1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Гаусс формулировал его так: для определения эволюции следует размазать' массу каждой планеты по орбите пропоршюнально времени, проводимому в каждой части орбиты, и заменить притяжение планет притяжением полученных колец. Однако обоснование метода усреднения — задача н сейчас далеко не до конца. решенная. $16. Метод усреднения В этом параграфе описывается рецептура метода усреднения в его простейшем варианте. Вопросы обоснования этого метода обсуждаются в следующих параграфах. ~гл.
ь ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ А. Невозмущенная н возмущенная системы. Рассмотрим гладкое расслоение РИМ-~-В. Векторное поле гг на многообразии М называется вертикальным, если оно касается каждого слоя (рис. 91). В приложениях слои обычно бывают торами. Функции на базе В расслоения я определяют первые интегралы уравнения х о(х) на М. Векторное вертикальное поле о называется невозмущениым. Возмущенным полем называется близкое к и поле о+ езм Рассмотрим возмущенное дифференциальное уравнение.
Х = о (х) + еоз (х). Каждая фазовая кривая невозмущенного уравнения проектируется при отображении я в одну точку базы. Движение по фазовьви Рис. 9Ц Рис. 92 кривым возмущенного уравнения проектируется на базу в виде медленного движения, скорость которого порядка е. Заметное передвижение проекции по базе происходит за время порядка 1!е.
Метод усреднения предназначен для описания этого медленного движения по базе при помощи векторного полн на базе. Это медленное движение описывается в методе усреднения как комбинация малых осцилляций в систематической эволюции или дрейфа (рис. 92). П р и м е р. Рассмотрим планетную систему. Невозмущенные уравнения учитывают только взаимодействие Солнца и планет. В невозмущеином движении планеты движутся по кеплеровскиье орбитам. Роль возмущения играет взаимное притяжение планет.
Роль е играет отношение массы планет к массе Солнца;. это в величина порядка 1(1000. Характерная единица времени — период обращения вокруг Солнца, т. е. величина порядка года или десятка лет, характерная единица длины — радиус планетной орбиты. В этом примере М вЂ” фазовое пространство, база  †пространство наборов кеплеровых эллипсов, слои †то, размерность которых равна, числу планет (каждый набор кеплеровых эллипсов определяет тор, точка которого задается указанием положений планет на эллипсах). Сдвиг по базе иа величину порядка 1 соответствует, таким образом, изменению радиуса орбиты, скажем, вдвое. Время порядка 1/е — это время порядка тысячи или десятка тысяч лет. 1зэ метод усРеднения Таким образом, систематическое медленное движение (дрейф) по базе со скоростью е в этом примере за время порядка тысячелетий могло бы изменить радиус орбиты Земли вдвое, что было бы гибельным для нашей цивилизации, которая своим существованием обязана тому, что этот дрейф фактически не происходит (во всяком случае в направлении изменения радиусов орбит; изменение эксцентриситетов происходит и, по-видимому, влияет на ледниковые периоды).
Б. Процедура усреднения. Для описания усреднения введем несколько обозначений. Мы будем предполагать, что слои нашего расслоения являются пмерными торами. Расслоение в окрестности каждой точки базы является прямым произведением. Мы ограничимся такой окрестностью и будем задавать точку из пространства расслоения М парой (~р, 1), где 1 †точ базы, а ~р †точ и-мерного тора г". Обозначение 1 выбрано потому, что координаты (1„ ..., 1л) "гочки 1 определяЮТ на М первые интегралы неаозмущенной системы.
Точка <р тора г задается набором п угловых координат (~р„... ..., ~р„) шоИ 2п. (В приложениях обычно координаты <рл определены существом дела однозначно, с точностью до выбора начала отсчета на каждом торе и с точностью до целочисленных унимодулярных линейных преобразований. Мы фиксируем систему координат (~р, 1).! О п р е д е л е н и е. Нввозмушрнным уравнением метода усреднения называется уравнение < ф = а (1), 1=0, где а — вертикальное векторное поле, заданное зависящим от точки базы 1 вектором частот (а,(1), ..., а„(1)). Определение.
Возмуи(внным уравнением метода усреднения называется уравнение < ф=а(1)+ер(1, <р, е), 1= еа(1, р,е), где 1 и у имеют по ~р период 2п, е ~ 1 — малый параметр. Угловые координаты ~рщ называются быстрыми переменными, а координаты на базе !! — медленными переменными. О п р е де л е н и е. Усредненным уравнением называется уравнение 1=еб(Х), где 6(!)=фу(,/, ~р, 0)сйр!$йр — среднее значение функции и по слою. 1гл.
в ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕНИИ Решения усредненного уравнения называются усредненнммге движениями. Пр им е р. Рассмотрим возмущенное уравнение ф = гв, ! = е (а+ Ь соз <р). Усредненное уравнение имеет вид ,! = еа. Таким образом, при переходе к усредненному'уравнению мы отбрасываем в правой части уравнения для ! величины такого же порядка, как оставляемые. На временах порядка 1 как отбрасываемые. так и оставляемые величины дают одинаковый эффект (порядка е). Однако их влияние на временах порядка !Й) 1!е совершенно различно: оставленные чле- (1) ны приводят к систематическому дрейфу„ а отброшенные — лишь к малому дрожанию. 4 Решение возмущенного уравнении дает скажем, для <Р,=О ( ) уе Рнс.
93. ! (1) = 1, + еа1 + ЕЬ з1п гв1!гв, что лишь осциллирующей малой добавкой отличается от решении усредненного уравнения (рис. 93) 1(1) =!в+за!. $ В. Пространственное н временибе средние. Рассмотрим отрезок времени Т, большой по сравнению с 1, но малый по сравнению с 1!е. За такое время траектория возмущенного движения не успевает заметно сместиться с начального слоя.
Вычислим перемещение проекции возмущенной траектории на базу за время Т. Это перемещение — величина порядка ЕТ~1, Скорость перемещения равна ей(1, <р, е). В первом приближении можно считать здесь ! постоянным, з равным нулю и <р меняющимся в соответствии с невозмущенным уравнением. Тогда для величины перемещения за время Т мы получим приближенное выражение т Ы=ЕТ вЂ” д(!, <р(1), О) а1 +о(ЕТ). Наше время Т;р 1 велико, поэтому величина, стоящая в квадратной скобке, близка к временному среднему функции а. Введем медленное время т=е1. Изменению 1 от О до 1!е соответствует изменение т от 0 до 1.
Будем обозначать скорости движений по отношению к медленному времени штрихом. Тогда предыдущее равенство принимает'вид д! — — временное среднее а, ! =временнбе среднее а. Ф 1зт усРеднение В опночлстотиых систзмлх ч|л Заменим временное среднее пространственным. Тогда получится усредненное уравнение ./' = 6 (/), 6= пространственное среднее д. Таким образом, переход к усредненному уравнению соответствует замене временных средних вдоль невозмущенного движения пространственными.
Г. Обсуждение. Применения метода усреднения состоят в том, что возмущенное уравнение заменяется гораздо более простым. усредненным уравнением. Решения усредненного уравнения исследуются на отрезках времени порядка 1/е (т. е. на отрезках медленного времени порядка 1). Затем делаются выводы о поведении возмущенного движения в течение времени порядка 1/е (обычно — выводы о том, что /-компонента решения возмущенного уравнения близка к резпеиию усредненного уравнения в течение времени 1/е). Это заключение не вытекает из 'предьщущих рассуждений и нуждается в обосновании.
Действительно, при выводе усредненного уравнения мы заменяли временные средние пространственными. Зта замена разумна, если траектория невозмущенного движения равномерно распределена на торе размерности п, т. е. когда частоты несоизмеримы. Однако при резонансах траектория невозмущеиного движения всюду плотно заполняет не п-мерный .гор, а тор меньшей размерности. Поэтому замена временного среднего пространственным средним по п-мерному тору вблизи резонансов явно незаконна. И действительно, существуют, примеры, которые показывают, что различие между проекцией возмущенной траектории на базу и решением усредненного уравнения за время 1/е достигает величины порядка 1: усредненный дрейф и проекция истинного движения направлены в разные стороны.
Практически единственный до конца изученный случай — зто случай одночастотиых систем, когда слои — одномерные торы, т. е. окружности. й 17, Усреднение в одночастотных системах Здесь формулируется и доказывается теорема, обосновывающая метод усреднения для одночастотных систем. А. Формулировка теоремы. Рассмотрим фазовое пространство М, являющееся прямым произведением области В евклидова пространства Й» и окружности 3'. теОРия Возмущении «гл. в ! Угловая координата на окружности обозначается через «ршоб2п, а точка из В обозначается через 1.
Возмущенное уравнение ф=«в(1)+е1(1, «р, е), 1= ед(1, «р, е) с 2п-периодическими по «р функциями 1 и д дает усредненное уравнение 3= О(1), О(1)=~— „у(1 'р 0)«(ч«. Рассмотрим начальную точку 1, из В и предположим, что решение 1(1) усредненного уравнения с начальным условием 1(0) = = 1, остается в области В в течение времени 1= Т1е (т. е., чт«ь в течение медленного времени т= Т решение уравнения Ы1«(т = = 6 (1) с начальным условием 1, не покидает В). Т е о р е м а. Предположим, что частота «в не обращается в нуль в области В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
