1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

86). Заметим, что, если бы мы начали с любого из этих векторов, то мы получили' бы тот же самый орицикл с тем же полем. Зтот орицикл с полем можно рассматривать как кривую в трехмерном пространстве Т,М единичных касательных векторов плоскости Лобачевского. Таким образом, мы построили одномерное слоение в Т,М вЂ” разбиение пространства единичных касательных векторов на кривые. Зто разбиение есть сжимающееся слоение. Расширяющееся слоение строится таким же образом, начиная от окружностей, центры которых расположены сзади точки приложения вектора. 2'. Условия 2, 3 выражают инвариантность геодезических и орициклов относительно геодезического потока и проверяются непосредственно. Действительно, семейство геодезических, перпендикулярных одному орициклу, пересекает абсолют в точке касания абсолюта с орициклом, а всякий орицикл, касающийся абсолюта в этой точке, ортогонален всем геодезическим семейства (рис. 87).

Поэтому геодезический поток переводит каждый орицикл (оснащенный полем нормалей) в орицикл, касающийся абсолюта в той же точке (й также оснащенный полем нормалей). 3'. Условие 1 означает, что касательные Рис. 87. векторы к геодезической, оснащенной касатель- ным полем, и к обоим орициклам, оснащенным нормальными полями, линейно независимы.

Оно проверяется непосредственно: важно лишь, что касание обоих орициклов — первого, -а не более высокого порядка. 4'. Докажем, что отрезки сжимающегося орицикла под действием фазового потока экспоненциально сжимаются. Предположим, что начальный орицикл — прямая у = 1 на верхней полуплоскости. Геодезические в прямые х = сопз1, геодезический поток за время г превращает прямую у= 1 в прямую у =е' (расстояние вдоль оси у от точки 1 до точки у равно 1п у). Следовательно, каждый отрезок орицикла переходит в отрезок, длина которого в е' раз меньше.

стяуктмгнхя устойчивость ~гл. 3 Отсюда следует, что фазовый поток сжимает слои сжимающегося слоения (в смысле естественной метрики на Т,М), Проверка условия 4 определения У-системы заканчивается аналогичным рассуждением для расширяющихся орициклов. Ь Следствие. Геодезический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны является У-потоком.

- 4 Заменой времени можно свести все к случаю кривизны — 1. Для поверхности постоянной отрицательной, кривизны — 1 универсальной накрывающей является плоскость Лобачевского; поверхность получается из плоскости Лобачевского отождествлением точек, переходящих друг в друга под действием некоторой дискретной группы движений плоскости Лобачевского (рис.

88). 8 Ь При этом отождествлении геодезичес- кие, окружности, орициклы плоскости Лов бачевского проектируются в геодезические, окружности, орициклы поверхности; геодезический поток на поверхности и его сжимающееся и растягивающееся опоения проектируются в такие же опоения для поверхности. в Рас 88 В частности, отсюда следует, что гго- дгзичгский поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны структурна устойчив и имеет всюду плотное множество замкнутых геодезических. 3 а м е ч а н и е. Для многомерного многообразия отрицательной кривизны (не обязательно постоянной) геодезический поток также является У-потоком. Доказательство близко к приведенному выше для простейшего ' случая: немного сложнее лишь доказательство существования орициклов (ори- сфеР) См.

цитированную выше книгу Д. В. Аносова. Е. Биллиардные системы. Рассмотрим геодезический поток на поверхности эллипсоида. Рис. 89. Предположим, что малая ось эллипсоида уменьшается до нуля, так что эллипсоид уплощается и превращается в эллипс. Геодезический поток в пределе переходит в так называемую биллиардную систему в области, ограниченной эллипсом: точка движется по прямой внутри области, а от границы отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (рис.

89). Биллиардная траектория внутри эллипса никогда не бывает всюду плотной. Но для областей, ограниченных другими кривыми (например, негладкими кривыми, обращенными выпуклостью внутрь у-системы области) биллиардное движение обладает почти такими же свойствами экспоненциальной неустойчивости траекторий и перемешивания, как У-потоки .

Рассмотрим, в частности, биллиардную систему на торе с дыркой. Эту систему можно рассматривать как предел геодезических потоков на поверхности кренделя (крендель вырождается в двусторонний тор с дыркой так же, как эллипсоид в двусторонний эллипс). Более того, двусторонний тор с плоской метрикой и с дыркой можно считать предельным случаем кренделя отрицательной кривизны (при вырождении вся кривизна собралась вдоль края дыры). Поэтому, неудивительно, что эта биллиардная система обладает свойствами У-потока. Имеется надежда, что соображения, близкие к гиперболической теории позволят доказать эргодичность системы тведрых шаров в ящике, со времени Больцмана постулируемую в статистической механике.

(Эргодичность означает, что каждое инвариантное подмножество фазового пространства имеет меру нуль, либо полную меру; она влечет совпадение почти всюду временных и пространственных средних. В данном случае под фазовым пространством понимается множествб уровня энергии.) В плоском случае доказательство опубликовано Я. Г. Сипаем (Я. Т.

Синай, Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих биллиардов, УМН 25, 2 (1970), 141 — 192). О биллиардных системахгсм, также Л. А. Буни'мович, О биллиардах, близких к рассеивающим, Матем. сборник 94, 1 (1974), 49 — 73. Ж. У-системы и прогонка., Гиперболическая ситуация возникает в задачах вычислительной математики, решаемых методом прогонки. Предположим, для примера, что мы хотим решить краевую задачу для уравнения втоого порядка й=х (т. е. для системы х=р,,д=х) на отрезке О, Т1. Предположим, что заданы неоднородные граничные условия: начальная точка 1р(0) с координатами (х(0), р(0)) лежит на заданной прямой 1, фазовой плоскости (х, р), а конечная точка гр(Т) — на заданной прямой 17.

Если бы начальная точка 1р(0) была известна, то при попытке решить задачу Коши с начальным условием 1р(0) мы столкнулись бы с потерей точности, экспоненциально растущей с длиной Т отрезка интегрирования. Действительно, решения с начальным условием, пропорциональным растягивающемуся вектору (1, 1) экспоненциально растут. Таким образом, при переходе от плоскости 1 = 0 к плоскости 1 в Т происходит растяжение в направлении вектора (1, 1) (в дальнейшем это направление называется горизонтальным) и сжатие в направлении вектора (1, — 1) (называемого вертикальным, см. рис. 90).

128 СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ' 1гл, а Рассмотрим теперь образ прямой 1е под действием нашего' преобразования. Хотя образ каждой точки прямой находится с экспоненциально большой потерей точности, образ самой прямой определяется, вообще говоря, весьма точно. Действительно, направление это1г го образа близко, вообще говоря, ф к горизонтальному направлению. Поэтому ошибка в вычислении точки на этой почти горизонтальной прямой мало влияет на положение прямой: у ошибки может быть велика как раз горизонтальная компонента, а вертикальная мала.

Рис. 90. Точку гр(Т) мы находим как пересечение прямой 1г и образа прямой 1е. Теперь для окончательного определения решения нужно решать задачу Коши назад. При этом ошибка по горизонтали не растет, а вертикальная компонента точки <р(1) фиксирована тем, что эта точка лежит на уже найдепной прямой 1(1)=йг1е.

Таким образом, сначала мы, переходя от О к Т, находим прямые 1(1), а потом, возвращаясь от Т к О, выбираем на каждой из ний по точке — и все это без экспоненциальной потери точности. 3. О применениях У-систем. У-системы и родственные им:объекты находятся сейчас в таком же положении, в каком находились предельные циклы во времена Пуанкаре. Весь математический аппарат исследования предельных циклов был создан, но инженерное серьезное применение предельных циклов началось лишь спустя несколько десятков лет, когда развитие радиотехники сделало теорию нелинейных колебаний прикладной областью математики.

С начала 1960-х годов известна гипотеза, что естественной ' областью применения У-потоков является теория турбулентного движения жидкости. Представим себе замкнутый сосуд, заполненный несжимаемой вязкой жидкостью, приводимой в движение какой-либо внешней силой (мешалкой). Мешалка нужна, чтобы вязкость не погасила со временем всякое движение. Гидродинамические уравнения Навис †Сток задают динамическую систему *) в функциональном пространстве (точками этого ') По правде говоря, теория уравнений с частными производными до сих пор не может справиться с проблемой существования и единственности решений для трехмерного уравнения Навье — Стокса, но мы пренебрежем этим обстоятельством. $1ч у-системы бесконечномерного фазового пространства являются бездивергентные векторные поля, поля скоростей жидкости).

Характеристики

Список файлов книги