1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Обратно, пусть да=О в плоскостях а = О. Тогда мы построим семейство. г» интегральных поверхностей в окрестности точки х следующим образом. Пусть о — какое-, Ряс. 67.. либо векторное поле, для которого а(о)=О (т. е. вектор поля в каждой точке лежит в плоскости поля плоскостей). Пусть Г' — какое-либо интегральное подмнопюбразие поля плоскостей' (рис. 67), и пусть о(х) не лежит в касательной плоскости к Г в точке х. Лемма. Фазсвые кривые поля о, проходящие через точки ин- 'а тегрального многообразия Г», вблизи х образуют гладкое интегральное многообразие 'г' вполне интегрируемого поля плоскостей »1 а=О. Ф~ 4 Обозначим через (у') локальный фазовый поток поля о.
Р Тогда а) диффеоморфизмы д' переводят плоскости нашего поля ) а=О в плоскости поля. Действительно, сЬ ($) = О для всякого вектора $ плоскости поля, поэтому поле плоскостей инвариантно относительно диффеоморфизмов д' по лемме п. Е $ 8. Далее, б) касательное пространство к г'»"1 в точках начального многообразия Г лежит в плоскости поля. Действительно, и касательная плоскость к интегральному мно гообразию Г, и вектор о принадлежат плоскости поля, а каса- "в » тельное пространство к г'~~ в х порождено о(х) и Т Г». .у Из а) и б) следует, что многообразие г'.»+' — интегральное для поля плоскостей а=О. Теперь интегральные многообразия размерности и — 1 строятся последовательным увеличением размерности. Рассмотрим локальную систему координат (х„..., х„„; у)„ в которой координатная плоскость у=О в точке ноль принадлежит полю плоскостей а=О.
л ю ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА Проекция вдоль оси у из плоскости поля на координатну плоскость (х„ ..., х, т) в окрестности точки ноль является изоморфизмом (рис. 68). Рассмотрим базисные векторные поля в координатной плоскости, (д(дхм ..., д/дх„,). Их прообразы в плоскостях поля образуют в окрестности точки О гладкие векторные поля. Обозначим зти поля через (о„ ..., и„,). Рис. 69, Рис. 68. В качестве начального (нульмерного) интегрального мнопюбразия Г' возьмем точку у, оси у (рис. 69). Применяя лемму к Ги и о„получим одномерное интегральное многообразие У'.
На У имеем х, =... = х„, = О, поэтому о, ф Т У . Применяя лемму к У" и п„получим двумерное интегральное многообразие У'. Двигаясь дальше таким же образом, мы начинаем с интегрального многообразия У~, на котором хим=... ...=х„,=О, действуем потоком поля оьм и получаем интегральное многообразие УА+т, на котором хь„,=...=х„,=О. Процесс заканчивается построением искомого многообразия уи-и Глава 8 Структурная устойчивость При использовании любой математической модели возникает вопрос о корректности применения математических результатов о поведении модели к реальной действительности. В самом деле, предположим, чтп результат сильно чувствителен к малейшему изменению модели.
В таком случае сколь угодно малое изменение модели (скажем, малое изменение векторного поля, задающего дифференциальное уравнение) приводит к модели с совершенно другими свойствами. Такие результаты опасно распространять на исследуемый реальный процесс, ибо при построении модели всегда проводится некоторая идеализация, параметры определяются лишь приближенно и т.
д. Таким образом возникает вопрос об отборе тех свойств модели процесса, которые мало чувствительны к небольшому изменению модели и, следовательно, могут восприниматься как свойства реального процесса. Одна из попыток выбора таких свойств привела к понятию грубости или структурной устойчивости (А. А. Андронов и Л. С. Понтрягин, 1937). Значительные успехи теории структурной устойчивости в случае малой размерности фазового пространства (1 и 2) породили оптимистические надежды, разбитые лишь в 1960-х годах 'после работ С. Смейла: Смейл показал, что при большей размерности фазового пространства существуют системы, в окрестности которых нет ни одной структурно устойчивой системы. Этот результат имеет для качественной теории дифференциальных уравнений примерно такое же значение, как теорема Лиувилля о неразрешимости дифференциальных уравнений в кнадратурах †д теории интегрирования дифференциальных уравнений.
Именно, он показывает, что задача полной топологической классификации дифференциальных уравнений с многомерным фазовым пространством безнадежна, даже если ограничиваться уравнениями общего положения и пренебрегать всеми вырожденными случаями. В этой главе приведен краткий обзор основных понятий, ме1одов и результатов теории структурной устойчивости. ПОНЯТИЕ СТРУКТУРНОИ УСТОИЧИВОСТИ э 1О] $ 10.
Понятие структурной устойчивости В этом параграфе определяется структурная устойчивость и исследуются структурно устойчивые векторные поля на одномерном фазовом пространстве. А, Наивное определение структурной устойчивости. Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение х=о(х), х~М, заданное векторным полем о на многообразии М. Мы будем также говорить, что поле о задает динамическую систему (или, короче, систему). Мы будем предполагать (как правило), что решения уравнения продолжаются неогра- хг ниченно; это всегда так, если М 'компактно. П р и ме р.
Уравнение маятника с трением (рис. 70): 1 Х1 Х1 = Х„ХУ = — Х, — йХ,, у=о й >й Если й = О, то все фазовые Рис. 70. кривые замкнуты; Если й ) О, то они наматываются на особую точку 0 типа фокус. Следовательно, небольшое изменение коэффициента трения качественно меняет поведение фазовых кривых, если до изменения он был равен нулю, и не меняет качественной картины, если коэффициент трения был положителен. Приведенное ниже определение структурной устойчивости формализует это различие: маятник без трения оказывается структурно неустойчивой системой, а маятник с трением †структур устойчивой.
0 п р е д е л е н и е. Система называется структурно устойчивой, если при всяком достаточно малом изменении векторного поля полученная система эквивалентна исходной. Чтобы придать этому определению смысл, нужно определить, что такое малое изменение поля и какие системы считаются эквивалентными. Б. Топологическая эквивалентность. Наиболее тонкая классификация дифференциальных уравнений основана на понятии диффеоморфизма. Две системы (М„, о1) н (М„о,) называются диффеоморфными, если существует днффеоорфизм Ь: М,-1-М„переводящий векторное поле о, н векторное оле о,. Диффеоморфные системы совершенно неразличимы с точки зрении еометрии гладких многообразий. Следующий пример показывает, СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ~гл.
3 что классификация с точностью до диффеоморфизма является слишком тонкой (слишком многие системы оказываются неэквивалентными). Пример. Рассмотрим уравнения с одномерным фазовым пространством х = х н х = 2х. В обоих случаях Π— единственное и притом отталкивающее положение равновесия. Однако зти две системы не диффеоморфны. 4 Если диффеоморфизм переводит особую точку одного векторного поля в особую точку другого векторного поля, то производная " этого диффеоморфизма переводит оператор линейной части первого поля в особой точке в оператор линейной части 'ф второго поля в его особой точке. Следовательно, эти два линейных оператора подобны и в частности имеют одинаковые собственные числа.
Та- ' ким образом, собственные числа линеаризации Рис. 71. векторного поля в особой точке являются непре-:= рывно меняющимися с полем инвариантами -„, относительно деффеоморфизмов. Такие инварианты называют модулями. Существование модулей приводит к тому, что разбиение $ множества векторных полей на классы диффеоморфных оказывается ие дискретным, а непрерывным (рнс. 71).
: 'йч В частности, два указанных выше поля не диффеоморфны, так -а «ак 1Ф2. 1 .й Чтобы не различать эти два поля, вводится более грубое Отношение эквивалентности †т называемая топологическая экви-;.;-".. валентность. Заметим, что гомеоморфизмы (взаимно однозначные .3 и взаимно непрерывные преобразования) не действуют на векторные поля. Поэтому топологическая .эквивалентность векторных полей' ', определяется следующим образом. Рассмотрим фазовые потоки, определяемые данными векторными ', полями. Фазовый поток поля о на М состоит из преобразований,;, йг: М-1-М, переводящих каждое начальное условие х, уравнения 1 х=о(х) в момент О в значение д'х, этого решения в момент 1; -,", :очевидно, д'+'=д'д*, д'=1. Если М компактно, то й'х определены при всех (я Й и хек М. О п р е д е л е н и е.
Две системы тоиологичгски эквивалентна,:; .если существует гомеоморфизм фазового пространства первой системы на фазовое пространство второй, переводящий фазовый поток -первой в фазовый поток второй: йд',х — = й',йх. .Иными словами, диаграмма М,— 'МА А( )А М,— 'М .«оммутативна. ПОНЯТНБ СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИЭОСТН «1и Например, системы х = х и х = 2х топологически эквивалентны. Замечание. Применения гомеоморфизмов для изгнания модулей, подобные проведенному выше, явились основной причиной:.
создания понятия гомеоморфизма и непрерывной (не дифференциальной) топологии. В, Орбитальная эквивалентность. К сожалению, понятие топологической эквивалентности систем не спасает от модулей. П р и м е р. Рассмотрим векторное поле, имеющее замкнутую фазовую кривую, скажем — предельный цикл. Тогда всякая топо- логически эквивалентная система тоже имеет предельный цикл, причем с'тем же периодом. При малом изменении поля период может немного измениться. Следовательно, период движения по циклу является непрерывно меняющимся инвариантом (модулем) и относительно топологической эквивалентности. Чтобы избавиться от этого модуля, вводится еще более грубая, чем с точностью до гомеоморфизма, классификация систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
