1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 12
Текст из файла (страница 12)
проектнвных преобразований. Аппроксымнрующее,проектнвыое поле имеет в указанном выше безвсе. алгебры Лы компоненты (о, о', о"/2). Соответствующая полю ызтрнца выест. поэтому ввд ~ — о'/2 - о'/2/' ее определитель н есть /э (с точыостью до несущественного множнтеля). 3 а мечевые 2. Поввднмому, всякая функция (многочлен, ряд ...),от эначеный о н конечного числа производных о, инвариантно связанная с полем о относительно проектввных преобрэзований, выражается через построенные.
ннвврнакты /ь. Замечание 3. Проектывные инварианты функции на проективной прямой можно поетроять тзк: функцвн сопоставляется ее дифференциал (!.форма), . форме — поле, полю — инварианты /ь. В чвстностн, простейшим внварнантом функция / относительно проектввных преобразований независимой переменной. является /.(Л="/ „3/ (эта велнчннэ отличается от производной Шварца. ннвзрнантной относытельно, проектывных пресбраэовэннй осн эыэченый функции, лншним множителем /'ь в знаменателе). Замечание 4. Построенные выше внварнанты /г, /ь, ...
пря умноженын векторного поля на число Х умножаются на Хз, дг..... Из ннх легко составить. комбвнацнн, уже нечувствительные к умножению поля ыа число, например, /$//1 Велйчнна г, соответствующая полю о, построенному по (5/2) форме ю, является скалярной функцией на пространстве линейных элементов плоскости, уже совершенно не зависящей от выбора координат, но лишь от нсходного дифференциального уравнення второго порядка. Д. Уравнения, кубические относятельно производной.
Обращение в нуль построенной выше формы недезарговостя ю вдоль любого- решения необходимо для выпрямлення уравнения (прнведення его к виду. дгр/дкь 0) но, как мы сейчас увидим, не достаточно. Т е о р е и э 1. /)Ргдпологким, что дифференциааьное ррагнениг дЬ/4 '=Ф(х И р) (р-др/4 ) приеодшпгя к еидр ду/дФ 0 диффгоморфитмом плоскости. Тогда Ф вЂ” многочлгн не аииг третьей степени относительно р.
Иными словами, дкфференцвальное уравнение семейСтва всех прямых нз. плоскости, записанное в любой системе крнволннейяых координат, выест правой частью мыогочлен не выше третьей степени отыоснтельно первой производной. Теорема ! вытекает из следующего (уднвнтельного) факта'. Теорема 2. //ргдположим, что правая часть дифференциального рраенения йу/длэ Ф (х р р) спицнлльнып урявняння (гл.
! — мяогочлек ке выше третьей степени относительно р, Тогда после любого диффеоморфизма плоскости уравнение переходит в уравнение такого же вида, .т. е. правая часть остается миогочленом пе вьаие третьей степени относительно производной.
~ Теорема 2 вытекает из лемм п. Б о действии замен независимой 'и замисимой переменной на правую 'часть уравнения (см. следствия в п. Б), так жак любой локальный диффеоморфнзм плоскости можно получить, последовательно применяя такие замены. ~ 4 Теорема 1 вытекает из теоремы 2 и того. что ноль †многочл яе выше -третьей степени относительно р.
~ 3 ад а ч а. Сделать в уравнении йзу(йх'=азу'з — а,у'э+ угу' — Ьь .!где аь Ьг — функции от х, у) замену (х, у)-ь(у, х). Ответ: йзх/йрз = Ььх'ь — Ьгх'а+ агх' — аь. Замечание. Можно показать, что условия ынмО и йеФ(йрвгщО независимы. Поэтому условие ювиО не достаточно для приведения уравнения и виду йзу/йхе=О.
Оба условия (ьь= О, йгФ/йрь= — О» вместе уже достаточны для приведения .уравнения к виду йзу/без=О. Зто можно усмотреть иэ формул п. Б (после *мекоторых вычислений). Задача. Докажите, что каждое уравнение второго порядка локально .(в окрестности точки х=О решения у=О) приводится к виду йзу/йхз =рзВ (х, у, р), р йу/йх.
Е. Геометрця пары полей направлений в трехмерном пространстве. Рассмотрим пару полей направлений в трехмерном пространстве, Оказы. :мается, локальная классификация таких пар общего положения (с точностью до диффеоморфизмов пространства) эквивалентна локальной классификации .дифференциальных уравнений второго порядка (с точностью до диффеоморфнзмюв плоскости зависимой и независимой переменной; локально=вблизи данной -точки с направлением), Прежде всего сопоставим .паре полей направлений в трехмерном пространстве двупараметрическое семейство кривых на плоскости. С этой целью выпрямим первое поле с помощью локального диффеомор.
-фвзма пространства, переводящего семейство интегральных кривых первого поля в семейство параллельных вертикальных прямых. После этого спроектиьруем интегральные кривые второго поля на горизонтальную плоскость вдоль вертикальных прямых. На горизонтальной плоскости (на фактор-плоскости -пространства по интегральным кривым первого поля) получим двупараметрическое семейство кривых.
Теперь построим по двупараметрическоиу семейству крявых дифференци-альное уравнение второго порядка, для которого зги кривые являются графиками решений. С втой целью заметим, что в общем локальном двупвраметрическом .семействе кривых на плоскости вблизи каждого линейного элемента (точки и , 'направления) кривой семейства через каждую точку плоскости по каждому маправленйю проходит кривая семейсзиа и притом одна (для этого должен ..лишь не обращаться в нуль соответствующий определитель Якоби).
Если семейство — общее в указанном смысле, и (х, у) — координаты на плоскости, то значение йзу/йхз на кривой семейства является гладкой функщией от рассматриваемого элемента, т. е. от (х, у, йу/йх). Мы получаем таким образом дифференциальное уравнение второго порядка йьу!йхз=Ф (х, у, йу/йх). Графики решений этого уравнения являются кривыми семейства (по теореме единственности).
$ 61 гйомнтоия трявннния второго )зорядкя Таким образом, мы сопоставилн паре полей направлений в трэхмерном пространстве дифференциальное уравнение второго порядка, при некотором условии невырожденносчи: должен быть отличен от нуля соответствующий определитель Якоби. О яр е деле н и е. Поле направлений в трехмерном пространстве называется нгеырожденным относительно вертикали, если направление поля нигде не- вертикально и при этом горизонтальная проекция направления поля поворачивается с ненулевой скоростью при движении точки приложения вдоль вертикальной прямой. Пара полей направлений в трехмерном пространстве называется невьцюжденной, если после .днффеоморфизмз, делающего первое поле вертикальным, второе стамовится невырождевным по отношению к первому.
3 а меча н и е. Нетрудно видеть, что определение коррентно: если второе поле становится невырожденным по отношению к,первому после некоторогодиффеоморфизма, выпрямляющего интегральные кривые первого поля, то оно. станет таковым и „после любого другого днффеоморфизма, выпрямляющего первое поле. Нетрудно проверить также, что невырожденность пары' сохраняется при изменении порядка полей (т. е. что все равно, какое из двух полей выпрямлять), .
Выше мы сопоставили каждой невырожденной паре локальных полей. направлений в трехмерном пространстве дифференциальное уравнение второго. порядка. Действительно, наше условие невырожденности в точности совпадаетс отличием от нуля определителя Якоби д (у, у')/д (и, о), где (и, о) — параметры семейства. Понажем теперь, что это соответствие устанавливает полную эквивалентность задач о локальной классификации пзр полей направлений в [« и з дифференциальных уравнений второго порядка. Т е о р е м а. Каждое уравнение второго порядка получается описанной выше- конструкцией из подходящей нееырожденной пары полей направлений в трехмерном пространстве, Если две пары полей переводяяюя одна в другую диффеоморфизмом пространства, то аютеетствующие уравнения переводятся адно в другое диффеоморфизмом плоскости.
Обратно, если два уравнения второго порядка переводящем одно в другое диффеоморфизмом плоскости, то любые двв пары полей. отвечающие нм, переводятся одна в другую диффеоморфизмом пространства. Таким образом, пара полей восстанавливается по уравнению однозначно (с точностью до днффеоморфизмов пространства). а[ Для каждого уравнения йзу/йх«=Ф (х, у, йу/йх) рассмотрим в трехмерном пространстве 1-струй с координатами (х, у, р) семейптво «вертикальныхь линий р-направления (х=сопз(, у=сапа() и семейство интегральных кривых системы йу/йх=р, ар/йх=Ф, эквивалентной уравнению.
При проектировании вдоль вертинального направления получим семейство. графиков решений нашего уравнения. Итак, для каждого уравнения мьз предъявили пару полей направлений, из которой оно получается. Диффеоморфизм пространства,.переводящий каждую вертикальную прямукьв вертикальную, задает диффеоморфизм горизонтальной плоскости. Поэтому из диффеоморфизма двух пар полей в [« ' следует диффеоморфизм соответст- 8.
вующих уравнений.. Обратно, диффеоморфизм горизонтальной плоскости действует на линейные. элементы (направления) кривых на,плоскости. Поэтому диффеоморфизм, переводящий первое уравнение во второе, определяет днффеоморфиам трехмерного. пространства с первой парой полей направлений во второе.
[Точке первого- пРостранства отвечает элемент кривой на плоскости, диффеоморфизм переводитего на новое место, полученный элемент является' проекцией направления второго поля второй пары в единственной точке второго пространства †э точка и сопоставляется исходной.] ~ Из доказанной теоремы следует, что все описанные выше результатьв о геометрии семейства решений уравнения второго порядка могут быть пере-- СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл. г формулированы в терминах геометрии невырожденной пары полей направлений в трехмерном пространстве (или, если угодно, в терминах геометрии <истемы двух уравнений первого порядка, не разрешенной относительно производных, в простейшем случае, когда производные зависят от координат .двузначно).
Заметим также, что невырождеиная пара полей направлений задает в трехмерном пространстве контактную структуру (вполне неинтегрируемое поле плоскостей, натянутых на данные направления, подробнее см: гл, 2). Интегральные кривые наших полей образуют в смысле втой структуры лежандровы расслоения ').
Поэтому мы можем переформулировать предыдущие .результаты как результаты о геометрии пары лежандровых расслоейий в 1ч . ж.д й Выше мы построили для каждой невырожденной пары полей направлений в трехмерном пространстве дифференциальное уравнение второго порядка, ч»ыпрямляя первое поле к проектируя интегральные кривые второго. Однако можно было бы поступить наоборот: выпрямлять второе поле, а проектировать интегральные кривые первого. В результате получится, вообще говоря, другое уравнение второго порядка. Таким образом, для хаждого дифференциального уравнения второго порядка имееюя двойственное ему уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
