейство эллиптических кривых, такое, что соседние кривые семейства биголоморфыо ие эквивалентны друг другу. Такое семейство можно получить, иапрямер, отождествляя иа плоскости двух комплексных переменных (~р, в) точки (<р, ы), (<р+2п, в), (ф+ы, ю). Область !шы) 0 превращается после отождествлений в объединение эллиптических кривых .в=сола[. Никакая окрестность ни одной из этих кривых ие отображается голоморфво на зту кривую так, чтобы сама кривая оставалась иа месте. Действительно, если бы такое отображение было возможным, мы получили бы близкое к тождеству биголоморфное отображение эллиптических кривых с близкими разиымы ы друг на друга, что невозможно.

Оказывается, рассмотренный пример является в некотором смысле исключительным: окрестность эллиптической кривой, вложенной в комппексную поверхность с иулевым индексом самоыересечеиия, »вообще говоря» биголоморфио эквивалентна окрестности кривой в нормальном расслоении (в том же смысле, .в котором дифференциальное уравнение в окрестности особой точки, вообще говоря, эквивалентно линейному). Исключительность рассмотрениого првмера связана с тем, что нормальное расслоение каждой из эллиптических кривых а построенном семействе тривиально (является прямым произведением).

Е. Предваритэльиця иормальная форма. Эллиптическую кривую межыо получить нз кругового кольца големорфиым склеиванием граничных окружностей. Точно также окрестиость эллиптической кривой на поверхности можно получить из окрестности кругового кольца на поверхности голоморфной склейкой граничных многообразий. Эти граничные многообразия имеют вещественную размерность три; склейка продолжается голоморфно иа окрестность границы.

Оказывается, достаточно малая окрестность биголоморфного образа замкнутого кругового кольца иа комплексной поверхности всегда биголоморфно отображается на окрестность кругового кольца, вложеняого в комплексную прямую С в прямом произведении С х С. Подобно упомянутым выше результатам о голоморфной классификацыи одномерных векторных расслоений ыад эллиптической кривой, сформулировалиый выше результат об окрестности кольца доказывается не просто; требуется некоторая техника теории функций нескольких комплексных переменных (пучки, эллиптические уравнения с частвымы производными или что-нибудь их заменяющее). Мы ие будем доказывать это, а прямо предположим, что наша поверхность, :содержащая эллиптическую кривую, получается склейкой ыз окрестности кругового кольца в прямом произведении. Таким образом, мы рассматриваем поверхность, точки которой получаются аз точек (г, ф) плоскости двух комплексных переменных склейками (~р) (~р+2п) ((з+ы+гВ(г, Ф))' % тт) ФОРМА ОКРЕСТНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ 189 где 2п-периодические по ф функции А и В голоморфны в окрестности вещественной оеи ф.

Характеристики

Список файлов книги