1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Суммируя по т с фиксированным ~ т ~, получаем не более ~ т ~"-' С,С'/~ т ~зг+'. Суммируя по ~ т ), получаем С, (т) СА со, если т) (и — 2)/2. Следовательно, множество не (С, т)-точек в шаре покрывается множествами сколь угодно малой меры. ~ В вещественном случае в теореме 4 требуется т) и — 1.
Г. Теоремы Пуанкаре и Зигеля. Предположим теперь, что векторное поле задано не формальным, а сходящимся рядом, т. е. что мы рассматриваем дифференциальное уравнение с голоморфной правой частью, ОБЛАСТИ ПУАНКАРЕ И ЗИГЕЛЯ 173 Теорема Пуанкаре. Если собственные числа линейной части голоморфного векторного поля в особой точке принадлежат области Пуанкаре и нерезонансны, то поле в окрестности особой точки биголоморфно эквивалентно своей линейной части. Иными словами, ряды Пуанкаре, построенные в предыдущих параграфах, сходятся, если собственные числа принадлежат области Пуанкаре.
Теорема Зигеля. Если собственные числа линейной части голоморфного векторного поля в особой точке образуют вектор типа (С, У), то поле в окрестности особой точки биголоморфно эквивалентно своей линейной части. Иными словами, ряды Пуанкаре сходятся при почти всех (в смысле теории меры) линейных частях поля в особой точке.
Замечание. Все иерезонансные векторы области Пуанкаре являются векторами типа (С, У) при некоторых С)0. Напротив, в области Зигеля всюду плотное множество образуют как векторы типа (С, ч), так и резонансные векторы, равно как и векторы нерезонансные, но не являющиеся векторами типа (С, У) ни при каких С и у. Для наборов собственных чисел последнего типа,,хотя и несоизмеримых, но слишком близких к соизмеримости, ряды Пуанкаре могут расходиться, так что поле может быть формально эквивалентным своей линейной части, но биголоморфно неэквивалентным.
Доказательства теорем Пуанкаре и Энгеля получаются посредством некоторых упрощений из доказательств аналогичных теорем для отображений, приведенных в у 28. Д. Теорема Пуанкаре — Дюлака; Рассмотрим теперь случай резонансных собственных чисел. Теорема. Если собсигвенные числа линейной части голоморфного векторного поля в особой точке принадлежат области Пуанкаре, то поле в окрестности особой точки биголоморфно эквивалентно полиномиальному, в котором все вектор-манамы с коэффициентами степени выше первой резонансные. Иными словами, ряды Пуанкаре сходятся, если собственные числа лежат в области Пуанкаре, даже в случае резонанса. Замечание. Напротив, если собственные числа лежат в об- ласти Энгеля, то ряды, приводящие к формальным нормальным формам при наличии резонансов, часто расходятся.
Первый пример этого рода построил еще Эйлер,(1.. Ви!ег, Ье зебеЬИБ 61- негйепВ Ьпз, Орега ошп!а, Бег. 1, 14 (1924), 1е!ре!я — ВегНп, 247; 586 — 617; см. стр. 601). В примере Эйлера ( х=х' ! у=у-х 174 [гл. ь НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ начало координат является особой точкой типа седло-узел. Несмотря на аналитичность правоК части, сепаратриса, разделяющая обе половины полуплоскости х(0, не аналитична, а лишь бесконечно дифференцируема: у = ~; (Й вЂ” 1) ! хь. Много примеров расходимости рядов Пуанкаре построил А. Д.
Брюно (А. Д. Брюно, Аналитическая форма дифференциальных уравнений, Труды ММО 25 (1971), 119 — 262; в этой работе доказана также сходимость рядов в некоторых случаях, , выходящих за рамки теоремы Зигеля). Е. Вещественный и неаналитическнй случаи. Теоремы Пуанкаре н Пуанкаре-Дюлака переносятся нз вещественно. аналитический случай и на случай бесконечно днфференцируемых векторных полей нли даже на случай полей нонечной (достаточно большой) гладкости. В случае Зигеля такое обобщение также возможно (см., например, 3. 3 ! е г и Ь е г й, Оп Гие Мгпс!пге о! !оса1 Ьошеошогр)изшз о! Епс!!беай л-зрасе, Ащег. з..
Ма!Ь. 60, 3 (!966), 623 — 631, 31, 3 (1959), 578 — 604). Следует, однако, заметить, что ситуации, в которых применимы этн теоремы, топологически тривиальны. Действительно, случай Пуанкаре длн веще. ственного поля может встретиться лишь когда собственные числа лежат либо все в левой полуплоскости, либо все в правой. В этом случае (независимо от резонансов), система в окрестности неподвижной точки в вещественном пространстве топологически эквивалентна стандартной системе х= — х (либо х= + х).
Все фазовые кривые входят в асимптотически устойчивое положенне равновесия при Г-ч-+со (либо выходят из равновесия при (-» — со). В ситуации теоремы Зигеля в вещественной области применима теорема Гробмзна — Хартмана (система топологически эквивалентна стандартному седлу). Действительно, если хотя бы одно из ненулевых собственных чисел линейной части лежит на мнимой оси, то на мнимой оси лежит и комплексно сопряженное собственное число; пара йь з= -ь !ы приводит к 'резонансу М+1 =О. Нулевое собственное чйсло всегда резонансное. Таким образом теорема Знгеля применима в вещественном случае лишь к системам без собственных чисел на мнимой оси, а такие системы локально топологически эквивалентны своей линейной части (теорема Гробмана — Хартмана, 4 13).
В отличие ог егорам Пуанкаре и Знтеля, метод Пуанкаре применим к исследованию топологически сложных случаев, когда имеются собственные числа на мнимой оси, А именно, метод применяется для нормализации конечнбго числа членов ряда Тейлора. После этого доказывается, что члены более высокого порядка уже не изменят качественной картины. Простейший пример этого рода разобран выше в п. В 6 23.
Особенно полезен этот метод в теории бифуркаций (см. гл. 6). 2 25. Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной .точки Построение подходящей системы координат для отображения пространства в себя вблизи неподвижной точки параллельно теории нормальных форм дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия.
В этом параграфе указано, какой видпринимают основные положения теории нормальных форм в этом случае. 175 НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОТОБРАЖЕНИЯ $251 А. Резонансы. Области Пуанкаре и Зигеля. Рассыотрим формальное отображение Р: С"-Р С", заданное формальным степенным рядом Р(х) =Ах+ .... Пусть (Л2, ..., Л„)— собственные числа линейного оператора А. Резонансон называется соотношение Л,=Л", где Л"=Л",2 ... Л„, т,- О, ~тл)2. П р и м е р. При и = 1 резонансными собственными числами являются О и все корни любой целой степени из единицы, а все остальные числа Л не резонансные.
Определение. Набор собственных чисел принадлежит области Пуанкаре, если модули собственных чисел все меньше единицы или все больше единицы. Таким образом, отображение Р с собственными числами линейной части, принадлежащими области Пуанкаре, является в окрестности начала координат сжатым (если ~ Ц ч 1), или же (если 1Л~ >1) сжатым является обратное отображение. Определение.
Дополнение к области Пуанкаре составляет область Зигеля. При я=1 область Энгеля сводится к единичной окружности ! Л ~ = 1. Уравнение резонанса Л, = Л'" определяет в пространстве собственных чисел С" комплексную гиперповерхность. Оиа называется резонансной поверхностью. В области Пуанкаре' резонансные поверхности лежат дискретно. В области Энгеля как резояансные, так и нерезонансные точки всюду илотны.
Б. Формальная линеаризация. Рассмотрим прежде всего вопрос о формальной нормальной форме отображения в неподвижной точке. Т е о р е м а. Если набор собственных чисел отображения Р в неподвижной, точке нерезонансный, то отображение х Р(х) приводится к своей линейной части х Ах 4орнальной заменой переменных х =2чг (У) =у* Р ° Руу =227" А. Пусть Н (у) — у+ Ь (у), где Ь вЂ” однородный вектор-мно~ очлен степени г==.2. Тогда Н А Н-'(х) =Ах+[Ь(Ах) — АЬ(х)1+ ..., где точками обозначены члены степени7выше г.
Выражение в квад- ратных скобках является однородным вектор-многочленом степени г. Этот многочлен линейно зависит,от Ь. Линейный оператор МА. Ь (х) 1Ь (Ах) — АЬ (х)1 на пространстве однородных вектор-многочленов имеет собственные числа Л"' — Л, и собственные векторы Ь(х) =х е, (здесь, как обычно, векторы ел образуют собственный базис оператора А, х = х',"2... х„'"Р, 176 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ [ГЛ.
$ х» — координаты в базисе (е»); собственные числа оператора А для простоты предположены ' различными). Таким образом мы приходим к гомологическому уравнению относительно й МА[[= о, для решения которого приходится делить коэффициенты разложения о на числа ЛФ вЂ” Л,. Итак, условие резонанса в нашей задаче имеет вид Л,=ЛМ. Дальнейшее доказательство теоремы не отличается от проведенного в 5 22 для случая дифференциальных уравнений. Ь В.
Вопросы сходимости. Теоремы Пуанкаре и Зигеля переносятся на рассматриваемый случай дискретного времени следующим образом. Теорема Пуанкаре. Если все собственныечислаголоморфного диффеоморфизма в неподвижной точке по модулю меньшг единица (или если все больше) и резонансы отсутствуют, то отображение' превращается в свою линейную часть биголоморфным локальным диффеоморфизмом в окрестности неподвижной точки. Теорема 3игеля. Для почти всех (в смысле меры Лебега) наборов собственных чисел линейной части голоморфного диффеоморфизма в неподвижной точке, диффеоморфизм биголоморфно. эквивалентен своей линейной части в неподвижной точке.
А именно, для эквивалентности диффеоморфизма его линейной части достаточно, чтобы собственные числа. удовлетворяли неравенствам [Л,— Л"!)С[т[-т для всех з=1, ..., и, ~[т~=~,'т»)2, т»)0. Наборы,собственных чисел, удовлетворяющих этому неравенству, называются наборами мультипликативного типа (С, ч). Множество наборов собственных чисел Л, не являющихся наборами мультипликативного типа (С, т) нн при каком С, имеет меру нуль, если т) (и — 1)/2. Доказательство теорем Пуанкаре и Зигеля проводится почти таким же образом, как для дифференциальных уравнений. Хотя теорема Зигеля известна уже более ЗО лет, ее доказательство до сих пор, кажется, не было опубликовано. Зто доказательство приведено в й 28. Г. Резонансный случай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
