1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для квазилинейного же уравнения характеристической или нехарактеристической является точка (хо ио) ен Г, а о характеристичности точки хо я у говорить не приходится.) В В. И, Ароооьл УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ~гл. » Теорема. Решение квазилинейного уравнения (6) с нехарактеристическим в точке хе начальным условием в окрестности втой точки существует и локально единственно. 4 Из нехарактеристичности начального условия в точке хь следует, что: 1) Характеристическое поле А не обращается в окрестности точки (х», и,) в нуль.
Поэтому в окрестности этой точки определено гладкое поле характеристических направлений. 2) Характеристическое направление не касается начального многообразия Г в рассматриваемой точке и, следовательно, в ее окрестности. Поэтому существует и единственна локальная интегральная поверхность характеристического поля направлений, содержащая начальное многообразие Г (см. п. А). 3) Касательная плоскость к интегральной поверхности в точке (хь, и») невертикальна (не содержит оси и). Поэтому интегральная поверхность является графиком функции. Эта функция и есть искомое решение (см. п.
Е). В Замечание. Доказательство содержит также процедуру построения решения задачи, Коши для квазилинейного уравнения. $8. Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка Нелинейные уравнения с частными производными первого по- . рядка, как и линейные, интегрируются прн помощи характеристик. Но если характеристики линейного уравнения относительно функции на М лежат в М, а квазилинейного — в М хИ, то для общего нелинейного уравнения с частными производными первого порядка:.
характеристики лежат в многообразии 1-струй функций, Р (М, Щ. Многообразие 1-струй функций имеет естественную контактную структуру. В основе интегрирования нелинейных уравнений с частными произподными первого порядка лежат простые факты геометрии контактной структуры, с которых мы и начнем.
А, Контактные многообразия. Контактным многообразием называется многообразие,'снабжен-': ное полем гиперплоскостей в касательных пространствах, удовлетворяющим условию «максимальной неинтегрируемости». Поле плоскостей (в отличие от поля одномерных направлений) . может не иметь интегральных поверхностей, размерность которых равна размерности плоскостей. Чтобы измерить препятствие к существованию интегральных гиперповерхностей у поля гиперплоскостей, проделаем следующую конструкцию. Введем в окрестности интересующей нас точки О многообразия координаты так, чтобы плоскость поля в О стала координатной гипер-, НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ Б7 плоскостью; мы будем называть соответствующие координаты горизонтальны.чи, а оставшуюся координатную ось назовем вертикальной.
Для любого пути в горизонтальной плоскости построим цилиндр над этим путем с вертикальной образующей. След нашего поля плоскостей на поверхности цилиндра есть поле направлений. Интегральные поверхности (если они существуют) пересекают цилиндр по интегральным кривым этого поля направлений (рис. 5 1). Таким образом мы можем поднять любой путь с горизонтальной плоскости на искомую 4 поверхность. Пусть теперь ($, т») — два вектора на горизонтальной координатной плоскости в рассматриваемой точке. Рассмотрим параллело-.
грамм, натянутый на ($, т»). Из рассматриваемой точки в противоположную вершину параллелограмма ведут два пути по сторонам параллелограмма. Поднимая эти пути, мы получим над противоположной вершиной, вообще говоря, две разные точки. Их различие и есть препятствие к построению интегральной гиперповерхности или, как говорят, к «интегрируемости» поля гиперплоскастей. Рассмотрим разность вертикальных координат двух полученных точек. Главная билинейная (относительно $ и т») часть этой разности измеряет степень неинтегрируемости поля. Чтобы дать формальное определение, проделаем следующее построение.
Поле касательных гиперплоскостей на мнопюбразии локально задается дифференциальной 1-формой с«, не обращающейся нигде в нулевую форму и определенной. с точностью до умножения на не обращающуюся нигде в нуль функцию: плоскости поля — это нули формы (подпространства касательного пространства, на которых . значение формы равно нулю). Ф Пример. Рассмотрим в простракстве мах~а с координатами (хт,..., хея к; р„., ра» (.форму а=ли — рбх (где рйх р,бх;+...+р бх„», Ьформа а нн в одной точке в Р х~т не обраптается в нулевую форму н, следовательно, ведает поле.2а-мерных плоскостей и О в («аа~т з' (рнс.
бхт. Рнс. 52. 0 п р ед е л е н и е. Дифферен- циальная 1-форма а, не обращающаяся нигде в форму О на многообразии М, называется контпаклтиои, если внешняя производная да формы а определяет в- каждой плоскости с«=О невырожденную внешнюю 2-форму. 3* 68 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. я (БИЛинейная форма ст Е зс Е-ь 1ч невырождена, если Уй е= еи Е, ОЛц ~ Е: ш (х, О) Ф О.) Невырожденная кососимметрическая 2-форма на линейном прост- ранстве называется также сииплектической структурой. П р и ме р. Построенная в предыдущем примере форма контактная. Дейст- вительно, внешняя производная формы и равна ех д вр +" + вх д 4 . Н плоскости а=в координатами служат (х,, ..., х„; р„...р„). Матрица формы IΠ— Е'~ в=Вес ~а в этих координатах имеет вид ( ), где Š— единичная матрица порядка и. Определитель этой матрицы равей единйце. Следовательно 2-форма ы невырождена.
3 а м е ч а н и е. Невырожденные кососимметрические билинейные формы бывают только в четномерных пространствах. Поэтому контактные формы бывают только на нечетномерных многообразиях. Теорема. 1тусть сс — контактная форма, а 1 всюду отличная от нуля' функция. Тогда (а тоже контактная форма.
При етом симплектические структуры йсс!а-ев й(гга)!Га-е на плоскости а=О отличаются нц не Обращающийся в нуль мно- житель. 4 По формуле Лейбница й (гсс) = й) /~ а+ )йсс. Но йГ Д а на плоскости а = 0 есть нулевая 2-форма. Следовательно, 2-формы йа и 'й()сс) на плоскости а=О отличаются на ненулевой множитель |. В частности, 2-форма й ()'а) ~, а= = 1йсс ~„е невыРождена, поэтомУ )сс — контактная форма.Ь Определение. Контактной структуи рой на многообразии М называется поле касательных гиперплоскостей, локально задаваеРис.
83. мое как множество нулей контактной 1-формы. Гиперплоскости поля называются контакт- ными гиперплоскостями. Мы будем обозначать контактную ги- перплоскость в точке х через П„(рис. 55). Замечание 1. Из предыдущей теоремы следует, что свойство 1-формы, задающей поле плоскостей, быть контактной, ве зависит от выбора формы, но определяется самим полем контактных пло- скостей. Действительно, если р-другая форма, задающая то же поле„то (локально) р отличается от а на не обращающийся нигде в ноль множитель; следовательно, формы (1 и а контактные (или неконтактные) одновременно.
3 а м е ч а н и е 2. Контактные структуры бывают только на нечет- номерных многообразиях, в9 нелинвинов уоьвнвнив чи Оп р еде ление. Подмногообразие контактного многообразия называется интегральным многообразием поля контактных плоскостей, если касательная плоскость к подмногообразию в каждой .гочке принадлежит контактной плоскости. 3 а д а ч а. Докажите, что размерность интегрального многообразия поля контактных пмккостей на контактном многообразии размерности 2п+1 не превосходит и. Решение.
На таком многообразии У форма (ьа (где (: У-~ Мыы — вложение) равна нулю. Поэтому (ьйх = й(ьа = О. Поэтому каждые два вектора касательною пространства косоортогональны: ль Я, ц) = О. Отсюда следует, что,размерность касательного пространства не больше и (см. ниже п. Г, задача 2). 3 а меча н и е. Интегральные многообразия размерности и кон"гактного 'поля в Мы"' существуют. Они называются лежандровыми подмногообразиями. Как мы сейчас увидим, каждой функции соответствует лежандрово подмногообразие в пространстве 1-струй.
Б. Контактная структура на многообразии 1-струй функций, Пусть У вЂ” и-мерное многообразие. Рассмотрим многообразие 1-струй функций на У,,(г(У, Р). 1-струя функции г на У определяется точкой х ~ У, значением и=)(х) функции 1 в этой точке и первым дифференциалом функции 1 в точке х. Таким образом, многообразие 1-струй функций на У имеет размерность 2п+1.
Если (хы..., х„) — локальные координаты на У, то 1-струя функции г на У задается набором 2п+1 чисел (х,,..., х„; 'и; р„..., р„), где р~ — — (д~/дх~) (х). О п р е д е л е н и е. Стандартной контактной формой на многообразии 1-струй функций (г(У, И) называется 1-форма а=йи — рйх (рйх=р,йх,+...+р,йх„). Выше мы уже видели, что это действительно контактная 1-форма Ры--г Нетрудно видеть, что форма а, определенная с помощью координат, в действительности от выбора (х„..., х„) не зависит и определена в целом.
Определение. 1-графиком функции 1: У-ь Й называется подмногообразие, составленное из 1-струй функции ) во всех точках из У. Таким образом, 1-график функции и переменных является и-мерной поверхностью в (2п+1)-мерном пространстве. Теор ем а. Стандартная контактная форма на многообразии 1-струй функции и переменных обращается в нуль на всех касательных плоскостях к 1-графикам функций. Замыкание объединения касательных плоскостей ко всем 1-графикам функций совпадает уо УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОПНЫМИ [Гл.
я' с нулевым подпространством втой формы (в каждой точке пространства струй). 4Первая часть вытекает из определения полного дифференциала функции, йи=рйх. Вторая следует из существования функции с любыми частными производными в точке.Ь Из доказанной теоремы следует, что поле плоскостей, заданное. стандартной контактной формой'в пространстве 1-струй, не зависит от выбора системы координат, участвовавшей в определении стандартной контактной формы.
Это позволяет ввести следующее Определение. Стандартной контактной структурой нее многообразии 1-струй функций на У называется поле-гиперплоскостей, являющихся обьединениями касательных плоскостей к графикам функций на У. 3 ада ч а. Группы диффеоморфизмов пространств У и [к естественно действуют на многообразии 1-струй функций г'г(У, Й). Докажите, что стандартнат контактная структура пространства 1-струй инвариантна относите»ьна втаггь действия. Кроме туго, стандартная контактная 1-форма и инвариантна относительно действия группы диффеоморфизмов пространства У, а при действии диффеоморфизмов прямой Гк умножается на функцию, не обрашаюшуюся в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
