1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Но С'-малости разности С вЂ” А можно добиться подходящим выбором е) О, ибо в е-окрестности нуля /  — А ! = сз', ! ( — А)' / ( се. Итак, С топологически эквивалентно А. Но С, как и А, имеет лишь одну неподвижную, точку О. Следовательно, гомеоморфизм, переводящий А в С, оставляет О на месте. й $14. У-системы В этом параграфе определяются У-диффеоморфизмы и У-потоки и обсуждаются их применения в теории геодезических потоков на мнопюбразиях отрицательной кривизны и в других вопросах. А.
Определение У-днффеоморфизма. Анализ рассмотренного выше автоморфизма тора показывает„ что существенны для предыдущих рассуждений только сжимающееся и расширяющееся слоение; поэтому можно ввести общее- определение гиперболического диффеоморфизма, не предполагая более, что М вЂ” тор. Пусть А: М-+ М вЂ” диффеоморфизм компактного многообразия..
Предположим, что 418 СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ ~гл, з 1) касательное пространство к М в каждой точке разложено в прямую сумму двух подпространств: т.м = Х„В У„; 2) поля плоскостей Х=(Х„) и У=()'„) непрерывны и инва риантны относительно диффеоморфизма А; 3) для некоторой римановой метрики диффеоморфизм А сжи мает плоскости первого поля и растягивает плоскости второго существует число Л«1, такое, что для любой точки х из М ЦА,Я(ЦЦ 74~ Х„, 1Адф~Л-'Цт~) 'тт'т) ~ У„. Тогда говорят, что А есть У-сисптгма, Пример. Пусть М= т' — тор, А=~ ) — его автоморфизм.
Тогда А есть У-система. Действительно, собсгвенные направления соответствующего автоморфизма плоскости определяют на торе инвариантные поля направлений: сжимающееся и растягивающееся. Замечание 1. Вместо выписанных неравенств можно требовать на вид более слабого условия '1А,")х)((сЛ", а)О; '1А,"~У!)~СЛ-", и О. Если это условие выполйено для одной метрики, то оно (возможно, с другим с) выполняется и для любой другой.
Из этого условия вытекают и приведенные выше неравенства (возможно, для изме- ненной метрики). 2. В определении не требуется гладкости полей' плоскостей .Х и У. Диффеоморфизм тора, близкий к автоморфизму 'Ф (") э является всегда У-системой, однако его сжимающееся и растяги- вающееся поле направлений могут не принадлежать классу Су даже в случае, когда диффеоморфизм аналитический (в многомер- ном случае поля плоскостей могут не принадлежать даже классу С'). 3. Определение и термин У-система предложены Д. В. Ано- .совым. Название происходит от первой буквы слова условие. Аносов назвал условия 1 — 3 условиями У и предлагал, чтобы по английски их называли сопб111опз С; он предложил также назы- вать У-диффеоморфизмы У-каскадами. Смейл ввел для них же -термин «диффеоморфизмы Аносовау, $ ы1 ь-снстпмы Б.
Свойства У-днффеоморфизмов. Т е о р е м а (А н о с о в а). Каждый У-диффеоморфизм структурно устойчив. Доказательство проводится тем мСе методом, как в $ 13 для автоморфнзмов тора; детали можно найти например в статьеДж. Мазера (Мазер Д., Днффеоморфнзмы Аносова, Математика, 13:2, 1969, 142 — 144).
Первоначальное доказательство было связано с следующим свойством У-днффеоморфнзмов. Т е о р е м а. Сжимающееся и расширяющееся поля плоскостей У-диффеоморфизма вполне интегрируемы. Иными словами, существуют сжимающееся н расшнряющееся слоення е), касательные плоскости к которым образуют сжимающееся н расширяющееся поля плоскостей. Заметим, что здесь- нельзя пользоваться теоремой Фробеннуса, так как наши поля негладкие. Доказательство основано на том, что прн применении У-днффеоморфнзма угол между плосйостямн, не слишком далекими от плоскостей расширяющегося поля, уменьшается: расширяющееся поле является притягивающей неподвижной точкой в функциональном пространстве полей плоскостей прн действии У-днффеоморфнзма на зто пространство. Чтобы построить расширяющееся слоение, можно разбнть многообразне на достаточно малые области н взять в каждой нз ннх произвольное слоение, слои которого имеют размерность плоскостей расширяющегося поля н образуют с этими плоскостями: не слишком большой угол.
Применим к этим слоенням У-днффеоморфнзм н его итерации. Оказывается, полученная последовательность кусочных слоеннй сходится к настоящему расшнряющемуся слоенню. 3 в м е ч з н и е. Частным случаем втой конструкции является построение- входящего и выходящего инвзрнзнтных многообразий неподвижной точки диффеоморфнзмз в случае, когда модули всех собственных чисел линейной части диффеоморфизмз отличны от единицы. Для построения выходящего многообрззия можно применять итерации диффеоморфизмз к любому многообрвзию„.
касающемуся выходящего инвариантного подпрострзнствз линейной чести диффеоморфизмз.'. Описанная конструкция позволяет построить сжимающееся н расширяющееся слоення не только для данного У-днффеоморфнзма,. но сразу н для близких к нему У-днффеоморфнзмов. Таким образом, свойство быть У-днффеоморфнзмом сохраняется прн малом *) Слоением нв л-мерном многообразии назывзется его рззбиение нз подмногообрззия (слои) одинаковой размерности а, удовлетворяющее следующему условию: у каждой точки многообразия существует окрестность, разбиение которой нз связные компоненты слоев диффеоморфно разбиению л-мерного куба.
ив параллельные й-мерные плоскости. СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ [гл. 3 (с производными) шевелении диффеоморфизма. Кроме того, из конструкции видно, что сжимающееся и расширяющееся слоения (или лучше поля плоскостей) непрерывно зависят от диффеоморфизма. После того, как сжимающееся и расширяющееся слоение для исходного и для возмущенного диффеоморфизмов построены, доказательство теоремы Аносова уже не сложно. Действительно, рассмотрим какую-либо фазовую точку и последовательность ее образов при исходном диффеоморфизме. Рассмотрим систему е-окрестностей точек-образов. Число е выбирается малым и по нему подбирается расстояние от возмущенного диффеоморфизма до невозмущенного. Если это расстояние достаточно мало, то каждая из е-окрестностей расслоена на связные компоненты слоев сжимающегося расслоения как для исходного, так и для возмущенного диффеоморфизма.
Мы будем называть зти компоненты вертикальными дисками. Рассмотрим вертикальный диск исходного слоения, проходящий через исходную точку, и его образы под действием положительных степеней исходного У-диффеоморфизма. Существует единственный вертикальный диск возмущенного слоения такой, что его образы под действием положительных степеней возмущенного диффеоморфизма остаются внутри описанных выше е-окрестностей.
Действительно, исходный У-диффеоморфизм растягивает в горизонтальном направлении. Поэтому возмущенный диффеоморфизм также растягивает в горизонтальном направлении. Обозначим описанные выше окрестности через У„, их расслоения на возмущенные вертикальные диски через И, В„, возмущенный диффеоморфизм — через А. Поскольку в горизонтальном направлении А растягивает, отображение А ' индуцирует сжима.юп(ие отображения а„: ВА-+ В„м Искомая точка Ьл ен В, впреде.ляется теперь как бэ — — Д а,а ...алВ,.
л +со Точно так же существует единственный -горизонтальный возмущенный диск, образы которого при применении отрицательных степеней нашего диффеоморфизма не выходят из окрестностей с отрицательными номерами. Пересечение построенных возмущенных дисков — горизонтального и вертикального — определяет ту точку, которую сопрягающий гомеоморфизм сопоставляет исходной фазовой точке. Проверка того, что описанная конструкция действительно определяет гомеоморфизм, сопрягающий невозмущеиный У-диффеоморфизм с возмущенным, не представляет особых трудностей после всего, сказанного выше.
У-диффеоморфизмы с инвариантной мерой, заданной положительной плотностью, имеют всюду плотное множество пернодиче- 12Г у-системы ских точек (циклов). Весьма полное исследование зргодических свойств У-диффеоморфнзмов с инва))иантной мерой (перемешнвание и т. д.) проведено Д. В. Аносовым и Я. Г. Синаем (см. Аносовв Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 90 (1967), 3 — 209). В. У-потоки. При переходе к однопараметрическим группам диффеоморфизмов определение гиперболичности следует несколько изменить, так как вдоль фазовых кривых не происходит ни сжатия, ни растя-- жения.
Рассмотрим интегральные кривые в случае седла х= — х, у=у (рис. 83). Ось 1 является пересечением двух пло- у скостей, составленных из интегральныхкривых, приближающихся к ней при 1-~-+со (плоскость (х, 1)) и при 1-» — оо (плоскость (у, 1)); остальные интегральные кривые удаляются от оси Рис. зз. как при 1- +со, так и при 1-1.— со. Однопараметрическая группа диффеоморфизмов называется У- потоком, если фазовые кривые вблизи . любой данной фазовой кривой расположены так, как интегральные кривые в приведенном. выше примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
