1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Здесь круговое кольцо получается из полосы 0»1шф»!гпю на комплексной оси ф при склейке точек (О, ф) (О, ф+2п); г и ф — координаты в прямбм произведении. Пара функций (А, В), задающих склейку, определяет окрестность. Подходящим выбором координат (г, ф) можно изменять внд функций А и В.
Постараемся выбрать эти координаты так, чтобы сделать функции А и В возможно проще. рассмотрим вначале линейную замену координат гаэээ«=С(ф) г, где функция С голоморфна в полосе 0»!пер»-1ш'е оси ф, имеет период 2п и нигде не обращается в этой полосе в нуль. 1 е о р е м а. Функцию С, олределяюи)ую линейную замену эарти«аль«ой «аординаты, моэс«о выбрать та«, что лри записи склейки а новых координатах функция А (О, ф) примет вид Легре (р — целое ч'исло, равное минус индексу самопересечения эллиптической кривой г=О в рассматриваемой поверхности). «1 Функция А (О, ф) определяет нормальное расслоение кривой г=О в нашей поверхности. Это расслоение биголоморфно эквивалентно расслоению, получаемому склейкой (г, ф) (г, ф+2«) (Лэгаэг, ф+ю) (см. замечание в пункте Д).
Линейная замена переменной гг приводящая склейку нормального расслоения к этому каноническцму виду, приводит к указанному выше виду функцию А (О, ф). (Р ' 0 пу е д е л е н и е. Прадааригаельной нормальной формой окрестности эллиптическая кривой на поверхности, где кривая имеет нулевой индекс самопересечення, называется склейка (ф) (ф+ю+гЬ(г, ф)) (ф+2п)' где а и Ь вЂ” голоморфные в окрестности вещественной оси ф 2п-периодические по ф функции, Л вЂ” отличное от нуля комплексное число. В дальнейшем мы не будем каждый раз указывать отождествления точек, отличающихся лишь на 2п по координате ф, им»я в виду, что встречающиеся функции по ф 2п-периодичны и координату ф мджно считать принадлежащей цилиндру С пюб 2п.
Ж. Формальная нормальная форма. Определение. Пара чисел (Л, ю) называется резонансной, если Лэ=ег»а при некоторых целых л и Ь, не равных вместе нулю. Т е о р е м а. Резонансные пары образуют всюду плотнее мцожлстаа а лротранплве всех лар 'камиле«оных чисел. ~ Это следует из всюду плотности множества точек вида 1 ( — ю+ — 2п) гй гл '1л и (» и т целые, л натурзльнме) на комплексной прямой. )Ь Те орем а. Пара (Л, щ) резонансная если и только если соотлетстэующеэ г«лей«э (г, ф) (г, ф+2п) (Лг, ф+от) расслоение тривиальна лад иекатороик ци«лическии и-лист«им «а«рытием исходной эллилтичэской «ризой, < Если Ла=е'»э„то (г, ф) (ег»мг, р+лю) н следовательно расслоение над С/2пЕ+люЕ тривиально (см. пункт В).
Обратное доказывается аналогично. ~ . 0 п р е дел е н и е. Формальной склейкой называется «отображениеэ (;)-(,.-'"' ",,) где А и  — формальные степенные ряды по г с аналитическйми на вещественной оси ф 2п-периодическими по ф коэффициентами, А (О, ф) ~ О. (гл. в НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Формальной заменой переменных называется «отображениеь где С и Р†формальн степенные ряды по г с аналитическими в полосе 0~1шф(!шю комплексной оси р 2п.периодическими по ф коэффициентами, С (О, р) ~ О.
Формальная замена переменных у действует на формальную склейку 1 по формуле 1«-«у.(.у г (правая часть определяется естественной подстановкой степенных радов и сама является формальной склейкой), Теорема. Если пара (Х, ю) нерезонансная, то всякая формальная склейка (ф) (гр+м+гЬ (г, ф) ) формальной заменой переменных приводится к линейной нормальной форме (;)-(,+-) 4 Будем последовательно уничтожать члены степени 1, 2, ...
по г в га и гЬ. Для этого нам потребуется, как обычно, решать линейное гомологическое уравнение. Выпишем уравнение для нормализации членов степени и. Лемм а. рассмотрим уравнение относительно и )гни (гр+ы) — и (гр) о (гр), еде о — 2п-периодическая функция, аналитическая в полосе а ~ 1ш гр ( (1. Если т = 1ш ге ~ О, ). чь 0 и )гя чь е'ем при целых й, то уравнение имеет 2п-периодическое решение и, аналитическое в полосе а ( 1ш гр ~ Б+т. 4 Пусть и (гр) = ~ иеегеч, о (гр) ~ оье'ьо. оь ТОГда ие = дя Ым 1 ' Пр й + ! ~ оценивается сверху величиной порядка еь а ег стремится к нулю.
Пг)этому ~ иь ~ оценивается. сверху величиной порядка еь«г зг. При й-» — оз (оь ) оценивается сверху величиной порядка е — ~ ь г гр+ ег ,и ) е вм! растет как е~ '«(т=1ш ю) 0). Следовательно, ) иь) оценивается сверху величиной е ЫЦ гб+«+е>. Отсюда вытекает сходимость ряда Фурье для и в акре стности полосы а ~!шгр(0+т. ~ Пусть ей=гнал(гр)+..., гб=гндь(гр)+..., где точки означают члены порядка выше и.
Г Сделаем формальную замену переменных, в которой С (г, гр)=1+геСе (р), гР(г, гр)=гнРя(гр). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что коэффициенты при гл в га и в гЬ после замены имеют вид дн (гр) = он (гр) + ЛнСл (гй+ ю) — Сн (гр) Ь. Я) =Ь. Рр)+Х"Ря Рр+м) — Р. (цд Найдем С„и Р„из уравнений д„=О, Ье=О. По лемме эти уравнения имеют аналитические в полосе 0~1шгркт решений.
Мы построили формальную замену, п мену, после которой степень членов низшего порядка в га, гЬ увеличивается. Повторяя это построение при п= 1, 2. .. получаем формальную замену пер— сменных, после которой га и гЬ исчезают полностью. ~ В 271 ФОРМА ОКРЕСТНОСТИ ЗЛЛИПТИЧЕСКОИ КРИЕОЯ 191 З. Аналитическая нормальная форма. Рп р е деление. пара комплексных чисел (х, м), где 1гпю ныл, АФ О, нвзывается нормальной, если существуют постоянные С) О, т) О, такие, что ) А»в'ьм — ! ! ) С (( л 1+ ! Ь ,')-" для всех целых Ь и л (» ~ О).
Легко доказывается Т е о р е м а. Нвнармальювв пары образуют всюду»лотнов множество лвбввовой меры 0 нри каждом фиксированном а. Теорем а. Если ()с, и) — нормальная пара, то всякая тломорфная склейка (ф) (~р+ю+гЬ(г, Ф)) приводится х линейной нормальной форме (г, ~р) ь-»(гХ, <р+а) го»аморфной заменой переменных. «( Доказательство внэлогично приведенному в 5 28 доказательству теоремы Энгеля. т Переведем эту теорему на язык вложений эллиптических кривых. Оп редел е н ие.
Голоморфное векторное расслоение В называется жестким, если для всякого вложения его базы в комплексное многообразие, такого, что нормальное расслоение есть еею достаточно малая оирестность базы, вложенной в многообразие, биголоморфно отображается' на окрестность нулевого сечения расслоения $. В этих терминах наша теорема формулируется так. Следствие. Почти все (в смысле меры Лвбвва) одномерные ввхлюртв расслоения степени 0 над эллиптической кривой жесткие. 3 э меч в н и е.
Для некоторых нерезонансных рвсслоеннй, в которых пары ()., Ф) ненормальные, формальные ряды, приводящие склейку к нормальной форме, могут расходиться. Такие ненормальные пары (Х, ы) образуют всюду плотное множество меры нуль. Этот вопрос обсуждается подробнее в $ 36.
И. Отрицательные окрестности. Рассмотрим случай, когда индекс самопересечення эллиптической кривой на поверхности отличен от нуля. Если этот индекс отрицателен, то кривая иедеформируема в классе голоморфных кривых. Действительно, в противном случае продеформироваиная кривая пересекалась бы с исходной с положитель- ным индексом. пересечения (так как обе кривые комплексные).
Таким образом, кривая с отрицательным индексом самопересечения лежит на поверхности изолированно, Такая кривая называется исключительной кри- вой, а ее окрестность — отрицательной окрест»астма. Теорема (Г р а уе р та). Нормальное расслоение исключительной кривой всегда жесткое, т. е, окрестность кршюй с отрицательным индексом самолерв- сечения на комплексной поверхности определяется (с точностью до голоморфной эквивалентности) нормальным расслоением втой кривой. Нэметим здесь простое доказательство этой теоремы.
для случая эллипти- ческой кривой. «1 Ь(ы начинаем с предварительной нормальной формы склейки ( )=( ' г ) (г)лгрч (1 +го (г, <р))) р) ( р+ы+гЬ(г, р) Предположим, что члены степени меньше л по г в га и в гЬ уже убиты, т е. что га=г»а»Ор)+ ..., гд=г»Ь»Ор)+ .... Делаем формальную замену переменных й (г, ф) =(г (1+ г»С» Ор)), <р+ г»Р» Ьр)). Коэффициенты при г» в га и в гЬ после замены (т. е'.
для склейки й /.й-т) имеют вид а» Ор) а» (ф)+А»вгв»чс„(ф-~-а) — с» Ор) — 1рР» Ор), Б„др) = Ь„(гр) + )»вгр"ФР„(ф+ и) — Р» Ьр). 192 (гл. э НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Обратим Ьл и а„ в нуль. С этой целью мы сперва находим )Ул из второго уравнения, а затем Сл из первого. В обоих случаях приходится решать гомологическое уравнение айда 1.ле'Рлчи 0р+ю) — и (<р) =о ((р) относительно неизвестной 2п-периодической функдии и с известной 2п-периодической функцией о. К.
Исследованнэ гвмологнческого уравнение. Рассмотрим разложения неизвестной и известной функций в ряды Фурье и=~,'и»ег»ч, и ~',о»ег"ч. Для коэффициентов Фурье получаются уравнения КЛ»Г~»-РЛ~ Е и» и» о» -рл Эти уравнения позволяют в принципе последовательно вычислить все неизвестные коэффициенты и» по первым рл из них. Однако получаемые формальные ряды Фурье не всегда сходятся. Оказывается, отрицательность индекса самопересечения исходной эллиптической кривой на поверхности (т. е. положительность числа р) гарантирует сходимость. Действительно, рассмотрим, вначале однородное уравнение, т. е. будем считать, что все о» равны нулю.
Наше уравнение связывает между собой значения и» с А на арифметической прогрессии с шагом Рл. Вычислим все значения и» с й из этой прогрессии через одно из них. Нам придется последовательно умножать числа вида )Ьлэч»-ял~м, ГдЕ» ПрИнадЛежит НаШЕй ПРОгрсеени. Логарифмы этих чисел вбразуют арифметическую прогрессию с разностью 1рлнь Следовательно, суммы логарифмов образуют последовательность вида '+ Ба+у.
где э †ном члена последовательности, 2сс=!рлю. Если Р~О, !шм)0, то Ееа~б. В этом случае последовательность (епг +8'+т( быстро стремится к нулю при з-ь+со и при з-ь — гх. Отсюда следует, что однородное гомологическое уравнение прн р ~ 0 имеет рл линейно независимых решений, быстро убывающих при , '» )-~'со.
Будем теперь решать неоднородное уравнение. Вначале предположим, что отличен от' 0 только один из коэффициентов Фурье известной функции, о Левее гл мы положим и»=0, а при А) т определим и» из уравнения, Таким образом, правее т и» будет совпадать с одним иэ решений однородного урав- АЗ пения и, следовательно, будет убывать как ~ е Решение однородного уравнения в общем случае строится как линейная комбинация построенных решений с коэффициентами о». Сходимость обеспе.
пинается условием йеа ~ О, т. е, отрицательностью индекса самопересечения исходной эллиптической кривой на поверхности. Проводя подробно намеченные здесь оценки, мы убеждаемся в разрешимости гомологического уравнения для случая отрицательного индекса самопересечення (т. е. для случая положительных р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
