1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 24
Текст из файла (страница 24)
з Ф СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ Следствие. Обозначим координаты точки е» через г/» и р„. Тогда разность двух последовательных подходюл(их дробей равна Р» р»т ( 1) ц» у»т ЧЧ»В»чх М При приведении дробей к общему знаменателю числителем оказывается определитель из компонент е»+, и ею равный ориентированной площади параллелограмма. Ь Доказательство теоремы. М Векторы е» лежат попеременно то по одну, то по другую сторону от прямой у=ух.
Поэтому подходящие дроби попеременно то больше, то меньше, чем )». Следовательно разность между )» и подходящей дробью меньше модуля разности между этой подходящей дробью и следующей. По следствию эта разность по модулю равна 1/в»о»,ю что не больше 1/о», так как о»+х )о» при й)0. й 3 а м е ч а н и е. Числа а» называются неполными частными. Подходящие дроби выражаются через неполные частные так: — =аз+в р» 1 д» а»+ 1 +: а» х называется бесконечной цепкой дробью.
бесконечную цепкую дробь в том смысле, 1 Выражение а,+— ах+... Число р фазлагается в что 1(ш р»/ч» =)» $'12. Аналитическое приведение к повороту аналитических диффеоморфизмов окружности В этом параграфе 'при помощи принадлежащей А. Н. Колмогорову модификации метода Ньютона доказывается теорема об аналитических диффеоморфизмах окружности, близких к повороту и имеющих почти любое число вращения.. А.
Формулировка теоремы. Обозначим через По полосу ~!ту~ (р. Лля голоморфной функции а, ,ограниченной 'в этой полосе, будем обозначать 1а()р — — зцр ) а (у) ), у щ Пр. Пусть и — иррациональное число, К) О, о)0. Мы скажем, что р число тика (К, о), если для любых целых р и дчь 0 ! р ( р / ч ) ~ ) К й ц ! Теорема. Сущесямует такое е)0, завиаицее только от К, р, о„что если а — 2ичмриодичакая аналитическая егщгстггнная на вещественной оси фуюсция с 1аро ~ а выкал, что преобразование у ь-е. у+2пр+а (у) ведает диффгоморфизм окружности с числом вращения р гнила (К, о), то мяот диффеоморфиаи аналитически вктталгнкмн тмороту на угол 2пр. 1ОУ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИВЕДЕНИЕ К ПОВОРОТУ Б.
Гомологыческое уравнение. Обозначим через 6 поворот на угол 2пр и через Н искомь)й диффеоморфвзм, превращающий. поворот в А: коммутативна диаграмма Я1 .с1 л и( 1н т. е. Н.й(=А Н. .с1 .сг 6 Запишем Н в виде Нг=г+Ь(г), Ь(г+2п)=Ь(г). Тогда для Ь получаем функционапьное уравнение Ь (г+ 2пр) — Ь (г) = а (а+Ь (г)). Если А мало отлычается от поворота, то а малр. Естественно ожидать, что и Ь вЂ” того же порядка малости. Тогда а(г+Ь(г)) отличается от а(г) на величину более высокого порядка малости, чем, а.
Поэтому «в первом приближенные мы получаем для Ь уравнение Ь (г+ 2пр) — Ь (г) = а (г). Это линейное уравнение завивается сомоловическим уравнением. Замечание. Мы можем рассматривать совокупность всех днффеоморфнзмов А как «бесконечномерное многообразнее, на нагаром действует «бесконечномерная группаэ диффеоморфизмов Н. При этом функцию а можно интерпретировать кзк касательный вектор к многообразию диффеоморфизчов в точке л, а функцию Ь вЂ к касательный вектор к группе в единице.
Е этих терминах гомологическое уравнение имеет следующий смысл: а принадлежит касательному пространству к орбите точки Е под действием группы если н только если гомологическое уравнение относительно Ь разрешимо. В. Формальное решение гомологыческого уравнения. Разложим известную функцию а и неизвестную Ь в ряды Фурье: а (г) ~ аьегав, Ь='Я Ьеегев. Сравнивая коэффициенты при е'ьв, находим оа .ветви — 1 Для разрешимости уравнення необходимо, чтобы знаменатели обращались в нуль лишь одновременно с числителями. В частности, гомологическое урзвненйе неразрешимо, если а«чьО.
Если о«=0 н число вращения р иррационально, то предыдущие формулы дают решение гомологяческого уравнения в классе формальных рядов Фурье. Чтобы получить настоящее решение, необходимо исследование сходнмости этого ряда. Г. Поведение коэффициентов Фурье аналитических функций. Лемма 1. Если 1 — 2п-периодичесеи функция, аналитическая в полосе П, непРеРывнаЯ в замыкании втой полосы, и ~(111о ( М, то ее ковффиЦиентм ФУРье убывают в геометрической прогрессии ~)а ~ М -1'1', 1 4 Как известно, ге= — 1У 1" (г) е-г"'дг.
Пусть Ь) О. Сдвинем путь инте2п $ грироваыня вниз (на — (р). Йнтеграл не изменится, так как интегралы по 108 СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ вертикальным сторонам полученного прямоугольника равны. Итак, тн /ь= — ~ /(х — !р) ггь -ьв ух, ~/ь ! ~Ме "о. 1 Г 2 д о При й < 0 путь нужно сдвинуть вверх (на /р).
~ Лемма 2. Если )/ь)--Ме ~ 'о„то функция /=и~~~/ьеье аналитична в полосе По, причем !)11(о-о~4М/б нри б(р, б(1. 4 й/[о-о (/ь ) )е!Ае [(М Яе М~ое~ь~<о о!= =М~е ~ ' ~2М/(1 — е О)~4М/б, ~ Замечание. В случае функций л переменных лемма 1 сохраняется, а в лемме 2 оценка 4М/б заменяется на СМ/бч, где С=С(л) — не зависящая от б и / постоянная. Д. Малые знаменатели. При решении гомологического уравнения коэффициенты Фурье правой части приходится делить на числа емимс — 1. Если число р иррационально,то прн й ~ 0 зти числа отличны от О.
Однако некоторые из них очень близки к О. Действительно, каждое число р допускает рациональные приблйжения р/д с ошибкой ~ р †(р/д)) ( 1/дз при сколь угодно большом д. При й=д'знаменатель езн!Ав- 1 будет очень мзл. Оказывается, с вероятностью 1 все зги малые знаменатели допускают степенную по й оценку снизу. Лемма 3, Пусть о)'О. Тоеда для почти каждою вещественною р сущеопвует К=К(р, о) ) 0 такое, юпо для всех целых р и ц Ф О. щ Рассмотрим на отрезке [О, Ц те числа р, для которых приведенное неравенство (с фиксированными р, д, К, о) нарушается. Эти числа образуют отрезок длины не больше 2К/Оз"'~. Объединение таких отрезков длб.
всех р (при фиксированных ц ) О, К, о) имеет суммарную длину не более 2К/Огнт. Суммируя по д, получаем множество меры не большей СК, где С = = 2 ~ д-а+О' ( со. Следовательно, множество. чисел р щ [О, Ц, для которых требуемое в лемме К не существует, покрывается множествами сколь угодно малой меры. Значит зто множество имеет меру ноль (на отрезке [О, Ц и, оледовательно, на всей прямой). ~ ' 3 а м е ч а н н е. Числа р, удовлетворяющие указанному вмше неравенству, названы в и.
А числами типа (К, о), Длн числа р типа (К, о) малый знаменатель допускает следующую оценку снизу: ~езнгьи ! ~)К/(2~у~то) ()д~)0), щ Действительно, расстояние от йр до ближайшего целого числа оценивается снизу числом КЛ й (''о, а хорда единичной окружности не короче, чем длина меньшей из стягнваемых ею дуг, поделенная на и. ~ Е. Исследование гомологнческого уравнения. Пусть а — 2и-периодическая аналитическая функция со средним значением О.
$ !2! АИАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИВЕДЕНИЕ К ПОВОРОТУ Л е и и а 4. Для почти всех р гомологичлпам уравнение имеет 2пслериоди- чесяое аналитическое решение (еещестленисе, если а аещесяыенная функция). Су- ществует таяая постоянная»=» (К, о) ) О, чяю если (э типа (К, а), та для любого б) О, меньшего р, и для любого р(1/2 !!А(!Р 4~ (!а(!э б-», 3 а м е ч а н н е. Таким образом, переход от' а к А ухудшает свойства функции не сильнее, чем »-кратное дифференцирование.
[Полезно отметить, что [!б»//дг»(!р э ~ С !!/!!р б-», согласно оценке Коши коэффнцнентов Тейлора.) Если пренебречь ухудшением функции, вызванным»-кратным дифференциро- ванием, то можно сказать, что решенне й гомологнческого уравнення того же порядка малости, что н его правая часть а. 1 1'. По лемме 1, )аа!(Ме ~а'Р, если 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
