1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 34
Текст из файла (страница 34)
') В отличие от примера и. Б, в общем случае»захваченные» траек»орин ие обязаны навсегда оставаться вблизи резонанса. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [гл. Ф Г. Многочастотные системы. Случай, когда число частот больше двух, изучен гораздо слабее, чем двухчастотный. Для систем общего положения частоты быстрого движения несоизмеримы для почти всех значений медленных переменных.
Поэтому естественно ожидать, что для большинства начальных условий метод усреднения правильно списывает эволюцию медленных переменных на отрезках времени порядка 1/е. Первые общие теоремы в этом направлении принадлежат Д. В. Аносову (Д. В. Аносов, Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстроколеблющимися решениями, Изв. АН СССР, сер. матем., 24, 5 (1960)), 721 — 742, н Т. Касуге (Т. Сазпйа, Оп 1Ье аб!аЬаНс Ьйеогеш 1ог (Ье Ьаш)1- 1оп(ап зуз1еш о1 6111егеп(1а1 еопа11опз 1п 1Ье с1азз(са1 шесЬап!сз, 1, П, П1, Ргос.
)арап асад. 37 7, 1961). Теорема Аносова утверждает, что для любого положительного числа р мера множества начальных условий (из компакта в фазовом пространстве), для которых шах ~/(1) — /(1)()р при /(О) Х(0) о<в~ ив стремится к нулю при е стремящемся к нулю (здесь, как обычно, / — проекция возмущенного движения, а /-усредненное движе, ние; предполагается, что частоты независимы, в том смысле, что ранг производной частот по медленным переменным дв/д/ равен числу быстрых переменных). Эта теорема доказана в действительности при более общих предположениях: условная периодичность быстрых движений не предполагается, а предполагается эргодичность быстрого движения на почти всех торах; как обычно, предполагается, что решение усредненного уравнения / продолжается на время 1/е.
Множество малой .вместе с е меры, где возможны большие уклонения От усредненного движения за время 1/е, соответствует всем траекториям, захватываемым в резонанс или блуждающим вдоль резонансных поверхностей, переходя с одной на другую, что также возможно, если число частот больше двух. Представляет интерес реалистическая оценка меры этого множества.
Например, для двухчастотных систем из результатов Нейштадта (см. п. В) следует оценка ~1(1) — /(1))(св)Ге11пе( вне множества меры не более с,)/з (при небольших ограничениях на систему). Предположим, что частоты независимы, т. е. что ранг да/д! равен числу частот. Теорема (А. И. Н ей штадт). Для системы с независимыми частотами вне множества малой меры и погрешность метода 149 УСРЕДНЕНИЕ и МНОГОЧАСТОТНЫХ СИСТЕМАХ $181 усреднения шах ) 1 (1) — / (1) ) при /(0) = /(0) о~г~ Пе оценивается сверху величиной сз)Ге/и. Эквивалентная формулировка: обозначим через Е(е, р) множество начальных условий в пределах фиксированного компакта, для которых погрешность достигает величины р или большей величины при укааанном значении е.
Тогда шез Е(е, р) ~ се р'е/р. / Доказательство см. в статье А. И. Ней штадт, Об осреднеиин в многочастотных системах, 11, ДАН СССР, 226, 6 (1976), 1295— 1298. Это доказательство использует идею цитированной выше работы Т. Касуги: замена переменных метода усреднения модифицируется (сглаживается) таким образом, чтобы она задавалась гладкими функциями не только вне окрестностей резонансов, но всюду.
Результат А. И. Нейштадта можно истолковать как указание на статистическую независимость приращений отклонения 1 от / на последовательных отрезках времени длины 1. Действительно„ приращение / —,/ за время Т порядка 1 имеет величину порядка е, а число интервалов длины Т в интервале 1/е имеет порядок 1/е. ЕСЛЕ бы приращения на каждом интервале длины Т были независимы, ожидаемое приращение за время 1/е оказалось бы, по законам теории вероятности, пропорциональным произведению приращения за время Т на корень из числа испытаний, т. е. оказалось бы величиной порядка е')/ 1/е= ) ге. Теорема' Нейштадта дает такой же порядок величины приращения, однако не для всех начальных условий: приходится исключить множество начальных условий меры порядка )г е, на котором наблюдаются захват в резонанс и большие уклонения, не соответствующие'схеме с независимыми приращениями.
Представление о независимости приращений отклонения / от з, по-видимому, может быть обосновано гораздо более полным образом в ситуации, когда быстрое движение является не условно-периодическим, а У-системой. На зто указывает, в частности, центральная предельная теорема для функций иа фазовом пространстве (Я. Г. Синай, Центральная предельная теорема для геодезических потоков на многообразиях постоянной огрицательной кривизны, ЛАН СССР, 133, 6 (1960), 1303 — 1306; М.
Е. Ратнер, Центральная предельная теорема для У-потоков на трехмерных многообразиях, ДАН СССР, 136, 3 (1969), 519 — 521). Эта теорема обосновывает сформулированные выше представления для специального случая когда как медленное, так и быстрое движение не зависит от медленных переменных: / е(р) ф= 0р). Вероятностные соображения становятся особенно интересными в том случае, когда нас интересует поведение системы на временах, больших по сравне- ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 1гл. 4 чшю с Цв (скажем, порядка 1/в)/з нлн !/а').
Если за время 1/в пропсходкт лахват в резонанс У з-й доли всех траекторий, н если на следующнх отрезках пременн длины 1/в будут таким же образом захватываться все новые траекторнн, то через время порядха 1/врв большннство траекторий окажется захваченным резонансами н через время 1/вз будут наблюдаться ляжь резонансные .двяження. Но, разумеется, незаввснмость захввюв на разных отрезках длнны 1/в является снльным дополнительным предположением, а наряду с захватом е резонанс пронскоднт н обратный процесс. Имеющеесв в теореме Нейштадта ограннченне — неэавнснность частот— существенно сужает область ее прнменнмосгн. Условяе ранг ды/д!=чвслу частот вюжно эаменнть условием везавнснмостн опюшеннй частот: ранг отображення ! ь-ь (аз(/): ...:ю„ (!)) равен л — 1. Однако в случае, когда ввело медленных переменных мало (меньше, чем чнсло частот беэ еднйпцы) ке может выполняться н это условие.
Распространение теоремы Нейштадта на случай, когда число медленных переменных существенно меньше чнсла часют, трцбует, в часпюстн, исследо~еапня дяофантовых првблпженвй на подмногообраэнях евклндова пространства. Для отображеннй е: Ра-гР~, й(л, удовлетворяющнх условням невырожденностн (отлнчвя от нуля некоторых опре.делителей) ожндается такая же оценка сннзу '1(ш, ю(!))))С)ш! ", шшк,п~о ддя почти всех ! нэ Р», какая имеет место для почти всех точек вз Й'. Результаты этого рода получены для специальных кривых (ю; /з); см. яснпгу В.
Г. Спрннджук, Проблема Малера в метрнческой теории чисел, Мннск, 1967; относнтельно общего случая см. работу Д. С. П я р тл н, Днофантовы приближения на подмногообразвях евклидова пространства, Функцнональный анализ а, 4 (1969), 59 — 62. Заметам, что этнмн работамн не решается ня обсуждаемый вопрос об обоб:щенпн теоремы Нейштадта, нв арифметический вопрос о точной оценке т (не .нмеющнй, впрочем, большого значенвя для нашей эадачн, в которой нзмененяе .значення т будет менять лишь необходимую гладкость уравнена). й 19. Усреднение в гамильтоновых системах В этом параграфе кратко описаны особенности усреднения в случае, когда как невоэмущенная, так и возмущенная системы гамиль- 'ТОИОВЫ.
А, Вычисление усредненной системы. Предположим, что в невозмущенной системе введены переменные действие-угол, т. е. такие канонически сопряженные*) пере- П ... ь'е.. ° ч мгч п~ зг"" *) Коордннаты (!, ю) называются кококичпскк сопряженными, если снмалектнческая структура фазового пространства запнсывается в анде ю ~~~4!и Л дть. УСРЕДНЕНИЕ В ГАМИЛЪТОНОВЫХ СИСТЕМАХ Зкз ция Гамильтона Н, зависит лишь от переменных действия 1.
Канонические уравнения Гамильтона имеют вид ф = дН/д1, 1 = — дН/д(р, т. е. при Н =Не(1) ф=го(1), 1=0, где вектор частот в(1) равен дНА/д1. Возмущенная система задается функцией Гамильтона Н = Н,(1)+ + еН,(1, <р, е), где функция Н, имеет по угловым переменным ~р. период 2Н. Следовательно, уравнения возмущенного движения имеют вид ф = го (1) + едН,/д1, 1 — едН1/дЧ/. Те о р ем а. В гамильтоновой системе с п степенями свободы и: п частотами эволюции медленных переменныл не происходит в пине смысле, что усредненная система имеет вид 1=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
