1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 35
Текст из файла (страница 35)
4 При вычислении интеграла от дН,/д~р, по и-мерному тору можно сначала проинтегрировать по переменной ~р,. Этот однократный интеграл равен приращению периодической функции Н, на периоде, т. е. нулю. ~ Эта простая теорема показывает, что эволюция медленных переменных в гамильтоновой системе резко отличается от явлений в общих, негамильтоновых сисгемах. Б. Теорема Колмогорова. Предположим, что частоты независимы в том смысле, что производная частот по переменным действиям дго/д1 невырождена.
В таком случае, как установил А. Н. Колмогоров (А. Н. Колмогоров, О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона, ДАН СССР, 98 4 (1954), 527 — 530). при малом гамильтонозом возмущении ббльшая чисть инвариаятных торов 1 =сопз1 лишь немного деформируется, не исчезая: фазовыекривые для большинства начальных условий в возмущенной системе, как и в невозмущениой, заполняют всюду плотно инвариантныо торы. Если отличен от нуля якобиан отображения (и — 1)-мерной поверхности Н,(1) =Ь в (и — 1)-мерное проективное пространство, заданного формулой 1 (дН,/д/,: ...: дН,/д1„), то инвариантные торы. возмущенной системы заполняют с точностью до остатка малой меры все (2п — 1)-мерное многообразие уровня функции Гамильтона.
Н(1, р) =А. В частности, если число частот п=2, то зти двумерные торы:. делят трехмерное многообразие уровня. Позтому даже и для тех фазовых кривых, которые не лежат на торах, переменные действия мало меняются в течение бесконечного интервала времени: фазовая. теОРия Возмущении 1гл. 4 кривая, начавшаяся в щели между двумя инвариантными торами, не может нз нее выйти. Если же число частот больше двух, то торы не делят многообразие уровня функции Гамильтона, и некоторые фазовые кривые (образующие множество малой меры) могут, блуждая вблизи резонансных поверхностей между инвариантными торами, уходить далеко от исходных значений переменных действия. Существуют примеры (В. И.
Арнольд, О,неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы, ДАН СССР, 156, 1 (1964), 9 — 12), в которых такой уход действительно происходит. Средняя скорость ухода в примерах этого рода экспоненциально малая (порядка е '"'). В. Теорема Нехорошева. Оказывается, средняя скорость ухода переменных действия от их начальных значений в любых гамильтоновых системах общего положения настолько мала, что она не улавливается никаким приближением теории возмущений (т. е. не проявляется в виде заметного ухода'за время порядка 1/е" ни при каком л/, где е — параметр возмущения). Точнее, Н. Н.
Нехорошев (Н. Н. Нехорошев, О поведении гамнльтоновых систем, близких к интегрируемым, Функциональный анализ н его приложения, 5, 4 (1971); Н. Н. Нехорошев, Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, УМН, ф2, 6 (1977), 5 — 66; см. также его диссертацию, МГУ, 1973) доказаЛ; что для почти всякой невозмущенной функции Гамильтона Н, (/) существуют положительные числа а и 5, такие, что средняя скорость' изменения переменных действия / в возмущенной системе за время Т=епв не превосходит зе. Заметим, что Т растет при е-~-0 быстрее любой степени 1/з, так что изменение 1 за время 1/з" мало при любом /1/.
Постоянные а и 5 зависят от геометрических свойств невозмущенной функции Гамильтона П,. Например, если функция Нэ строго выпукла (положнтельно определена матрица д'Н,/д/е), то можно взять а=2/(бл' — Зп+14), 5=За/2, где п — число частот. Теорема доказана для почти всех .О, в том смысле, что исключаются лишь функции о„удовлетворяющие бесконечному .набору явно выписываемых алгебраических уравнений на коэффициенты Тейлора. Н.
Н. Нехорошев называет исключительные функции .некрупными. Для некрутых Не уход возможен уже за время порядка 1/е. В примерах экспоненциально медленного ухода (см. п. Б) функция Н, крутая. Доказательство теоремы Нехорошева основано на следующем простом свойстве усреднения в гамильтоновой системе. УСРЕДНЕНИЕ В ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ $ 19) Предположим, что при некоторых значениях медленных переменных 1 в гамильтоновой и-частотной системе имеет место резонанс (т, га) = О. Тогда вблизи соответствующей резонансной поверхности естественно проводить усреднение не по и-мерным торам,.
а по резонансным торам меньшей размерности. Размерность резонансного тора равна и — 1, если резонанс однократный, т. е. если направление целочисленного вектора т определено однозначно. Если уравнение относительно т (т, вт) =О имеет й рационально независимых решений, то траектории быстрого движения всюду плотно заполняют резонансные торы размерности и — й, по которым и следует усреднять. Т ео рема. При усреднении по резонансным торам, соответствуюгцим резонансу (т, со) =О, направление эволюции переменных действия 1 в усредненной системе лежит в плоскости, натянутой на резонансные векторы т *) (в случае однократного резонанса направление эволюции определено однозначно: это направление прямой, несуи(ей векгпор т).
4 Рассмотрим для простоты случай однократного резонанса. Обозначим через у угловую координату, не меняющуюся при резонансе: у=(т, ~р). Для усреднения возмущенной системы достаточно усреднить функцию Гамильтона по быстрым переменным. В результате получим усредненную функцию Гамильтона Не+ ЕН, где Й, зависит от переменных действия и от одной угловой переменной у. Уравнения усредненного движения дают теперь 1 ='е — '.
Но — ' = ) — ) ) — ) имеет направление вектора — = т. Ь г дт дф Теорема Нехорошева выводится из доказанной теоремы на однованни следующих соображений. Быстрая зволюция (со скоростью порядка е) возможна лишь при резонансе и лишь в направлениях, порожденных резонансными векторами.
Но условия крутизны, наложенные на Н, (например, достаточна строгая выпуклость функции Н,) гарантируют нам, что такая зволюция происходит в направлении, выводящем из резонансной поверхности. Следовательно„ резонанс нарушается, н зволюция идет лишь короткое время, вследствие чего и получается зкспоненциально малая оценка средней скорости зволюпли сверху. Если же условия крутизны нарушаются,' то на резонансной поверхности можно найти кривую, касательная к которой во всех *) Заметны, что аффинная структура в пространстве переменных действия определена одноаначно, и отождествление векторов пространства, двойственного к пространству частот, с векторами в пространстве переменных действия также однозначно оаредеаено.
[гл. 4 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ точках принадлежит плоскости, натянутой на резонансные векторы. Вдоль такой кривой эволюция может идти со средней скоростью порядка е, что,приводит к уходу переменных действия от их начальных значений за время порядка 1(е. $ 20. Адиабатические инварианты Здесь дается обзор основных результатов теории адиабатических пнвариантов в гамильтоновых системах с медленно меняющимися параметрами. А. Понятие кдиабатического инварианта. При рассмотрении гамильтоновых систем с медленно меняющимися параметрами возникает своеобразное явление: величины, вообще независимые, становятся асимптотически (при стремлении к нулю скорости изменения параметров) функциями друг друга.
Нацример, рассмотрим маятник переменной длины. Длина маятника н амплитуда колебаний, вообще говоря, независимы: если менять длину качающегося маятника, то при возвращении длины маятника к исходному значению амплитуда колебаний, вообще говоря, может измениться произвольным образом, в зависимости от того, как именно менялась длина. Оказывается, однако, что если изменение длины маятника производить достаточно медленно, то амплитуда колебаний при возвращении длины к прежнему значению почти не изменится.
Более того, отношение энергии маятника к частоте будет оставаться почти неизменным в течение всего процесса, хотя как энергия, так н частота при изменении длины маятника меняются. Величины, асимптотически сохраняющиеся при достаточно медленном изменении параметров гамнльтоновой системы, называются адиабатическими инварнантами. Точнее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона х= о(х, Л), Л вЂ” параметр. Функция 1 от фазовой точки х и параметра Л называется адиабатичесхим инеариантом, если для любой гладкой (дифференцируемой достаточное число раз) функции Л(т) медленного времени т=е1 вдоль решения уравнения х = о (х, Л (е()) изменение величины 1(х(С), Л(е()) остается малым на интервале времени 0(1(1)е, если е достаточно мало.
Б. Построение адиабатического инварианта системы с одной степенью свободы. Предположим, что функция Гамильтона Н(р, д; Л) имеет при каждом значении параметра Л замкнутые фазовые кривые Н(р, д; Л) = = й (скажем — окружающие положение равновесия, в котором частота малых колебаний отлична от нуля).
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ Обозначим через 1(р, о; Л) площадь, ограниченную фазовой кривой, проходящей через точку с координатами (р, а) при фиксированном значении Л, поделенную (по традиции) на 2п. Величина 1 называется переменной действия. Пример. Для маятника Н= — + —; фазовая кривая Н = ар~ зол 2 2 1 = 1« — эллипс площади п )Г Й7а У21«1Ь = 2ИЬ1р«аЬ. Частота колебаний «о=~аЬ. Таким образом, для маятника 1= Н1а. Здесь роль параметра Л играет пара (а, Ь). Т е о р е м а. Переменная действия 1 является адиабатическилг инвариантом гамильтоновой системы с одной степенью свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
