1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В. Геометрия на гиперповерхности в контактном многообразии Вернемся к общему контактному многообразию М' '. Пусть. Еаа — гладкая гиперповерхность в М"" (рис. 54). Определение. Поверхность Еаа в контактном многообрази[в Мзп+' называется нехарактеристической, если ее касательная плоскость н контактная плоскость в каждой точке х трансверсальньн (т, е. в сумме дают все касательное пространство к М'"", или„ что то же, пересекаются по (2п — 1)-мер-- ному пространству). и Определение. Пересечение касар тельной плоскости к нехарактеристичес- кой гиперповерхности с контактной плоск ГхЕ костью в точке гиперповерхности в кон- тактном многообразии называется харакЕа» теристпческой плоскостью в этой точке." Р„=Т„ЕПП„.
Рис. 54 Таким образом, характеристические. плоскости на гиперповерхности в М'""' образуют поле (2п — 1)-мерных плоскостей на 2п-мерном многообразии: это поле плоскостей, высекаемых на касательных пространствах гиперповерхности контактными плоскостями. Оказывается, контактная структура определяет в каждой из. этих (2п — 1)-мерных плоскостей еще избранную прямую — так называемое характеристическое направление. 71 НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ и з) Г.
Косоортогональные дополнения. Чтобы определить характеристическое направление, напомним, что в линейном пространстве с невырожденной билинейной формой определены ортогональные дополнения (ортогональность пары векторов определяется как равенство нулю значения формы на этой ларе). П р имер 1. Пусть (1„ш) — евклидово пространство, т. е. Ь вЂ” линейное пространство, а ш — скалярное произведение.
Каждому вектору $ соответствует 1-форма.ш($, ) — скалярное произведение с вектором $. Значение этой 1-формы на векторе т) равно ш(й, г)). Например, дгаб~ — это вектор, соответствую:щий 1еформе с((. Прямой в Ь соответствует ортогональное дополнение к этой прямой (=плоскость нулей 1-формы, соответствующей вектору прямой). (б,.) =а Каждая плоскость коразмерности 1 в 1. является ', Рнс. 55.
ортогональным дополнением к прямой (рнс. 55). Заметим, что при умножении ш на отличное от нуля число ортогональность векторов сохраняется. Поэтому соответствие между прямыми и ик ортогональными дополнениями не меняется при умножении скалярного произведения ш на отличное от нуля число. П ример 2. Пусть (5, ш) — симплектическое пространство, т. е. 1. Линейное пространство, а ш — кососкалярное произведение (билинейная кососимметрическая невырожденная е форма). Л Каждому вектору $ соответствует 1-форма (5,) д ш ($, ) — скалярное произведение с вектором Значение этой 1-формы на векторе я) равно ш Я, г)) (рис.
56). Например, гамильтоново поле с функцией Гамильтона Н вЂ” это поле, соответствующее 1-форме с(О. Прямой в Е соответствует косоортогональное дополнение к этой :прямой -(= плоскость нулей 1-формы, соответствующей вектору прямой). Каждая плоскость коразмерностй 1 в 5 является косо- ортогональным дополнением к единственной прямой. Заметим, что пргг умножении ш на отличное от О число орто-- гональность сохраняется. Поэтому соответствие между прямыми и их косоортогональными дополнениями не меняется-при умножении :симплектической'структуры ш на отличное от О число.
3 яд в ч в 1. Покажите, что каждая прямая лежит в своем кссоортогональном дополнении. Решение. ИЯ, $)= — ы(ьь $)=О. 3 з де ч ь 2. Докажите, что если все векторы надпространства 2п-мерного симплектичгского пространства попарно кос(гортогональны друг другу, то размерность етого надпространства не пргвосяодит и.
Решение. Косоортогонвяьное дополнение к й-мерному надпространству .имеет размерность 2п — а (действительно, выберем бвзкс (ем ..., еь); тогда 72 нрдвнкния с частными ппоизводнымп [гл. и уравнения ы (гы $)=0, ..., ю (гь, $)=0 образуют л независимых уравнений относительно 5, так как из зависимости между уравнениями вытекала бы зависимость между векторами гн ввиду невырожденности формы ю). Если д> л, то размерность ортогонального дополнения меньше л и пространство не может быть,косоортогональным самому себе.
3 а меча н ие. Косоортогональные себе подпространсгва размерности л в 2л-мерном симплектическом пространстве существуют. Они называются лагралзеегымп лодлростронгтгами. Д. Характеристики на гиперповерхности в контактном пространстве.
Вернемся к геометрии на нехарактеристической гиперповерхноств в контактном многообразии Мю". В каждой точке этой гиперповерхности Еза мы определилв характеристическую (2п — 1)-мерную плоскость Р: пересечение контактной плоскости и касательной плоскости к Е'" (рис. 57). Оп р еде ле н не. Характеристическим направлением в нехарактеристической точке х на гиперповерхности в контактном пространстве называется косоортогональное дополнение к характеристической плоскости в контактной плоскости (кососкалярное произведение определяется как с(а~ =о): 1„ = косоортогональное дополнение в Пз" к Р~ ' = Т„Ез"() Пз". Заметим, что характеристическое направление лежит в характеристической плоскости (см. п.
Г); в случае и = 1 характеристическое направление просто совпадает с характеристической плоскостью. Рис. 58. Рис. 57. Рис. 59. В общем случае характеристические направления во всех точках нехарактеристнческой гладкой- гиперповерхности в контактном пространстве образуют гладкое поле направлений на этой гиперповерхности; характеристическое направление в каждой точке принадлежнг также контактной гиперплоскости в этой точке (рис.
58). Определение. Интегральные кривые поля характеристических направлений на нехарактеристической гиперповерхности Е в контактном многообразии называются характеристиками еиперповерхностпи Е. Пусть Фа — й-мерное интегральное многообразие поля контактных плоскостей, лежащее в Е'". Ч В1 НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ О п р е д е л е н и е. Точка х ~ № называется нехарактеристической, если касательная плоскость к )т' в этой точке не содержит характеристического направления (рис.
59). 3 ад ач ы Докажите, что если х — нехарактеристическая точка многообразия Фв, то Л~п — 1, и приведите пример и-мерных интегральных поверхностей контактного поля плоскостей в М'"+', лежащих в Ете. Оказывается, характеристики, проходящие через точки интегрального нехарактеристического многообразия №, сами образуют (локально) интегральное (й+ 1)-мерное подмногообразие поля контактных плоскостей, лежащее на гиперповерхности Е'". Чтобы это доказать, нам потребуется одна простая общая лемма об инвариантности поля плоскостей относительно однопараметрической группы диффеоморфизмов. Е.
Отступление: условие иивариантности поля плоскостей. Пусть а — дифференциальная '1-форма, не обращающаяся в О. Такая форма задает поле гиперплоскостей. Пусть о — векторное поле, не обращающееся в О. Такое поле задает поле направлений тт. е. поле прямых). ' Мы предположим, что направление поля о в каждой точке принадлежит гиперплоскасти нулей формы а в втой пигчкег а(о) =О. Л ем ма.
Для того чтобы поле нулей формы а было инвариантно относительно фазового потока поля и, необходимо и достаточно, чтобы йа(о, $) =0 для всех $ из плоскости поля, а($) =О. ~ Утверждение леммы локально и инвариантно относительно диффеоморфизмов, поэтому его достаточно доказать для стандартного поля о=д/дхт в евклидовом пространстве' с координатами (хы ..., х„) (по теореме о выпрямлении векторного' поля). Пусть а=а,йхт+...+а„йх„. Тогда по условию а,— 0 (т. к. а(о) ~0). 3 а д а ч а. Докажите, что значение внешней производной формы а на паре (о, $) (где а=д/дхы а(о) = О, $ — любой вектор) совпадает со значением частной производной да/дх, на векторе $.
1~ еш ение. (На=ар' д йхт 1~ йхг) =Ф ~йа(о, й) = ~~) д дх ч)). Н0 а~ — = О. (ххругое, быть может более понятное, решение получается при применении формулы Стокса к параллелограммам со сторонами о, й.1 Условие инвариантности поля нулей формы а относительно сдвигов вдоль оси х состоит в том, что частнаЯ пРоизводнаЯ да/дхх должна обращаться в нуль на плоскости поля, а=О. Зная, что дагдхт(э) =да(о, $), мы видим, что условие инваримнтности имеет вид (а ($) = 0) =:р (йа (и, $) = О). $» УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЪ|МИ |гл. т Ж. Задача Коши для поля характеристических направлений Вернемся к нехарактеристической гиперповерхности Екч в контактном многообразии М"".
Пусть Л|' — интегральное подмногооб- разие поля контактных плоскостей, лежа-- ° нпв щее в Е'". Определение. Задача Коши для гих перповерхиости Екч в контактном многообра- зии М'"+' с начальным многообразием Л|"-ь Е состоит в отыскании интегрального много- образия У" поля контактных плоскостей Рис. 60. лежащего в Ее" и содержащего на- чальное многообразие )и'"-' (рис.. 60) Т е о р е м а. Пусть х — нехарактеристическоя е) точка 'начального многообразия Л|" '. Тогда существует такая окрестность (Т точки х, что решение задачи Коши для Е"'П() с начальным условием Л| 'В'У существует и локально единственно (т.
е. любые. два решения с общим начальным условием совпадают в некоторой' окрестности тачки х). Многообразие ]"' состоит из характеристик, проходящих через: точки начального многообразия |т'"-'. 4 Семейство характеристик, проведенных через точки начального многообразия, образует в окрестности точки х гладкоеподмногообразие У" размерности п в Е'". Докажем, что зто многообразие является интегральным для поля контактных гиперплоскостей.. Рассмотрим контактную 1-форму а, задающую в окрестностш точки х контактное поле гиперплоскостей.
Обозначим через а сужение формы а на окрестность точки х в гиперповерхности Е'". Форма а не обращается в О, так как гиперповерхность Е' нехарактеристическая (см. п. В). Эта форма определяет на Е'"' поле касательных гиперплоскостей (зто следы контактных гиперплоскостей на Ееч): 'Поле характеристических направлений на Е'" лежит в поле нулевых плоскостей формы а (см. п. Д). |г Рассмотрим в окрестности точки х на х ( с ух Еич какое-либо векторное поле о, направление вектора которого в каждой точке характеристическое. Обозначим через (а') Рис. 6!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
