1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В. Доказательство адиабатической инвариантности действия. В основе доказательства лежит метод усреднения. Обозначим через ф угловую координату на замкнутых фазовых кривых, выбранную так, чтобы «р менялось вдоль каждой кривой пропорциональн«Р времени движения по кривой и вырастало на 2п за каждый оборот (разумеется, угловая координата «р, как и переменная действия 1, зависит не только от фазовых координат (р, «1), но и от параметра Л). Тогда уравнение нашей системы при каждом фиксированном значении Л можно записать в виде стандартной иевозмущенной системы метода усреднения: ф=«о(1, Л(т)), 1=0, Ь=О. Если теперь Л медленно меняется, то вместо невозмущенной системы получится возмущенная ф=«о+Б1, !=ей, Е=е, где функции ) и а периодичны по ф с периодом 2п.
Составим усредненную систему. Лемма. Переменная действия является первым интегралом усредненной системы (то есть среднее я по ф равно нулю). 1 Рассмотрим область, ограниченную замкнутой.фазовой кривой 1 1, при начальном значении параметра. Согласно теореме об усреднении, образ этой области через любое время 1 из отрезка 10, 11е] есть, с ошибкой порядка е, область, ограниченная некотоой замкнутой фазовой кривой 1 = 1, при значении параметра = Л(Б1). Но уравнения движения гамильтоновы (хотя и неавтономные). По теореме Лиувилля площадь образа равна площади прообраза.
Отсюда следует '1« = 1ь. Ь 156 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 1гл. з Следствие. Отноизгние энергии маятника к часпютв есть адиабатичгский инвариант. 3 здеч з. Шарик движется гориэонтзльно между двумя вертикальными абсолютно упругими стенками, расстояние между которыми медленно меняется. Докажите, что произведение скорости шарика нв расстояние между стенками— вднзбзтнческяй инвариант. 3 з де ч з. Заряженная частице движется в магнитном поле, которое мало меняется нз протяжении одного лзрморовского витка частицы вокруг магнитной силовой линии. Доказать, что здизбзтяческим инвзривнтом является отношение квадрата компоненты скорости частицы по нормали к силовой линии к величине напряженности магнитного поля, о'„/Н (см.
изпр., Л. А. Ар ци мович, Управляемые термоядерные реакции, М., Физмзтгиз, 1961). Г, Адиабатические инварианты многочастотных гамильтоиовых систем. Рассмотрим многочастотную систему уравнений Гамильтона р = — Н«, г» = Н, зависящую от параметра»с, и допускающую при фиксированном ь переменные действие — угол: ф=ш(1, Х), 1=0 (где ш=дН„/д/) с функцией Гамильтона Н, (1, Л), зависящей от и переменных действия невырожденным образом, так что йе1 (дш/д1) = йе1 (д'Н,/дР) Ф О.
Предположим, как и выше, что параметр»с начинает медленно меняться. Изменение р и д описывается уравнениями Гамильтона с переменной функцией Н, а поведение переменных 1 описывается возмущенной системой (мы предполагаем, что»с=в(, где е — малый параметр). Л е м м а. Возмущенная система является гамильтоновой, с однозначной функцией Гамильтона Н=Н, (1, Ц+еН,(11 <р, Х, г).
Доказательство этой леммы требует либо некоторого проникновения в симплектическую геометрию или гамильтонов формализм (см., например, В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, М., «Наука», 1974), либо громоздких вычислений, которые мы опустим. Следствие.
Пергмгнныв дгйапвия 1 являются пгрвыми интегралами усредненной сиспммы. 4 Действительно, усредняемая функштя — правая часть уравнения 1 = — едН,/д~р — является производной периодической 'функции и потому имеет среднее значение нуль (ср. теорему п. А 3 19). »Р Соединяя доказанное следствие с теоремой Нейштадта (см.
п. Г й 18), мы приходим к следующему выводу: Изменение переменных действия 1 в гамильтоновой многочастотной системе с медленно мрнлющимися параметрами остается мгныиим р в течении времени 1/е, если пренебречь множвспнюм начальных условий меры нг более с $/е/р в исходном фазовом проотгранствг (фазовог пространство пргдполагагтся здесь компактным, а производная дю/д1 пргдполагагтся нгвырождгнной». АциАВАтические инВАРиАнты 1вт Определение. Функция р от фазовой точки гамильтоновой системы и параметра называется почти адиабатическим инвариантом, если для любого р) О мера множества начальных условий в компактном фазовом пространстве, для которых изменение функции г" вдоль решения уравнений Гамильтона с медленно меняющимся параметром превосходит р за время 11е, стремится к нулю при е, стремящемся к нулю. Таким образом, переменные действия (1Н ..., 1„) являются почти адиабатическими инвариантами невырожденной многочаспютной еамильтоновой системы.
Д. Поведение адиабатических иивариантов при 1~1!а. Хотя адиабатический инвариант мало меняется за время 11е, нет оснований предполагать, что его -изменение останется малым за большие отрезки времени (скажем, порядка 11ез) или тем более за бесконечный отрезок времени. 'Пример. Рассмотрим маятник с медленно периодически меняющимся параметром У= — в'(1+а созе!) х. При сколь угодно 'малых е (т. е. при сколь угодно медленном изменении параметра) возможен параметрический резонанс, при котором положение равновесия х=О становится неустойчивым.
Ясно, что при параметрическом резонансе адиабатический инвариант линейного 'маятника меняется неограниченно (в течение бесконечно большого промежутка времени). Оказывается, такое поведение адиабатического инварианта в системе с периодически медленно меняющимся параметром связано именно с линейностью системы, точнее с независимостью периода колебаний от амплитуды.
Если'же в гамильтоновой системе с периодически медленно меняющимся параметром производная частоты быстрого движения по переменной действия отлична от нуля, то переменная действия мало меняется в течение бесконечного промежутка времени (см. В. И. Арнольд, О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона, ДАН СССР, 142,'4 1962, 758 †7). Доказательство основано на том, что в этой ситуации существуют инвариантные торы, как в теореме Колмогорова (см.
п. Б 2 19). Другим интересным случаем является случай, когда параметр меняется таким образом, что при 1-»- — со и при!-»-+со он имеет определенные пределы. В этом случае имеет смысл говорить о значении адиабатического инварианта на минус бесконечности, его значении на плюс бесконечности и о приращении адиабатического инварианта за бесконечно большое время, Л1 =1 (+ оо) — 1 ( — оо). [гл. э теогия Возмущении Для линейного уравнения х = — в' (е1) х, в ( — оо) = в, в (+ со) = в+ можно доказать, что приращение адиабатического инварианта за бесконечное время — экспоненциально малая по е величина (в предположении аналитичности функции в, которая не должна менять знака и должна разумно вести себя на бесконечности).
Более того, можно указать явно главный член асимптотики приращения адиаба- 1960. тического инварианта при е-~0 (см. А. М. Дыхне, Квантовые переходы в адиабатическом приближении, )КЭТФ, 38, 2, 570 — 578). Аналогичные результаты получены и для многомерных линейных систем. Аккуратные формулировки и доказательства имеются в статье М. В. Федорюк, Адиабатический инвариант системы линейных осцилляторов и теория рассеяния, Дифференциальные уравнения, 12, 6 (1976), 1012 — 1018 (в которой, однако, опущены ссылки на предшествовавшие физические работы).
Вопрос о приращении адиабатического инварианта для одномерной нелинейной системы также исследовался физиками: здесь доказана малость приращения по сравнению с е~', т. е. отсутствие изменений адиабатического инварианта во всех порядках теории возмущений (А. 1епагб, Апп. о1 РЬуз(сз, 6 (1959), 261 — 276). А. И. Нейштадт в аналитическом случае получил и экспоненциальную оценку.
Что касается нелинейных систем с несколькими степенями свободы, то для них адиабатическая инвариантность переменных действия, вопреки утверждениям в физической литературе, вообще говоря ие имеет места: эти величины являются лишь почти адиабаговоря, ие тическими инвариантами, т. е. мало меняются для большинства начальных условий. $ 21. Усреднение в слоении Зейферта При исследовании окрестности замкнутой фазовой кривой встречается случай, когда близкие фазовые кривые в первом приблии акже замыкаются, но при этом, прежде чем замкнуться. йк и- делают н ют несколько оборотов вдоль исходной замкнутой фазово рвой (т. н. случай резонанса). Изучение поведения системы вбли зи резонансного или близкого к резонансу периодического движения приводит к своеобразному варианту, метода усреднения: усреднению в слоении Зейферта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
