1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пример 1. Возмущенная система: ф,=1„ф,=1, 1,=е, !,=есоз~р,. Рассмотрим резонанс гз,=О. Резонансная кривая 1,=О пересе. кается в усредненном движении с ненулевой скоростью. Изменение 1, в точном решении за время от — оо до +со, как нетрудно сосчитать, дается интегралом Френеля Ы,=е ~ соз(~р,+еР/2) И=с(~р,) 3~ е.
В-усредненной системе Х, не меняется со временем. Заметим, что основной вклад в интеграл дает окрестность резонанса шириной порядка 3~ е; интеграл сам имеет порядок ~'е и зависят от начальной фазы ф,. Таким образом, в этом простейшем примере пересечение резонанса приводит к рассеянию решений возмущенного уравнения, имеющих общее начальное значение 1, на расстояние порядка 3 'е, друг от друга, причем зто рассеяние происходит в окрестности резонансной поверхности ширины порядка ф'е. Появление величин порядка ~1е характерно для всех задач, связанных с прохождением резонанса.
В то время как в первом примере прохождение резонанса приводит лишь к небольшому рассеянию проекций траекторий возмущенной системы на базу по отношению к траекториям усредненной системы, в следующем примере возмущенное и усредненное движения совершенно различны. П р и м е р 2. Рассмотрим возмущенную систему фх =1„ф, = 1„1, = е, 1, = е соз (~р, — ~рз). ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ !ГЛ. 4 Усредненная система ,/ =е,,/з=О. Усредненное движение с начальным условием /т(0) = 1, /т(0)=1 при 1 = 1/в дает /т (1) = 2, Хз (1) = 1. Возмущенное' движение с начальным условием 1, (0) =.1, /з(0)=1, ф,(0) =О, фз(0) =0 приводит при /=1/в к /,(1) =2, /,(1) = 2. Таким образом, проекция возмугценного движения на базу систематически движется совсем не в ту сторону, что траектория усредненного движения. За время 1=1/н эти две траектории на базе расходятся на большое расстояние (порядка 1).
Причина, по которой усредненное уравнение непригодно для описания рассмотренного возмущенного движения, состоит в том, что эта возмущенная траектория все время остается на резонансной поверхности, а вблизи резонанса усреднение явно неприменимо, так как временное среднее не близко к пространственному среднему по всему и-мерному тору. Захватывание части траекторий на резонансные режимы характерно для систем с числом частот больше 1. Пример 3, (А. И.
Нейштадт.) Рассмотрим систему ') Ф,=/, ф,=1, /=е(а+ з(пф,— /). Для исследования этой системы рассмотрим уравнения маятника с крутящим моментом и трением ф=е(а+ з(пф — ф), к которому Рис. 97. она легко сводится. Введем медленное время т=1г' е1 (интервалу 1 1/е соответствует т 1Д"е). Обозначая штрихом производные по медленному времени, получаем уравнение ф" = а+ в 1п ф — )/ е ф'. «) Полученную дописыванием тривиального уравнения фз= 1 из одноча- стотиой системы; резонанс в полученной системе соответствует обращению в О частоты в одночастотной.
з ~з] УСРЕДНЕНИЯ В МНОГОЧАСТОТНЫХ СИСТЕМАХ 145 Фазовые портреты прн Е=О изображены на рнс. 97 ((/ — потенцнальная энергия). Мы будем предполагать, что а ) О. В зависимости от величины крутящего момента а возможны два случая. Если а)1 (крутящнй момент велик по сравнению с колебательным), то член з(п ф не играет существенной роли: ! меняется монотонно. Прохождению через резонанс !=О отвечает изменение направления вращения маятника., Если а~1, то возможен колебательный режим движения маятннка (петля внутри сепаратрнсы на фазовом портрете).
Этот колебательный режим соответствует траекториям, постоянно остающнмся вблизи резонанса. Эффект малого трения 3/е ф' состоит в основном в разрушении петли сепаратрнсы. Вместо нее на плоскости (ф, ф') появляется узкая (ширнны порядка )/е) полоса ! вдоль неограниченной части сепаратрисы, состоящая нз захватываемых притягивающим положением равновесна фазовых точек; вся область внутри сепаратр псы также захватывается 1« (рнс.
98). Возвращаясь к исходной системе, мы обнаруживаем, что при а ( 1 происходит захватыванне в резонанс. Прн Рис. 98. этом в резонанс захватывается малая доля всех траекторий (мера множества начальных условий, (!, ф), захватываемых за врема 1/з, порядка 1/в). Для этнх захватываемых начальных условий различие между нзмененнем медленной переменной ! н изменением решения усредненного уравнения ! за время 1/в достигает величины порядка 1. Для остальных же начальных условий (т. е. для всех начальных условий, кроме множества меры порядка $' в) различие между ! н .! за время 1/з остается малым (порядка 1'е1пз, как можно сосчитать). Если же а~ 1, то захват в резонанс вообще не происходит.
В. Прохождение через резонансы в двухчастотной системе. Рассмотрим двухчастотную систему с частотами мт (/), мз (/): фт=м,+з!ь фа=ма+в!з, !з еуь ! = еуз. Определение. Снатема уооемяморяелз услоеию Л, если скорость изме- нения отношения частот мт/«ьз вдоль траекторий возмущенной системы всюду отлична от нуля: дмт омз мз учьмй д/ ,о/ ТЕОРИЯ НОЗМУШЕНИИ [ГЛ, е Система удоаытгорягт углоеию А, если всюду отлична от нуля скорость изменеичя отношения частот аЧ/юэ вдоль траекторий усредненной системы: дюг деьг — а- — с., д1 д/ Мы будем предполагать, что все рассматриваемые системы †аналитическ. Теорема.
Если сигнмла удаглгтгорягт условию А, та различие между медленним дэижгнигм 1 (!) г мммущгнной системе и ! (!) г усредненной астагамя малым г течение времени ! 1/в; [1(!) — !(Г) [«с)' в, если 1(0)=1(0),. О«!«1/е. щ Доказательство основано на том, что выделяется конечное число резонансов с небольшими номерамв (большое при малых е), и вне малых окрестностей выделенных резонансных поверхностей используются обычные замены переменных (см.
5 17). Прохождение окрестностей выделенных резонансов приводит к рассеянию порядка )св (квк в примерах выше). Суммируя результаты рассеяния вблизи вьщеленных резонансов н дрейфа в промежутках между ними, получаем приведенную выше оценку.[ь Подробности см. В. И. Ар пол ьд, Условия применимости и оценка погрешностя метода усреднения ддя сйстем, которые в процессе эволюции про. ходят через резонансы, ДАН СССР, 161, 1, 1965; А. И. Не 6 штадт, 0 прохождении через резонансы в двухчастотной задаче, ДАН СССР, И, 2, !975; диссертация А.
И. Нейштадта «О некоторых резонансных задачах в нелинейных системахм МГУ, 1975, содержит доказательство приведенной выше оценки с )се, взамен первоначальной опенка гсз!п'в в первой из цитированных: работ. Теорема (А. И. Н е й ш т а д т). Если система удоамтгарягт условию Я. и гщг некоторому условию В (гмлолнгннону почти всегда), лю для всех начальных точек (/э, фе), кроил множггтга мгрм нг нраюсходящгй сг)св, различил между мгдмнным дгижгнигм 1(!) е гоэмущгнной системе и даиненигм 1 (!) е усредненной остается малым г течение времени 1/е: [1(!) — 1(!) [«сэ)/в)1пе[, если 1(0)=!(0).
ч( Доказательство основано на том, что выделяется конечное число резонансов с небольшими номерами и вне малых окрестностей выделенных резо. нансных поверхностей используются обычные замены переменных. При исследовании выделенных резонансов используется усреднение по окружностям, являющимся траекториями невоэмущенного движения при резонансе. С этой целью зафиксируем номер резонанса (гнь тэ), где т, и тэ взаимно просты, и выберем на торе вместо угловых координат (фь ~рэ) новые угловые ноордннаты (7, 6), где Т=т,грг+турэ. Скорость изменения угловой координаты 7 в невозмущенном движении прн резонансе обращается в нуль, так как ~„ю +тэг =О.
На базе также введем специальную коордянату р тгю,+тамг. Уравнение резонансной поверхности вмеет теперь вид р=О, так что величина р характеризует уклонение от резонанса. Точку резонансной поверхности будем обозначать через а. В окрестности этой поверхности можно характеризовать точку базы значением расстояния до резонанса, р, н проекцией на резонансную поверхность, а. Во введенных координатах возмущенная система принимает вид у=р+еуи 6=а(1)+эсг, р=еую а еГи где функции Еэ имеют но 7 и Ь период 2п.
УСРЕДНЕНИЕ В МНОГОЧАСТОТНЫХ СИСТЕМАХ $181 Усреднение по траекториям резонансного движения сводится к усреднению по Ь. Усредненная система имеет вид Т р+а6,, р=э6,, о з6,. Функции 6э имеют период 2п по Т и зависят также от р н а. Введем медленное время т=)' вГ и нормированное расстояние от резо. панса г=р/)~з. Тогда, обозначая производные по т штрихом, запишем усредненное уравнение в виде Т' г+3' е 61, г' 6». о' $Ге 6,. Аргументами у функций 6э являются Т, 'г' а г, о и з.
Полагая в этом уравнении в=О, получаем в качестве первого приближения уравненяе Т'=г, г'=и (Т, о), о' О. Таким образом, в первом приближении получается уравнение маятника с крутящим моментом, зависящее от параметра о. Гамяльтонозость полученного уравнения первого приближения †удивительн факт, обнаруживп)нйся в результате вычислений и отнюдь не очевидный заранее.
Рассмотрим фазовый портрет уравнения первого приближения на плоскости (Т, г). Он выгл»щнт хак в примере 3 п. Б п, н а (1 илн при а) 1, в зависимости от того, меняет ли знак функция и. Оказывается, что патлы сепаратрисы возникают лишь для небольшого числа'резонансов с не слишком большими номерами (здесь ыспользуется условие А). Действительно, из условия А вытекает, что среднее значение функции и по у отлично от нуля. Для резонансов с большими номерами в уравнении первого приближения получается функция и, мало отличающаяся от своего среднего значения (таи как усреднение по б близко в этом случае к усреднению по тору) и поэтому всюду отличная от нуля. Это соответствует маятнику с крутящим моментом, который велик по отношению к качающему моменту.
В этом случае уравнение первого приближения не имеет нн положений равновесия, нв колебательной области. При переходе от уравнения первого приближения к полному уравнение из петля сепаратрисы возникает зона захвата в резонанс, как в примере 3 п. Б '). Мера множества захватываемых точек фазового пространства оценивается величиной порядка У з, если все положения равновесия уравнения первого приближения простые (т. е. если нули функции и простые: и=О =Ф ==э ди/ду ф О), Это ограничение простоты и есть условие В теоремы Нейштадта. Заметим, что условие накладывается на уравнения первого приближения, соотве1ствующие ионечному числу резонансов (поскольку при условии А только для конечыого числа резонансов уравнения первого приближения ымеют положения равновесия).
Доказательство теоремы завершается соеднненнем оценок .изменения величин ) в нерезонансных промежутках и вблязн резонансов †незахватываемой часты фазового пространства. Подробности см. в цитированной выше диссертации Нейштадта. ~ Замечание. Для двухчастотных систем остался неисследоваяным случай, когда условие А нарушается, т. е когда отношение частот быстрого движения в усредненном движении меняется немонотонно. Такое поведение невозможно в случае одномерной базы, но если число медленных переменных г 2 илн больше, то поворот отношения частот вспять есть явление общего положения, неустранимое шевелением системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
