1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Чтобы представить себе, как пересекаются инвариантные многообразия в трехмерном пространстве возмущенной системы, рассмотрим-сечение этого пространства плоскостью 1=0. Эту плоскость наше решение пересекает в трех точках, являющихся неподвижными точками куба отображения последования. Каждая из трех неподвижных точек имеет входящее и выходящее инвариантное многообразие (кривую). Но эти кривые, пересекаясь, не обязаны совпадать (в отличие от фазовых. кривых уравнения на плоскости, которые, единожды пере- Рнс. 101. секшись, обязаны совпадать на всем своем протяжении). При итерациях отображения последования из пересекающихся дуг инвариантных многообразий образуется сложная сеть, называемая гомоклинической картиной* ) (рис.

101). И. Резонансы других порядков. Для резонансов порядка а выше 3 в качестве усредненной системы первого нетривиального приближения получается таким же образом система г=аг+гА (~г(а)+ге '. В частности, для резонанса порядка 4 получается система г = аг + Аг ! г (а+ гз. Эти системы, а также система, соответствующая резенансу порядка 2, подробно рассматриваются в гл. 6. Рнс. 1Оа. На рис. 102 изображена перестройка фазовых портретов в усредненной системе, соответствующей резонансу пятого порядка г=аг+Аг~ г1з+г' при ЙеА (О, 1шА (О, 1р=ееге, а с.

1. ') Неподвнжная точка днффеоморфнзма плоскости называется гомоклнннческоа, если входящая н выходящая ннварнантные кривые' пересекаются, не совпадая. Ве Глава Я Нормальные формы Очень плодотворный метод при работе с дифференциальными уравнениями состоит в том, чтобы их не решать, а преобразовывать к возможно более простому виду. Принадлежащая Пуанкаре теория нормальных форм указывает такие наиболее простые формы, к которым можно привести дифференциальное уравнение в окрестности положения равновесия или периодического движения. Приведение к нормальным формам осуществляется при помощи рядов по степеням отклонения от равновесия или периодического движения.

Зги ряды не всегда сходятся. Но даже в случаях, когда ряды расходятся, метод нормальных форм оказывается весьма мощным орудием исследования дифференциальных уравнений: несколько первых членов ряда часто дают значительную информацию о поведении решений, достаточную для построения фазового портрета.

Метод нормальных форм является также основным орудием исследования в теории бифуркаций, где он применяется к семействам уравнений, зависящих от параметров. В настоящей главе изложены простейшие основные положения метода нормальных форм. 5 22. Формальное приведение к линейной нормальной' форме Теорема Пуанкаре утверждает, что в классе формальных степенных »рядов «нерезонансное» векторное поле может быть приведено к своей линейной части в особой точке формальным диффеоморфизмом.

Сформулируем условие нерезонансности, о котором идет речь. А. Резонансы. Вместо векторного поля рассмотрим формальный векторный степенной ряд о(х) =Ах+... от а переменных с комплексными коэффициентами. Предполагается, что собственные числа матрицы А различны. Определение. Набор собственных чисел Х=(Х», ..., А„) называется рвзоналвныл«, если между собственнымн числами ФОРМАЛЬНОЕ ПРИВЕДЕНИЕ ч ят) существует целочисленное соотношение вида Л,=(т, Л), где т=(гпю ..., т'„), та)О,,У', та.- 2.

Это соотношение назы- вается резонайсом. Число ) т)= )~~та называется порядком резо- нанса. Пример. Соотношение Л =2Л вЂ” резонанс порядка 2, 2Л, = ЗЛв — не резонанс, Л + Л, = 0 — резонанс порядка 3 (точйее, из этого соотношения следует.

резонанс Л =2Л +Л,). х=Ах+... формальной заменой переменной х=у+... приводится к линей- ному уравнению у =Ау (многопгочия означают ряды, начинающиеся с членов выгие первой степени). Доказательство теоремы Пуанкаре состоит в последовательном уничтожении членов второй, третьей и т.

д. степеней в правой части. Каждый шаг, основан на решении линейного гомологит ческого уравнения, с вывода которогЬь мы и начнем. В. Вывод гомологического;уравнения. Пусть Ь вЂ” векторный многочлен *) от у порядка г-: 2 и Ь(0) = = Ь' (0) = О. Лемма. Дифференциальное уравнение у=Ау при замене х = = у+Ь(у) превращается в.

к=Ах+о (х)+.'..„ где о(х)= — Ах — АЬ(х), а многоточие означает члены порядка дд ' выиге г. 4 х = (Е+дЬ/ду) Ау =(Е+ дну) А (х — Ь (х)+...) =Ах+~~ — Ах — АЬ(х)1+... Ь *) Т. е. векторное поле, компоненты которого — мыогочлены. Вектор-много- член (поливом) является суммой ееклгор-одкочлеяоа или (аеклюр-моколое); последние представляют собой поля, у которых одна компонента одночлен (мо"ом), а остальные номпонеыты — нули.

Порядок мыогочлена есть степень нызюего члеыа. Б. Теорема Следующая Пуанкаре. Теорема. то уравнение Пуанкаре. теорема является основным результатом диссертации. Если собгупвенные числа матрицы А нерезонансны, НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ~гл. а. Замечание. В квадратных скобках стоит скобка Пуассона векторных полей Ах и Ь(х). Мы будем обозначать через Ел оператор, переводящий любое.

поле в скобку Пуассона линейного поля Ах с данным полем: Елй = д — Ах — АЬ (х). д» О п р е д е л е н и е. Гомологическим уравнением, связанным с. линейным оператором А, называется уравнение Елй= о, где Ь вЂ” неизвестное, а и†известное векторное поле. Г. Решение гомологического уравнения. Линейный оператор Ел действует из пространства формальных векторных полей в себя.

Он оставляет инвариантными пространства однородных вектор-полиномов любой степени. Вычислим собственные числа и собственные векторы опеРатора Ел. Обозначим через е~ собственный вектор оператора А с собственным числом Ьь Будем обозначать через (х„ ..., х„) координаты в базисе (е„ ..., е„). Как обычно, х'" будет о™бозначать х'," ...х'„",„ Лемма.

Еслш оператор А диагональный, то и оператор Ел на пространстве однородных вектор-многочленов диагональный. Собственными векторами оператора Ел являются вектор-одночленьс .х'"е,. Собственные числа оператора Е„линейно зависят от собственных чисел оператора А, а именно Елх е,=((т, Х) — А1х г,. 4 Пусть Ь=х е,. Тогда у вектора — Ах отлична от нули да только з-ая компонента, и она равна дх~ ч~ ьч — Ах = Р— х"')чх~ = (т, Л) х'". дк,л~и к~ Но Ай(х)=,Х,Ь(х). Ь Если все собственные числа оператора Ел отличны от нуля„ то он обратим.

С л е д с т в и е. Если набор собственных чисел оператора А нерезонансный, то гомологическое уравнение Елй=о разрешимо в классе формальных степенных рядов й для любого формального векторного поля о без свободного члена и линейной части в нуле. Если отсутствуют резонансы порядка Ь, то гомологическое уравнение Елй= о разрешимо для любого однородного вектор-многочлена о степени Й в классе однородных вектор-многочленов степени Ь (здесь Ь~2). 3 а ме'ча ни е. Если оператор А недиагональный (имеет жордановы клетки), то и оператор Ел имеет жордановы клетки, но соб- гвт РЕЗОНАНСНЫИ СЛУЧАИ '$23) ственные числа, как легко видеть, даются той же формулой, что и в диагональном случае. Поэтому для нерезонаисных (хотя бы и кратных) собственных чисел оператор ЕА на пространстве однородных вектор.многочленов обратим.

Итак, приведенное выше следст.вие справедливо и в случае кратных собственных чисел. Д. Доказательство теоремы Пуанкаре. 4 Пусть исходное уравнение имело вид х=Ах+о,(х)+..., где о,— члены степени г(г)2). Решим гомологическое уравнение ЕАй,= о, (на основании следствия п. Г). Сделаем подстановку х=у-)-й,(у). Исходное уравнение примет вид у=Ау+го, (у)+...

(используем лемму п. В). Таким образом мы убили члены степени, г в правой части исходного уравнения. Убивая последовательно члены степени 2, 3, ..., мы строим последовательность подстановок. Произведение этих подстаиовок стабилизируется в классе формальных рядов, т. е. члены любой фиксированной степени, начиная с некоторого шага, не меняются.

Предельная подстановка превращает наше формальное уравнение в у=Ау. э Замечание 1. Хотя сходимость рядов и не доказана, сходя.щейся заменой возмущение можно в нерезонансном случае отодвинуть как угодно далеко: мы доказали, что для любого У настоящей (даже полиномиальной) заменой переменной исходное уравнение может быть приведено к виду у=Ау+о(~у~к). Замечание 2. Если возмущение о=о,+о„.,+ ... имеет порядок г, то, решая гомологическое уравнение ЕАй= о, мы получаем после подстановки х=у+й уравнение с возмущением порядка 2г — 1 †обстоятельст, связанное с сверхсходимостью полученных повторением этой процедуры приближений (ср.

5 12). Замечание 3. Доказательство теоремы Пуанкаре сохраняет силу и в 'случае кратных собственных чисел (см. замечание в конце п. Г), лишь бы они были нерезонансными. 3 а м е ч а н и е 4. Если исходное уравнение было вещественным, а собственные числа нет, то собственный базис можно выбрать из комплексно сопряженных векторов. В этом случае все замены в теореме Пуанкаре можно выбирать вещественными, т.

е. переводящими комплексно сопряженные вектора в комплексно сопряженные. г 5 23. Резонансный случай В резонансном случае теорема Пуанкаре-Дюлака утверждает, что формальной заменой переменных можно убить все нерезонансные члены в уравнении. 68 [ГЛ. 3 А. Резонансные манамы. Пусть набор собственных чисел, Л=(Л,, ..., Л„) оператора А резонансный. Пусть е,— вектор собственного базиса, х~ — координаты в базисе ео х =х, „х„" — моном (одночлен) от координат хь 0 п р е д е л е н и е. Вектор-моном х'"е, ' называется резонансным, если Л,=(т, Л), (т))2. П р и м е р.

Для резонанса Л, = 23 единственным резонансным мономом является х,*е,. Для резонанса Л +Л =0 резонансными являются все мономы (х,х,)'х,е,. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Б. Теорема Пуанкаре — Дюлака. Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное формальным рядом о(х)=Ах+ ..., х Ах+.... Т е о р е м а. ' При помощи формальной замены переменных х=у+ ... уравнение можно привести к каноническому виду у=Ау+в(у), где все мономы ряда ш резонансные.

4 Начнем убивать нелинейные члены ряда о. Через несколько шагов мы можем столкнуться с неразрешимым гомологическим .уравнением Ьлй=о относительно однородного вектор-многочлена й степени г, равной порядку резонанса. В этом случае мы не можем уничтожить все члены степени г возмущения о подходящей подстановкой. Вместо этого мы убьем лишь те из них, какие можно. Иными словами, мы представим о и й в виде суммы вектор-одночленов о = ~ о„,,х е„й = тг,й„...х е, и положим ое. л (и, Л) — Л для тех т и з, для которых знаменатель отличен от нуля. Тем самым мы определим поле й.

Характеристики

Список файлов книги