1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3) Начальное многообразие )У вблизи тоти (хо, ио, ро) гладкое. Действительно, выберем координаты (х„..., х„) = (хы х') так, чтобы локальное уравнение у приняло вид хо=о. Тогда условие разрешимости уравнения относительно рг (х') Ф(0, х', <р(х'), р» д~р/дх')=0 принимает вид дФ/др„)<х. ию р, во О; условие иекасания вектора Фр ау имеет тот же вид.
4) Точка (х„и,, ро) начальною многообразия нгхаракамристичгская. Действигельно, если бы характеристический вектор касался начального многообразия Ф, то его проекция Фр касалась бы проекции у многообразия Аг на х-простраяство. оЪ 6) Характеристики, лгргсгхающиг начальное многообразие в окргстиосаш точки (х„ио, ро), образуют в втой окрестности гладкое миоюобразиг, диффга- 7 морфио лрогхтирующггсл на х-пространство (и, свило бывш, являющееся 1-врафихом функции). Действительно, образ касательной плоскости к этому многообразию в точке (хо, ио, ро) при проектировании на х-пространство содержит касательную плес«сеть к у и трансверсальный ей вектор.
Следовательно, производная изучземого отображения в точке (х, и, р ) является нзоморфизмом, а само отобрав' о' жение проектирования †локальн диффеоморфнзмом (по теореме об обратной фуйкцип). Таким образом, все пять условий нехарактеристичности выполнены в точке (хо, ио, ро), если в этой точке Фр не касается у. Н. Уравнение Гамильтона — Якоби. Определение. Уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение Н(х, и„)=0. ()) Отличие от общего уравн ння с частными производными первого порядка состоит в том, что значение неизвестной функции не входит явно в уравнение. НЕЛИНЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ з в! Пример. Пусть у — гладкая гиперповерхность в евклидовом пространстве Р", и (х) — расстояние ет точки х до у (рис.
63). Тогда функция и (в,точках гладкости этой функции) удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби (Й)'+ -+ ( —:.".)'= (2) Действительно, модуль градиента этой функции- равен модулю производной расстояния до у по нормали к у, т. е. 1. Рис. 64.
Рис. 63. В целом функция и может не быть гладкой. Например, пусть у — эллипс на плоскости. Тогда особенности и образуют внутри эллипса отрезок (рис, 64). 3 в л в ч е. Докажите, что всякое решение уравнения Гвиильтбив — Якоба (2) локально является суммой расстояния до гннерповеркностн и констенгм.
При.рассмотрении уравнения Гамильтона — Якоби полезно вместо многообразия 1-струй и'(У", И) функций на У" рассматривать кокасателепое расслоение Т*У". Пространство Те У" называется в механике фазовым пространством для конфигурационного пространства Уе. Кокасательпый вектор к У"вх есть, по определению, линейиая однородная функция на касательном пространстве к в х.
Все кокасательные векторы к У" в х образуют линейное пространство, называемое кокасапгеленым прсстрансгплом к У" в х и обозначаемое Т;У". Кокасательные векторы к Ув во всех точках образуют гладкое многообразие размерности 2п. Оно называется пространством кокасательнаго расслоения к У" (или короче кокасательным расслоением) и обозначается через Т У". Пусть (х,, ..., х„) - локальные координаты на У'".
Тогда кокасательный вектор к Уч в х задается набором и чисел (р„ ..., Р,). А именно, набору чисел (ре) соответствует 1-форма рьг(хе+... ...+р„г(х„ на касательном пространстве к У" в х. Набор 2п чисел (р„ ..., р„; х„ ..., х„) образует систему локальных координат в кокасательном расслоении к У".
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (гл. а Имеется естественная проекция и пространства 1-струй функций ет(У", Й) .на кокасательное расслоение к Уа я: е ь (У", Й) -ь Те У". Отображение и состоит в «забывании значения функции», в координатах оно задается так: (хы ..., х„( и; р„..., р„) (р„..., р;1 х„..., х„). О п р е д е л е н и е. Хара ристиками уравнения Гамильтона— Якоби (1) называются проекции характеристик уравнения с частными производными первого порядка (1) в кокасательное расслоение. 3 ад а ч а.
Найти дифференциальное уравнение характеристик уравнения Гамильтона — Якоби (1). Ответ. х=Н», Р— Нх 3 а и е ч а н и е. 3та система дифференциальных уравнений называется саепммоа канонических ура«пенна Гамалыпона. Соответствующее векторное поле определено не только на поверхности 1(=О, но н на всем фазовом пространстве. 3 а д а ч а. Найти характеристяки уравнения Гамильтона — Якоби (2). Ответ. х 2а|+Ь, р=а (а и Ь вЂ” постоянные векторы, а»=1). Таким образом, проекции характеристик на Уа — прямые линии. Рис. 65. В геометрической оптике уравнение Гамильтона — Якоби (2) называются уравнением зйконала; проекции характеристик на У" называются лучами.
Функция и называется оптической длиной пути, ее поверхности уровня называются фронтами. Кроме этих объектов, в геометрической оптике очень существенную роль играют каустики. Рассмотрим, например, стену, освещенную лучами, отраженными от вогнутой поверхности (например, от внутренности чашки). На стене видны более яркие линии с особыми точками — это и есть каустики. Определение каустик состоит в следующем. Рассмотрим задачу Коши для уравнения с частными производными первого порядка.
Даже если соответствующие характеристики неограниченно продолжаются и не пересекаются, так что образуется глобальное интегральное многообразие, проекция этого многообразия на У", вообще говоря, не является диффеоморфизмом. Множество критических значений проектирования интегрально- го многообразия на У" и называется каустикой, 8! ТЕОРЕМА гьРОБЕНИУСА Э 91 В частном случае уравнения Гамильтона — Якоби (2) с начальным условием и=О на у каустика есть геометрическое место фокольньи точек или центров кривизны гиперповерхности Т.
3 ад а ч а 1. Нарисовать геометрическое место центров кривизны эллипса на плоскости. 3 ад а ч а 2. На каждой внутренней нормали к эллипсу отложен отрезок длины Е Нарисовать полученную кривую и исследовать ее изменение с ростом К О т в е т ы.
См. рис. 65. 9 9. Теорема Фробениуса Поле направлений на плоскости всегда определяет семейство интегральных кривых и локально выпрямляемо (диффеоморфизмом приводится к полю параллельных плоскостей). Начиная с трех; мерного пространства это уже не так: поле плоскостей в 1ч может вообще не иметь интегральных поверхностей.
В этом параграфе выясняются условия локальной выпрямляемости поля гиперплоскостей, т.е. условия, при которых поле является полем касательных к семейству гладких гиперповерхностей. А. Вполне интегрируемое поле гиперплоскостей. Пусть М" — гладкое многообразие, на котором задано поле касательных гиперплоскостей. В окрестности точки такое поле задается дифференциальной 1-формой а, не обращающейся в нулевую форму и определенной с точностью до умножения на функцию, не обращающуюся нигде в нуль.
Определение. Поле гиперплоскостей называется вполне интегрируемым, если форма да в плоскости поля тождественно равна нулю. Замечание. Свойство полной интегрируемости поля не зависит от выбора локально задающей его формы а, так как форма г(а1, е при умножении а на отличную от нуля функцию умножается на эту функцию (см. 9 8, п. А). Предложение. Чтобы поле гиперплоскостей сс = О было вполне интегрируе- гажо мым, необходимо и достаточно равенство а у"ада О.
е, «1 Выберем в касательном пространстве Рис. 66. к М" в рассматриваемой точке базис (рис. 66) из п — 1 «горизоитального» вектора (е,,..., в„,) в плоскости а =О и еще одного «вертикального» вектора (. Значение 3-формы айаг(а на трех горизонтальных векторах равно нулю, т.к. а О. Далее, (даДа) (еь е;, 1) =О как сумма, в которой каждое слагаемое содержит в виде сомножителя либо а(е,), либо йа(е„е~), эти же величины равйы нулю,- 82 ~ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [гл. е Обратно, если а/~да=О, то йа (е„ег) = О.
Действительно, единственное слагаемое в (а/~йа) (е„е»ч /), не содержащее множителем а(е,) или а(ег), есть йа(ен ег) и(/); но а(/) ныл. ~ Замечание. Условие авода=О называется условием интегрируемости Фробениуса. Из доказанного предложения следует, что это — условие на поле плоскостей: оно выполнено или не выполнено для всех форм а, задающих поле, одновременно. Б.
Существование интегральных многообразий. Теорема. Для того, чтобы поле гиперплоскостей а =О было полем касательных к семейству гиперповерхностей, необходимо и достаточно, чтобы зто поле удовлетворяло условию интегрируемоснш Фробениуса а/~да= — О. и 4 На поверхностях семейства сс=О, поэтому да=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
