1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Формальное определение состоит в следующем. Определение. Пусть М вЂ” компактное гладкое многообразие,. о — векторное поле без особых точек на М, (91) — соответствующий фазовый поток. Предположим, что 1) касательное пространство к М в каждой точке представлено в виде прямой суммы трех подпространств Т„М=Х.ЕУ,О+г.; 2) поля плоскостей Х, У, Е непрерывны и инвариантны относительно фазового потока; 3) поле с порождено полем фазовой скорости; 4) для некоторых положительных констант с, Х и некоторой римановой метрики на М Ца',!хЦ(се"' при 1>0, Ца',(ЕЦ<сем при 1<0.
Тогда фазовый поток называется У-потокам, а уравнением = о (х) — У-системой. Пример. Рассмотрим трехмерное многообразие М, которое получается из прямого произведения тора на отрезок ЦО, 1) склей-. кой ' торцевых торов по У-автоморфизму: (х, 1) склеивается с (Ах, О), где хан Т'„ А =(,,). СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧНВОСТЬ [гл. 3 Рассмотрим векторное поле, направленное вдоль сомножителя [О, 1] тз прямом произведении Тех[О, 1].
Это поле после склейки М из прямого произведения превращается в гладкое (почему?) поле и на М. Полученное поле и определяет У-поток на М. Т е о р е м а. Всякий У-поток структурно устойчив. 4 Доказывается таким же методом, как для У-диффеоморфизмов (см. цитированные выше работы). ~ Всякий У-поток имеет бесконечное множество замкнутых фазовых' кривых.
Таким образом, даже ограничиваясь структурно устойчивыми векторными полями, нельзя надеяться получить в многомерном случае такую же простую картину с конечным числом положений равновесия и циклов, как в случае систем на двумерной сфере. В 1961 г, С: Смейл построил первые примеры структурно устойчивых систем с бесконечным числом циклов. В этих примерах экспоненциальное разбегание имело место не на всем фазовом прострайстве, а на некотором замкнутом его подмножестве. Такие множества теперь называют гиперболическими. Общая теория гиперболических множеств была построена позже и под влиянием теории У-систем.
Появление подобных примеров привело к резкому изменению представлений о поведении фазовых кривых многомерных систем. Некоторые специалисты поспешили объявить эти результаты не имеющими реального значения, так как подобные системы, хотя и структурно устойчивы, «не могут описывать никаких реальных, физических процессов» ввиду неустойчивости отдельных траекторий. Однако имеются весьма важные реальные случаи, когда повидимому именно системы с экспоненциальным разбиением траекторий лучше всего описывают действительность.
Речь идет о математическом описании явлений типа турбулентности и о движении соударяющихся частиц (скажем, в моделях газа из твердых сфер). Более простой, но вполне реальной, является задача о движении по геодезическим на многообразиях отрицательной кривизны. Мы разберем сейчас самый простой вариант этоя задачи — задачу о геодезических на поверхностях постоянной отрицательной кривизны.
Для этого нам потребуются некоторые сведения из геометрии Лобачевскоп>. Г. Плоскость Лобачевского. Лласкостаю Лобачевского называется верхняя полуплоскость 1[и г) 0 с метрикой *) йзз = + ", где г = х+ [у, дз «1 А танзне а[обое рнманозо многообразне, нзометрнчное указанному. $14) у.системы Прямая у=О называется абсолютом. Заметим, что углы в этой метрике совпадают с эвклидовыми углами, и что расстояние дсь абсолюта бесконечно. Т е о р ем а. Геодезическими плоскости Лобачевского являются. все окружности и прямые; ортогональные абсолюту, и только они (рис. 84). 4 Метрика инвариантна относительно 1) переносов вдоль абсолюта; 2) растяжений от начала координат; 3) симметрии г —.х (это очевидно).
Нетрудно проверить, что 4) метрика инвариантна также и относительно инверсии г 1/г. Из 1) — 4) вытекает инвариантность метрики относительно всех дробно-линейных преобразований верхней полуплоскости в себя. Кроме того, из 3) следует, что ось у геодезическая. Но дробнолинейным вещественным преобразованием можно перевести ось у в любую окружность или прямую, ортогональную абсолюту. Следрвательйо, все они — геодезические, Обратно, через каждую точку по каждому направлению проходит окружность или прямая, ортогональная абсолюту. Следовательно, других геодезических нет. )ь 3 а ма ч а н и е. Одновременно доказано, что движения (сохраняющие метрику и ориентацию) плоскости Лобачевского — ' это дробно- линейные преобразования верхней полуплоскости в себя.
Теорема. Окружностями на плоскости Лобачевского являются все евклидовы окружности, не пересекающие абсолют, и только они. 4 Рассмотрим единичный круг. Дробно-линейным преобразованием можно перевести верхнюю полуплоскость в единичный круг' (ср. гл. 1, 5 5. п.
Д). Поэтому внутренность единичного круга можно также рассматривать как модель плоскости Лобачевског4э (рис. 32). Дробно-линейные преобразования, сохраняющие верхнюю полу- плоскость, переходят при этом в дробно-линейные преобразования, сохраняющие единичный круг. Поэтому метрика плоскости Лобачевского в модели на круге инвариантна относительно всех дробно- линейных преобразований, сохраняющих круг. Но среди этих преобразований есть повороты вокруг центра. ' Следовательно все точки евклидовой окружности, имеющей с единичным кругом общий центр, равноудалены от этого центра в смысле метрики Лобачевского.
Итак, евклидова окружность является окружностью Лобачевского, если ее центр — в центре круга. Но любая евклидова окружность, не пересекающая абсолюта, может быть движением плоскости Лобачевского превращена в евклидову окружность с центром в начале координат. Следовательно, СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ [ГЛ. 3 всякая евклидова окружность, не пересекающая абсолюта, является окружностью в смысле метрики Лобачевского (как в модели на круге, так и в модели на полуплоскости).
Отсюда следует, что и обратно, всякая окружность Лобачевского является евклидовой окружностью. ~ Определение. Предел последовательности касающихся водной точке окружностей растущего радиуса на плоскости Лобачевского называется орициклом. Теорема. Орициклами на плоскости Лобачевского являются .евклидовы окружности или прямые, касающиеся абсолюп[а, и люлько они. 4 Рассмотрим полугеодезическую, выходящую из некоторой .точки плоскости Лобачевского (рис. 85). Выберем на этой полу- геодезической точку на расстоянии 1 от исходной точки.
Тогда окружность радиуса с центром в построенной точке проходит через исходную точку перпендикулярно геодезической. Пусть теперь 1 стремится к плюс бесконечности. Тогда в евклидовом смысле построенная окружность стремится к окружности, перпендикулярной рассматриваемой геодезичесувс. аз. кой и проходящей через ее точку на абсолюте. Эта евклидова окружность касается абсолюта. ~ Замеч'ание 1. Таким же предельным переходом при 1-~Со можно строить орициклы на поверхностях'отрицательной кривизны и орисферы на многообразиях отрицательной кривизны.
Замечание 2. Через каждую точку плоскости Лобачевского проходят два орицикла с общей касательной; они получаются из л[редыдущей конструкции при г-~-+со и при г~- — со. Д. Геодезические потоки на поверхностях отрицательной кри.визны. Пусть М вЂ” риманово многообразие. Мы будем предполагать, что М полно как метрическое пространство.
Например, любое компактное многообразие полно; плоскость Лобачевского полна, так как 'расстояние до абсолюта бесконечно. Рассмотрим множество всех касательных векторов к многообразию М, имеющих длину 1. Это множество является многообразием размерности 2п — '1, если М имеет размерность и. Оно обозначается через Т,М. О и р е д е л е н и е. Геодезическим потоком на М называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия касательных векторов длины 1, определенная следующим образом: каждый вектор за время [ сдвигается вперед вдоль касающейся его геодезической на расстояние 1, оставаясь касательным к этой геодезической.
$14) У-СИСТЕМЫ Т е о р е м а. Геодезический поток на плоскости Лобачевского удовлетворяет условиям 1) — 4) определения У-потока. 4 1'. Построим сжимающееся и расширяющееся опоения. С этой целью для каждого вектора построим ортогоналвный ему орицикл, являющийся пределом окружностей, центры которых расположены впереди точки приложения этого вектора. Снабдим этот орицикл в каждой точке нормальным ему единичным вектором, так, чтобы получилось непрерывное поле нормальных векторов (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
