1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Существуют лостояннэю х, /ь) О, зависящие лишь от К и а, такие, что для любого б из интервала (О, р), эде р ( 1/2, (!а!!Р(б"=,Р(!аг!! ()!а(!эбщ. Замечание. Это означает, что оставшаяся после первой замены переменной невязка а' имеет второй порядок малости по сравнению с исходным отличием от поворота, а (с точностью до ухудшения типа Х-кратного дифференцирования функция). Таким образом, в приведенной схеме последовательных приближений ошибка каждого следующего приближения порядка квадрата ошибки предыдущего.
После а приблнженкй получим ошибку порядка еэ", где з — ошибка исходного, нулевого приближения. Такая сходнмость, характерная для Ньютоновского метода касательных (рнс. 80), позволяет парализовать влнянне появляюшнхся на каждом шагу ПО СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИНОСТЬ !Гл. 3 малых знаменателей (т. е. влияние ухудшающего множителя 6 А); этот метод борьбы с малыми энаменателямн изобретен А. Н. Колмогоровым (!954). ч( 1'. Пусть () — выпуклая область в С (илн !к~), Ь:(1-ьСл (соответственно осл) — гладкое отобРажение, пРичем ]]Ь ]! зпР ]]Ьо (х))! (1. Тогда кы О о~~~~ Н, лврвводящвв х в к+й (х), является диффвоморфизмом () на Ног. ч( Собственные числа Н, (х) отличны от О, поэтому Н локальный диффеоморфизм. Ввиду условия ]Ь, ! ( д ( 1 н ввиду выпуклостя П, отображение Ь сжймающее. Следовательно, разность между сдвнгамн любых двух разных точек прн отображении Н меньше расстояния между этими точками, поэтому нх образы различны, т.
е. Н взаимно однозначно. ~ 2'. Покажем, что если к дослиточно велико, то Л отображение А аналитична в полосе Пр а. уо т Пусть ]]а]!р ( М=6". Тогда ]ар ! ~ М, ]]а]]р ( 2М. По теореме и.' гЕ, !)Ьо]! ( 2Ми-т. Следовательно, ]]дйо/дг]]р ья ~ 2Ма 'тыр. Выберем и=б/8. Тогда, если и достаточно вели- ко, то мы получим нз предыдущих неравенств Рнс. 80. ]]а~]р <со, ]]Ьо]]р-о <а, !]дйо/дг~]р оо ~а. Следовательно, согласно !', Н, — днффеоморфнзм полосы П ,„, и образ содержит полосу Пр зю Теперь . НрПр о с Пр о+о, А ° НоПр о с Пр ~кои с Пр ею Следовательно, днффеоморфизм Й,' определен на А ° Н,П о. Значит отображение А, = = Н-,'.
А . Н, аналйтнчно в П а. и является там днффеоморфнзмом. ~ 3', Оценим нввязку ац т Коммутативная диаграмма. определяющая а', дает г+2пр+аз(г)+Ьо(г+2пр+а'(г)) жг+йо(г)+2пр+а(г+Ьо(г)). Учитывая гомологическое уравнение, получаем аг (г) =' (а (г+ Ьо (г)) — а (г)] — (Ьо (г+ 2яр + а' (г)) — Ьо (г + 2и)к)) + аз. Первая квадратная скобка оценивается по теореме о среднем и неравенству Коши. На основзннн 2' получаем ]]а (а+ Ь' (г)) — а ( ) ]]р-а ~ 6 ]]Ь']]р-а ~ Мзб ", о где постоянная и зависит лишь от ч, т. е. лишь от К и о. Вторая квадратная скобка оценивается аналогично: ]]( ]]! „а(2Ми-том ]]аг]! ~~М6 л1]] аз]] '3.
Итак, ]]а ]]р О (1 — Мб "') ( ! ао ]+ М 6 4'. Оценим твлврь величину ]ар ], пользуясь тем, что число вращения преобразования А, а значит и Аы равно 2п)к. ч( Из этого следуст, что ао обращается в нуль в некоторой вещественной точке г,. Подставим в формулу для а'(г) значение го. Мы получим а = = а (го) — а (го+ йо (го)) н, следовательно, ! ао ! ( Моб " (см. 3'). 3~ 5'. Из оценок 3' н 4' следует, что ]]а']! .о(4Моб ". ~ 4!.
Слоднмость снстемм прнблнжений. 1'. Построенное на л-м шагу отображение Ал мы будем рассматривать в полосе радиуса рл, уменьшающегося с каждым приближением: ро=р, рл = = Рлт — 1'л-м Последовательность чисел бл мы выберем убывающей следующим образом: бл бл-о бе~ / АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИВЕДЕНИЕ К ПОВОРОТУ $121 Тогда при достаточно малоы бэ будет ~~ ~бл « р/2. 2'.
Образуем последовательность чисел Мл,,полагая Ма=бы. Достаточно большое число М (зависящее лишь от К н о) будет окончательно выбрано ниже. Заметим, что' Мл Мл зщ 3'. Предположим, что 11а1)р «Мэ. Доложим, что 1)алйрл «Мл. ~ Согласно предложению 3, если ЬГ) к, то ~) '((, М,'6 =6',"-'. эа Но б~~м А~61 =6~~Д, если ЬГ) 2)г. Выберем Ф, большее чем 2Х и и. Тогда получим !И)„«бм=М,. Переход от ал-1 к ал аналогичен.
Ю 4'. Докажеи сходимсгть лроиэждеиий лгг'л=Пл..... Нл 1 в П Диффеоморфизм Н аналитичен в П и удовлетворяет неравенствам 11Ье(! «6, 11дйэ/дг11 «6 (см. 2' п. 3). Точно также длн 1(л 1 полУчаетсЯ 11Ьл Чр «бл м 11дйл 1Ь(г11р «бл рл л-М Рл Следовательно, еЯ"л аналитична в Прл и имеет производную, ограниченную сверху и снизу величинами С П(1+ба), с=П(1 — бэ). Отсюда следует, что еЩ, диффеоморфаэм Пр, и что в П последовательность еуб л сходится. действительно, ))е27'л — оЯ" фэгэ «С 11Ьл11Р72 «Сбл Обозначим через Н предел последовательности игг'"л. Переходя к пределу в соотношении А ° ~Я"л ерй"л ° А„; получаем А ° иру"=ел!" й, где 9( — повоь рот на угол 2пр, Теорема.
доказана. )ь К. Замечания. !'. 1О. Мозер заметил, что комбинируя описанные приближения со сглаживанием Нэша можно доказать аналогичную теорему в случае конечной гладкости (см. Ю. Мо ге 9, Быстро сходящийся метод итераций н нелинейные дифференциальные уравнения, УМН 23, 4 (1988), !79 — 238). В первых работах Мозера требовалнсь сотйи производных. В дальнейшем силиями Мозера и Рюссмана число производных было снижено (Н.
К п з з ш а п п, !е!пе Хеппег 11: Вешегйцпйеп гиг 6(ечг!оп!зсйеп Ме!Лоде, Хасйг. Асад. Ж!ш. Об!!1пбеп, Ма!Ь. Рйуз К!аззе ! (1972), 1 — 10). 2'. В многомерном случае число вращения не определено. Тем не менее в семействе отобрангений р» у+сс+а(у) с малым а, ргм т", для большинства а отображение гладко эквивалентно сдвигу р»-»у+2пр. В частности, для аналитического семейства у»-» р+и+заэ (у)+ээаэ(у)+... при почти каждом р существует аналитическая функция а(з)=2пр+зрг+..., такая, что отображение у»-»у+а (е)+еа,(р)+...
превращается в 9»-»р+2пр после аналитической замены у=г+еЬ1 (г)+.... Коэффициенты Ьэ, ... можно найти, приравнивая члены с одинаковой сте. ° цепью е. Однако доказать скодимость так полученных рядов по а удается лишь косвенно, с помощью Ньютоновских приближений. 3'. Кажетсв правдоподобным, что аналитический диффеоиорфнзм окружпости аналитически эквивалентен иррациональному повороту тогда и только [гл.
а 112 стрицтхрная хстоичивость тогда, когда НЕподвижныр топив стеиенай диффеоморфнама не накапливаются к вещественной оси. Можно также думать, что дпя некоторых иррациональных.р, ненормально хорощо пррближаемых рациональными, функция и(в), описанная в 2', не является даже гладкой (даже в одномерном случае). й 13. Введение в гиперболическую теорию В этом параграфе доказывается теорема Аносова о структурной устойчивости автоморфизма тора и теорема Гробмана — Хартмана о структурной устойчивости седла. А. Простейший пример: линейный автоморфизм тора.
Дифференциальные уравнения с многомерными фазовыми пространствами определяют большой класс структурно устойчивых систем, в которых каждая фазовая кривая расположена среди соседних таким же образом, как положение равновесия типа седло среди соседних гипербол. Начнем с простейшего примера (рис.
81). Рассмотрим автоморфизм А то а Т' кото ый з ается е- Р Р ад лочислейным унимодулярным (нмеющим определитель ~) линейным преобразованием А плоскости с матрицей (' ') Рис. 81 Решетка 2гтЕа переходит под действием А в себя. Поэтому эквивалентные (сравннмые по модулю 2и) точки плоскости А переводит в эквивалентные. Следовательно А определяет отображение А тора на себя. Обратная матрица А-' тоже целочисленная, так как бе1 А=1.
Поэтому А является диффеоморфнзмом тора насебя. Кроме того, А является автоморфизмом группы Та =(ч'!2пл,а. 5. Свойства автоморфизма тора. Конечное множество точек называется циклом отображения А, если А переставляет их циклически. Теорем а 1.
Автоморфивм тора А имеет счетное число цик. лов. Все точки, обе коорДинаты которых — рациональные кратные 2н, и только они, являются точками цшслов автоморфизма А. 4 1'..Зафиксируем целое число Ф, тогда точки тора, координаты которых — рациональные кратные 2я со знаменателем йг', образуют конечное множество. Преобразование А переводит это множество в себя. Следовательно все точки этого множества принадлежат циклам. ыз ВВЕДЕНИЕ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ э 1и 2'.
Пусть 2п$ — точка цикла порядка и ) 1. Тогда Ал$ = $+ т, где т — целочисленный вектор. Полученное линейное уравнение относительно $ имеет отличный от нуля определитель. Поэтому компоненты $ рациональны. В Т е о р е м а 2. Итерации автоморфизма А равномерно размазывают по тору произвольную область Р: для любой области б пю (Алр) П б тел 0 1пп ЮЕЛ Г ЮЕЛ Т' Это свойство автоморфизма А называется перемпииванием; оно ' имеет место для любых измеримых множеств Р, 6. 4 В терминах функций на торе зто соотношение можно пере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
