1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 17
Текст из файла (страница 17)
определенную полем о локальную одно- параметрическую группу диффеоморфизмов на Еич(д' определен|и в окрестности точки х при Е, близких к О), рис. 61. Каждую точку многообразия У" можно получить из некоторой. точки начального многообразие посредством подходящего диффеоморфизма у|. е) Определение иекариктернстическнк точек двио и и. д. чи НЕЛННЕЯНОЕ УРАВИЕННЕ Лемма А. Форма а равна нулю на касшпвльной плоскости ле У в точках начального многообразия.
Лемма Б. Диффеоморфизмы й' переводят нулевые плоскости .формы а в нулевые. А. 4 На векторах, касательных к У" ', форма а равна О, так как многообразие У интегральное. На векторе о форма а равна нулю, так как характеристическое цаправление лежит в контактной гиперплоскости. Значит форма а равна О на сумме,Т„Ф+Йо. ~ Б. 4 Рассмотрим какой-нибудь вектор $, на которой форма а обращается в О (приложенный не обязательно 'в точке начального многообразия). Вычислим значение йа на паре (о, $) в этой точке. По определению формы а=а~а, это значение равно значению производной контактной формы йа (о, $).
По определению характеристического направления, последнее число равно О для любого вектора $ в контактной плоскости. По лемме п. Е, а=О инваримнтно относительно (йл). Ь Из лемм А и Б вытекает, что форма а обращается в О на всех касательных векторах,к У". Следовательно, многообразие г" интегральное. Итак, мы построили интегральное подмногообразие.1'" ~ Е'" :поля контактных гиперплоскостей, проходящее через начальное многообразие й("-'. 3.
Доказательство единственности. Лемма. Касательная плоскость к любому и-мерному интеггзальному многообразию поля контактных плоскостей, лежаи(ему и Е'", содержит характеристическое направление. 4 Сужение контактной 1-формы а на любое свое интегральное многообразие равно О. Сужение 2-формы йа на это многообразие равно производной сужения формы а, то есть нулю. Следовательно, .любые два касательных вектора'к интегральному многообразию жосоортогоиальны (в смысле кососкалярного произведения йа ~ „,).
Вектор характеристического направления на Е"' косоортогона.лен всем векторам из Е'",,лежащим в плоскости а=О. Предпололким, что он не принадлежит касательной плоскости к интегральжому и-мерному многообразию поля контактных плоскостей, лежащему в Е™. Натянутое на этот вектор и на эту касательную .плоскость подпространство имеет тогда размерность п+1. Но все векторы построенного подпространства попарно ортогональны.
Сог.ласно задаче 2 п. Г, размерность такого подпространства не превосходит п.' Р Из леммы следует, что всякое интегральное и-мерное многооб~разие поля контактных плоскостей, лежащее в Е'", содержит ,вместе с каждой своей точкой интервал характеристики, проходя- адей через эту точку. Отсюда следует единственность интегрального аеногообразня, содержащего данное начальное многообразие. ~, ~гл. ъ 76 уРАВнения с чАстными ИРоизВодными И. Применение к нелинейному уравнению с частными производными первого порядка. Р ассмотрим п теперь нелинейное уравнение с частными произ-водными первого порядка относительно функции и: -~ к гиперповерхность Е'" в многообразии 1- струй М = '( ", ), снабженном стандартной контактной структурой.
Пусть (х„..., х„) — локальные координаты на У', и — на обозначим через (х,, ..., х„; и; р„..., р„) соответствующие локальные координаты в пространстве 1-струй. Тогда дифференциальное уравнение (локально) записывается в виде Ф (х, и, р) = О. Отыскание решений этого уравнения сводится к отысканию интегральных поверхностей поля контактных плоскостей, лежащих в Е'" и являющихся 1-графиками функций (см. пункт ). Наши общие теоремы сводят отыскание решений этого уравнения к построению характеристик на Е'", для чего нужно найти интегральные кривые поля направлений на Ем (т. е.
решить систему 2а — 1 обыкновенных дифференциальных уравнений). Т е о р е м а. Решения уравнения (1)— (и р) это функции, 1-графики которых состоят ич характеристик на Ет. 4СМ. п. Б,Ж,И.~ К. задача Коши для нелинейнопь уравнения с частными производнымк первого порядка. Пусть у"-' с: У вЂ” (и — 1)-мерное подРис. 62.
многообразие многообразия У", <р: у -'— -~И вЂ” гладкая функция, Е" ~ Р(У", Й~ — гладкая нехарактеристическая гиперповерхность, заданная урав- Определение. Задачей Коши для уравнения (1) называется задача отыскания решения и: У-РР, которое на у обращается в ~р. О и р е д е л е н и е. Начальным многообразием Ф, построенным по начальному условию (у, ф), называется множество, состоящее из всех 1-струй функций на У", удовлетворяющих следующим условиям (рис.
62): 1) Точка приложения струи лежит на у 2) Значение функции в этой точке равно значению ~р. 3) Значение полного дифференциала функции в этой точке таково, что его сужение на касательную плоскость к у" ' равно полному дифференциалу начального условия ф. 4) Струя принадлежит Е'". НЕЛННЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ е В) Определение. Точка начального многообразия называется нехарактеристической для уравнения (1), если проекция характеристического направления в этой точке на )г трансвереальна к у.
(Это определение отличается от данного в п. Д.) 3 а ме ч а н и е. Говорят, что «производные искомой функции по и — 1 направлению вдоль у определяются начальным условием, а производная по последнему направлению (трансверсальному у) определяется из уравнения (1)». Пример. Пусть у задано уравнением х,=О в пространстве с координатами (х„х').
Тогда )т' задается условиями х,=О, и=ф(х'); р'=дф/дх'; р, определяется из уравнения Ф(х, и, р) =О. Теорема. Предпололсим, что точка (х, и, р,) пространства 1-струй является нехарактеристической точкой начального многообразия )(). Тогда решение уравнения (1) с начальным условием Л) в некоторой окрестности () начальной точки хе существует и локально единственно (в том смысле, чгпо всякие два решения УРавнениЯ, ' УдавлетвоРЯюЩие начальномУ Условию и ~ о пт = ф ~опт и (х ) = и„йи (хз) = р„совпадают в некоторой окрестности точки х,). ~ Это вытекает из теоремы п. Ж, которая дает также и способ построения решения. ~ Л. Вычислительные формулы.
3 а дача. Выписать явно дяфференпиальное уравнение характеристик для уравнения Ф(х, и, р)=0. Ответ. х=ФР, Р= Фх РФз й=рФР. Ре ш е ни е. Рассмотрим вектор, касательный к многообразию Ф=О. Для такого вектора с компонентами (Х, О, Р) Ф„Х+Ф„()+Ф Р=О. Втот вектор лежит в контактной плоскости, если на нем обращается в нуль .форма аи — р Вх, т. е. если О=РХ. Итак, условие, необходимое в достаточное для того, чтобы вектор (Х, РХ, Р) лежал в пересечении контактной плоскости с касательной к многообразию Ф=О, есть (Ф„+Ф„р) Х+ФРР=О. (2) Характеристический вектор (х, й=ре, Р) определяется условием равенства нулю кососкалярного произведения со всеми векторами (Х, РХ, Р), удовлетворяющими предыдущему равенству. Но зто кососкалярное произведение равно значению пи=ел/~ар на паре векторов (х, й= рх, р), (Х, (Г=РХ, Р), т.
е. равно хР— РХ. Итак, уравнение (2) относительно Х и Р должно быть вквивалентно уравнению (з) ЛР— РХ О 78 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (гл. я Следовательно, коэффициенты при Х и при р в уравнениях (2) и (3) пропорциональны. Зто и дает приведенный ответ, ввиду равенства и рй.
М. Условии нехарактеристичности. Задача. Выписать явно условия на у, ю и Ф, при которых точка (хо, и, рг) является нехарактеристнческой для уравнения Ф (х, и, р) =0 с начальным условием ф на у. Ответ. Фр(хо ио ро) не «асается у в хо (рис. 62 на сгр. 76). Решение. Спроектируем касательную плоскость к поверхности, обре. зованной характеристиками, проходящими через начальное многообразие, на х-пространство. Если поверхность — 1-график решения, и точка (хо, ио, ро) нехарактеристическая, то касательная плоскость порождена касательной к Аг и характеристическим направлением, а проектируется изоморфно.
Следовательно, х-компоиенча характеристического вектора должна быть трансверсальна к у в точке хг. Но эта компонента есть Фр (см. п. Л). Обратно, йусть Фр не касается у в точке хо. Тогда 1) Гигюрйовгрхиогто Ф = 0 в окрестности точки (хо, ио, ро) гладкая. Действительно, ФрФО и, следовательно, йФ(<г о р1~0. 2) аравигниг Ф= О в точке (хо, ио, р,) игхарактгристичгсхов. Действительно, вектор (О, О, Ф,) лежит в контактйой плоскости н не касается поверхности Ф=О в точке (хо йо, ро), так как Фр (хо ио ро) чь О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
