1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В терминах пар полей направлений в трехмерном пространстве переход к двойственному урзвнению сводятся к тому, что мы меняем местзмн поля пары. Другое описание двойственного уравнения состоит в следующем. Предположим, что семейство решений уравнений второго порядка для у(х), зависящих от двух параметров (и, о) записано в виде Р (х. у; и, о) =О. Будем теперь считать пзраметрамн х и у, а цеременнымн и и о. Тогда зто же -соотношение определит двупараметрическое семейство функций о(и). Это семей-ство является семейством решений уравнения второго порядка; зто уравнение .и есть уравнение, двойственное исходному.
3 а д а ч а. Докажите, что форма иедезарговостн ы уравнения второго :порядка (см. п. Б) равна нулю тогда и только тогда, когда правая часть 'ш двойственного уравнения †многочл не выше третьей степени относительно шроизводной. Таким обрезом, условие выпрямляемости уравнений второго порядка можно сформулировать так: Уравнение й»у(йле Ф (х, у, йу)йх) приводится к виду йзу(йх»=0, если и только если правая часть является многочленом не вьаие третьей отвлеки относительно производной как для данного уравнения, так и для двойственного .уравнения. 3. Обзор.
Геометрия уравнения второго порядка послужила ясточникам ряда математических теорий. 1'. А Трессе, ученик С. Ли, в диссертации чПе!епп1пзйоп йез !пчаг!зп1з рппс!пе(з бе !'ейпа(!оп бШегеп1!е11е огй!па!ге йе зесопб огйге», 1е!рз!8, 1896 (см. также его статью гЗш !ез !пчапап!з й!1(егеп11е1з без йгойрез сони!!ппез ч(ев !гапв1оппаВопз»,. Ас!а Мл(йшпа(!са 1894 18, 1 — 88) 'построил все виолу. .ннварианты» уравнения. (Полуинварнаитом порядка й называется функция' от значения правой части уравненяя ц ее производных цоридка не выше й в данной точке прост.ранства (к, у, р), обращение когорой в нуль для данного уравнения в данной *) Лежандровым подмногообрззием контактной структуры называется интегральное подмногообразие наибольшей возможной размерности.
Лежандрово расслоецие-это расслоение с лежаидровыми слоями. 4 е! ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА точке этого трехмерного пространства элементов влечет за собой ее обращение в нуль для преобразованного диффеоморфиэмом плоскости уравнения в преобразованном элементе.] Оказывается, имеется ровно два функционально независимых полуннварианта четвертого порядка. Одни нз них 8«Ф/др«. Другой †скалярн инва- Ь иант /«, построенный по форме кнфинитезимальной недезарговостн (см. п. Г).
я уравнения в нормальной форме «(»Р/дх»=А(х) уз+0(] у ]э+ ] Р )«) /з 2з о о« и А — т/э следовательно, нолуинваркантом является 6АА" — 12А'э. Трессе нашел еще три полуннварианта пятого порядка, а при А~ 6 еще (А» — й — 8)/2 полуинвариантов порядка й; все прочие полувйварианты — функции от этих. Трессе указывает также, что все полуинварианты «выводятся иэ трех простейших» дифференцированиями. 2', Задача о геометрии дифференциального уравнения второго порядка привела Э. Картана к теории многообразий проектнвной связности (Е. С а г ! а п„ Впг 1ез чаг!е!4з й соппесВоп рго]есВче, Вп!!.
Бос. Мабш Егзиге, 62, 1924, 205 — 241; Оепчгез, П1 1, Х 70, Рш!з, 1955, 825 — 862). Проективная связность на многообразии есть сопоставление каждому гладкому пути на многообразии проективного отображения касательного. пространства в исходной точке пути в касательное пространство в конечной точке, гладко зависящего от пути «). В чзстносгн, замкнутому пути отвечает проектнвное преобразование исходного касательного пространсва, а обходу по «бесконечно малому параллелограмму» отвечает «бесконечно малое проектнвиое преобразование», называемое формой кривизны связности. Проективная связность называется связностью без кручения, если начало координат касательного пространства остается при обносе по замкнутому пути на месте.
Среди всех связностей беэ кручения Картан выделяет нормальные свяэностя. В двумерном случае нормальность связности означает, что каждая прямая, выходящая нз начала координат. касательной плоскости, при обносе по замкнутому пути переходит в себя. Геойезнческой линней связности называется линия на многообразна, касательная к которой при переносе вдоль этой линии переходит в касательную. Оказывается, геодезические проективиой связности без кручения на плоскости являются графиками решений уравнения второго порядка, правая часть ноторого — многочлен не выше третьей степени относительно производной. Обратно, всякому уравнению второго порядка с правой частью в виде многочлена не выше третьей степени соответствует в точности одна нормальная проектввная связность без кручения, для которой геодезическими являютсп графики решений. Что касается общих уравнений второго порядка, то им Картан тоже однозначно сопоставляет нормальную проективную связность без кручения, ио перенесение двумерной плоскости определяется уже вдоль путей в трехмерном пространстве злементов (подробности см.
в питярованной Работ» Картана). 3'. Перевод теории Трессе на языК пары полей направлений в пространстве проделан Белем (О. В'о1, ()Ьег !оро!ой!«сЬе 1пчаг!зп!еп чоп зтче! КпгчепзсЬагеп !и Ваша, АЬЬапб!ппйеп Ма!Ь. Беш. (/и!ч. НашЬпгй, 9, 1 (1932), !5 — 47). В этой теории, повидимому, остался нерешенным вопрос о пространстве орбит, в частности, вопрос о том, сколькими параметрзмн нумеруются орбиты А.струи уравнения второго порядха (под действием группы диффеоморфизмов плоскости на пространстве А-струй уравнений) в окрестности точки общего положения пространства А-струй. ') Удовлетворяющее некоторым естественным условиям.
которых мы здесь не приводим, Глава 2 Уравнения с частными производными первого порядка Уравнения с частными производными изучены гораздо хуже, -чем обыкновенные дифференциальные уравнения. Один из резуль- "" татов этой теории — теорию одного уравнения с частными производными первого порядка — удается свести к изучению специаль- ' ных обыкновенных дифференциальных уравнений, так называемых;- уравнений характеристик. Сущность этой связи состоит в том, й что сплошная . среда из невзаимодействующнх частиц может .$ описываться как уравнением в частных производных для поля, так и обыкновенными уравнениями для частиц.
В настоящей главе изложена эта теория (в математическом отношении сводящаяся к геометрии так называемых контактных .. структур). Рассматривается также вопрос об интегрируемости поля гиперплоскостей (теорема Фробениуса). З 7. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка Интегрирование уравнения с частными производными первого т( порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных диф-.:,'. ференциальных уравнений — так называемых уравнений характеристик. В основе этого сведения лежат простые геометрические "'. соображения об образовании поверхностей нз семейств кривых. Мы начнем с этих геометрических соображений, а затем применим й их к уравнениям с частными производными.
А. Интегральные поверхности поля направлений. Пусть Х вЂ” гладкое многообразие, У вЂ” поле направлений на Х. Определение. Гладкое подмногообразче У~ Х называется интегральной поверхностью поля У, если касательная плоскость, к У в каждой точке содержит направление поля У (рис. 39). Теорема. Подмногооброзив У с:, Х лвллетсл интегральной-'! поверхноапью полл У тогда и только тогда, когда оно вмеапв ~ ЛИНЕИНЫЕ И КВАЗИЛИНЕННЪ|Е УРАВНЕНИЯ с каждой своей точкой содержит лип|ерзал интегральной кривой„ проходящей через мпу точку..' ~ Утверждение теоремы локально и инвариантно относительно диффеоморфизмов. Поэтому его достаточно доказать для стандартного поля параллельных направлений в линейном пространстве.
Но в этом случае утверждение теоремы очевидно (оно еводитс|и к тому, что функция, заданная на интервале, постоянна тогда ж только тогда, когда ее производная равна нулю, рис. 40). Ь Рис. 39. Рис. 40. Рис. 41. Пусть à — й-мерное подмногообразие в и-мерном многообразии Х (рис. 41). Г называется гиперповерхностью, если я=п — 1. О п р вдел е н и е. Задачей Кои|и для поля направлений с начальным многообразием Г называется задача об отыскании (й+1)-мерного интегрального подмногообразия поля У, содержащего начальное подмногсюбразие Г. Заметим, что интегральные кривые, проходящие через Г, не всегда образуют подмнопюбразие даже локально, в окрестности начального многообразия Г, см.
(рис. 42). 'ОпРеделениЕ. Точка начального многообразия называется характеристической в поле направлений если направление поля У в этой точке касается начального многообразия. Теорема. Пусть дана нехарактеристическая в поле направлений У точка й-мер- Рис. Аз. ного начального многообразия. Тогда существует (й+1)мернал интегральная поверхность поля, ссдерзаищив окрестность втой точки на начальном многообразии.
Зта поверхность единственна в том смысле, что любые две интегральные поверхности, содержащие окрестности указанной точки на начальном многообразии, совпадают в некоторой окрестности втой точки. 4 Утверждение локально и инвариантно относительно диффеоморфизмов. Поэтому его достаточно доказывать для стандартного поля параллельных направлений в линейном пространстве.
В этом же случае утверждение очевидно (почему?). Ь уРАВнвний с ЧАстными ИРоизводными (гл. з Рас. 43 Б. Линейное однородное уравнение первого порядка. О п р ед е л е н и е. Линейным однородным уравнением первого порядка называется уравнение 1„и=О, (1) где и†заданное векторное поле на мнопюбразии М. Пусть поле а имеет в координатах (х„ ..., х„) компоненты (а„ ..., а„); каждая компонента является функцией от координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
