1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 22
Текст из файла (страница 22)
чтобы она переходила в себя после нескольких применений диффеоморфизма. Функция последования задает сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности, поэтому ее можно записать в виде Ау=у+а(у), где а(у+2п) =а(у), а'(у)- — 1. Функцию а мы будем называть угловой функцией. Ж.
Число вращения. Число вращения. характеризует средний наклон интегральных кривых уравнения на торе; для простейшего уравнения с постоянной правой частью йу/дх=) число вращения есть Х. Определение. Числом вращения уравнения йу/йх=Х(х, у) на торе называется р= 1пп —, Ф (к) к са к где 1р — решение соответствующего уравнения на плоскости. Число вращения выражается через угловую функцию: ! . а(у)-1-а(Ау)+ ... +а(АА-1у) р= — !Нп 2п А В таком виде определение переносится на любой диффеоморфизм окружности, сохраняющий ориентацию.
Т ео р е м а. Предел в определении числа вращения существует и не зависит от начальной точки; ан рационален тогда и только тогда, когда некоторая степень диффеоморфизма имеет неподвижную точку (т. е. когда дифференциальное уравнение имеет замкнутую фазовую кривую). 4 1' Рассмотрим угол поворота точки у при й-кратном применении диффеоморфизма. Обозначим его через а„(у) =а(у)+а(Ау)+а(А'у)+...+а(А" 'у). 4 В.
Н. АР А СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ Для любых двух точек у, и у, имеем ~аьЬ1) — Ь) ~(2 . Действительно, неравенство имеет место при ~у,— у,~(2п, так как 'преобразования прямой А и А" переводят отрезки длины 2п в отрезки длины 2п. Но функция аь 2п-периодична, поэтому у, . можно изменить на целое кратное 2п так, что аь (у,) не изменится, а расстояние у, до у, станет меньше 2п.
2'. Обозначим через ть целое число,.такое, что , 2пт,=-аь(0) (2п(ть+1). Докажем, что при любом у и при любом целом 1 Действительно, ) аь.(у) — 2пть ) (4п при любом у согласно 1', поэтому Но ан(у)/2пй1 есть среднее арифметическое 1 величин аь(у~)/2пй, гда у~ = А'у, 1= О, ..., 1 — 1. 3'.
Обозначим отрезок ( †, — ~ через оь. Мы доказали, Г ыь — 2 те+21 что при всех 1 ам (у)/2пй1 принадлежит о„. Докажем, что отрезки о„с разными й пересекаются. Действительно, ам(у)/2ий1 принадлежит как ом так и оь 4'. Итак, отрезки о„имеют стремящиеся к 0 длины и попарно пересекаются. Следовательно, они имеют единственную точку пересечения: она и есть число вращения. Мы доказали, что предел, рпределяющий число вращения, существует и не зависит от начальной точки.
5'. Пусть . на окружности А' имеет неподвижную точку у; тогда на прямой соответствующая точка при о-кратном отображении сдвигается на целое кратное 2п, т. е. а (у) 2пр. В этом случае при любом 1 аы(у) = 2пр1, поэтому число вращения р=р/о рационально. 6'. Пусть р=р/о. Если при всех у будет а (у) - 2пр, то при некотором з ) 0 будет а (у) ) 2пр+ з для всех у. Но тогда р>р/у; Если бы было ае(у)(2пр для всех у, то было бы р(р/о. Итак, а — 2пр меняет знак. Следовательно, существует такое у, что ае(у) 2пр.
Ф' Замечание. Если число вращения р иррационально, то порядок точек (у, Ау, А'у, ..., А"у) на окружности при любом у ' " такой же, как в случае поворота на угол 2п(А. Действительно, ае(у))2пр тогда и только тогда, когда р)р/д. э !и диФФеРЕнцИАЛьные уРАВнеНия НА торе Заметим еще, что число вращения уравнения на торе зависит от выбора окружности, трансверсальной фазовым кривым (оси у в наших обозначениях).
3. Структурно устойчивые уравнения на торе. Простейшее уравнение на торе г = оз структурно неустойчиво . как при резонансном, так и при нерезонансном значении го. Теорема 1. Дифференциальное уравнение на торе йу(йх = = Л(х, у) структурно устойчиво тогда и только тогда, когда число вршцения рационально и все периодические решения невы- рождены *). . 4 Эта теорема вытекает из доказанного ниже аналогичного предложения о диффеоморфизмах окружности, сохраняющих ориентацию. 3 Определение. Циклом порядка адиффеоморфизма А: М вЂ” РМ называется множество из а точек (у, Ау...'., Ае 'у) в случае, когда они все различны и А'у=у. Цикл называется невырожденным, если его точка у является невырожденной неподвижной-точкой отображения А' (т. е. 1 не является собственным числом производной Отображения Ае в точке у).
Замечание. Производные отображения Аа в разных точках одного цикла подобны, поэтому все точки одного цикла вырождены.или невырождены одновременно. Те о р е м а 2. Сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности структурно устойчив если и только если число враи(ения рационально и все циклы невырождены. Структурно устойчивые диффеоморфизмы образуют открытое всюду плотное множество в пространстве С' всех дважды дифференцируемых сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности.
Таким образом, диффеоморфизмы .общего положения с рациональным числом вращения устроены достаточно просто: топологический тип отображения определяется числом циклов, которое должно быть четным (ввиду чередовапия точек устойчивых и неустойчивых циклов). Порядок всех циклов равен д, если число вращения р=р,~а. Порядок точек одного цикла на окружности такой же, как для отображения Поворота на угол 2пр, Теорема 2 доказана ниже в пункте К.
Доказательство несложно по модулю следующей нетривиальной теоремы Данжуа (1932). Теорема 3. Если сохраняющий ориентацию. диффеоморфизм окружности класса С' имеет иррациональное число вращения (А, то он топологически эквивалентен повороту окружности на угол 2пр.
*) А. Г. Ма й е р, Грубые преобразования окружности в окружность, Ученые записки ГГУ, 12 (!939), 2!5-229; В. А. П л и с с, О грубости дифференплальных уравнений, заданных на торе, Вестник ЛГУ, сер. Иат. 13, 3 (!960), 1Ь вЂ” 23. 4» СТРУКТУРНАЯ УСТОНЧИВОСТЬ [ГЛ. 3 Предыдущая теория принадлежит Пуанкаре (1885); теорему Данжуа Пуанкаре высказал в виде гипотезы (для уравнений, правая часть которых тригонометрический многочлен). Данжуа привел также примеры, показывающие, что С' нельзя заменить на С'.
И. Доказательство теоремы Данжуа. 4 1'. Точки ..., А 'у, у, Ау, А'у, ... орбиты отображения А на окружности идут в том же порядке, что и точки орбиты поворота на угол 2п[А (см. п. Ж). Поэтому для доказательства теоремы достаточно установить, что орбита отображения А всюду плотна на окружности. Действительно, мы получим гомеоморфизм окружности, переводящий А в поворот, продолжая по непрерывности отображение, которое переводит точки орбиты ... А-'у, у, Ау, ...
в соответственные точки орбиты поворота. 2'. Если на окружности есть дуга, свободная от точек орбиты А, то все образы этой дуги при применении степеней диффеоморфизма А попарно не пересекаются. Действительно, рассмотрим максимальную дугу, содержащую данную и свободную от точек орбиты. Все ее образы — тоже максимальные дуги. Концы максимальной дуги принадлежат замыканию орбиты. Поэтому концы максимальных дуг не могут лежать в максимальных дугах.
Значит любые две пересекающиеся максимальные дуги обязательно совпадают. Но если максимальная дуга совпадает со своим образом, то ее граничная точка принадлежит циклу, вопреки иррациональности р. 3'. Сумма длин образов максимальной дуги ограничена. Поэтому длины последовательных образов такой дуги под действием как Ан, так и А — и стремятся к нулю при М -«оо.
Следовательно, интегралы якобианов как положительных, так и отрицогиельных итераций А ло максимальной дуге стремятся к нулю: если обозначить Ф вЂ” ! и-! ВА ; НА 1 ин = Ц вЂ” „(А'у), оА = и — „„(А 'у) [=о [=О то при М-«со ~ ин йу — О, ~ он йу -«О (интегралы по максимальной дуге). 4', Рассмотрим последовательность точек орбиты поворота на угол 2п[А, (я,, а„а„...). Предположим, что ат — ближайшая к аь сРеди точгк (а„..., ач).
Тогда точки ад, ..., ачт 1 пеРемежаются с точками а„..., а Действительно, рассмотрим дугу (а„аеь,), з(д, длины б, равной расстоянию от аь до а . Предположйм, что на этой дуге лежит а,. Если г(э, то на дуге (я, „с[, «е) лежит а, поэтому расстояние от сс,, до а, меньше 6, вопреки вйбору а . Если г~з, то на дуге (а,', а ) лежит ы „поэтому г — з) о. Но тогда расстоя- !о! диььеьвнцилльные хехвнения нк тоев ние от аь до а,, меньше 6. Итак, на дуге (а„ать,) нет точек а„ г~ 24, что и требовалось доказать.
5'. Рассмотрим точки (у, Ау, ..., Ач-гу) и (А-'у, ..., А-чу). Эти два множества точек перемежаются (4'). Поэтому для любой функции 7 ограниченной вариации на окружности, для любой точки у и для любого д, определенного в 4', величина 2,7(А!у)-~~(А-гу), О !~д, О~)' р ограничена сверху и снизу нг зависящими от у и д постоянными. 6', Рассмотрим в качестве 7 функцию 1п(йА(йу).
Это функция ограниченной вариации, так как А класса Сь. Следовательно, величина д — ! ч И вЂ” „~ (А!у)!Д „~ (А-/у) =и о ь ! ! ограничена сверху и снизу нг завися!цими от у и д положительными постоянными (если ц выбирается как в 4'). 7'. Противоречие с 3' завершает доказательство теоремы: применяя неравенство Шварца к )~'ич, 3/ о, получаем ()3/и,о, йу)'(~ичйу~о;йу. ~ К. Доказательство теоремы о структурно устойчивых диффеоморфизмах окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
