1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 41
Текст из файла (страница 41)
-Каждому резонансу Л,=ЛФ соответствует резонансный вектормоном х"'е, (где е, — вектор собственного базиса, х" =х, » ... х'„"», х„— координаты в собственном базисе). Теорема Пуанкаре — Дюлака. Формальное отображение х Ах+ ..., где матрица оператора А диагональна, формаль- 177. й за], уРАВнение с периодическими кОэФФициентАми ной заменой х=у+ ... приводится к нормальной форме у Ау+]в(у), где ряд гв состоит из одних резонансных мономов. Если собспменные числа линейной части оператора А по модулю все меньше (все больше) единицы, то голоморфное отображение х Ах+ ... биголоморфной заменой приводится к полиномиаль- нвй нормальной форме из одних резонансных членов.
, В резонансном случае метод Пуанкаре обычно используется для приведения к нормальной форме конечного числа членов ряда Тейлора отображения в неподвижной точке. Пример. рассмотрим отображение ]О' в себя с неподвижной точкой О, с собственным числом А, являющимся корнем степени л из единицы. Такое отображение приводится подходящим выбором координаты к виду ' х»-» ]сх+ сх""'+ О ( ] х ]а"+з). Например, если А= — 1, то отображение приводится к виду х ~- — х+ схз+ О ( ] х ]а ). 3та формула позволяет исследовать устойчивость неподвижной точки вещест- венного отображения.
Действительно, квадрат отображения имеет внд хь- х — 2схз+О(]х]а), Следовательно, если с) б, то 'неподвижная точка О нашего отображения устойчива. Таким образом, первые несколько шагов метода Пуанкаре позволяют ис- следовать устойчивость неподачжной точки в сомнительном по линейному при- ближению случае. $ 26. Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами Одним из вариантов, метода нормальных форм Пуанкаре является редукция к простейшему виду уравнения с периодическими коэффициентами. А.
Нормальная форма линейного уравнения с периодическими коэффициентами. Рассмотрим линейное уравнение с комплексным фазовым пространством 2=А (()х, где комплексный линейный оператор А(г); С" ~-С" зависит от г 2п-периодически. Оператором монодромии называется линейный оператор М: С"-»(ы", переводящий начальное условие при с= О в значение решения 'с .этим' начальным,усаовием при г = 2п (отображение монодромии определено не только для линейных уравнений, иодля любых уравнений с периодическими коэффициентами; в этом более общем случае отображение монодромии обычно называется отобра- НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ [ГЛ. 6 ясением (нли функцией) последования Пуанкаре, или просто ото- бразкением Пуанкаре).
Теорема Флоке. Если оператор монодромии диагонален, и 1А,=е — его собственные числа, то исходное линейное уравне- ние с периодическими козффициенпшми приводится к уравнению с постоянными козффициентами У =лу, где Л вЂ” диагональный оператор с собственными числами А„посред- ством линейной 2я-периодической замены х= В (1)'у. 4 Рассмотрим линейный оператор, переводящий начальное усло- вие исходного уравнения при 1=0 в значение решения с этим начальным условием в момент 1. Обозначим этот оператор через й'.
С"-+ С". Через )т: С" -+ С" обозначим аналогичный оператор для уравнения у=Лу. Тогда йь= ~'= Е, дз" =~ =М вЂ” оператор монодромии (ввиду выбора Л). Положим В(1)=й'()т)-'. Оператор В (1) определяет искомую замену. )Р Замечая не. Доказательство теоремы Флаке использовало только представление оператора монодромии в виде М =ее"А.
По- этому периодической заменой переменных приводится к уравнению с постоянными коэффициентами не только комплексное уравнение с диагональным оператором монодромии, но всякое уравнение, для которого оператор монодромнн имеет логарифм. Всякий невырожденный комплексный" линейный оператор имеет логарифм (в этом легко убедиться, записав матрицу оператора в жордановой форме). Следствие 1. Всякое комплексное линейное уравнение с 2п- периодичгскими коэффициентами приводигпся к уравнению с по- стоянными коэффициентами 2п-периодической линейной заменой переменных.
Вещественный линейный оператор не всегда имеет вещественный логарифм, даже если его определитель положителен (определитель оператора монодромии всегда положителен). Действительно, рас- смотрим, например, линейный оператор на плоскости с собствен- ными числами ( — 1, — 2). Если этот оператор является экспонен- той другого линейного оператора, то собственные числа этого последнего — комплексные, но не комплексно сопряженные числа. Поэтому наш оператор на вещественной плоскости не имеет веще- ственного логарифма.
С другой стороны, нетрудно проверить, что квадрат веществен- ного линейного оператора всегда имеет вещественный логарифм. Отсюда вытекает Следствие 2. Всчкое вещественное линейное уравнение с2я- перисдическими коэффициентами приводится к уравнению с по- спюянными коэффициентами 4я-периодической . линейной заменой переменных. ч ья эглвивииа с пвэиодичаскими коээаицивнтлми .
179 Обычно удобнее пользоваться комплексной 'приводимостью, чем вещественной с удвоенным периодом. Б. Вывод гомологического уравнения. Рассмотрим линейное уравнение с постоянными коэффициентами у=Лу. Сделаем в этом уравнении 2п-периоднческую по времени С нелинейную замену координат х=у+И(у, С), где Ь вЂ” вектор-функция (или формальный ряд по степеням у) с 2п-периодическими коэффициентами. Лемма.
Если И=О(~у'Г) (или ряд И начинается с членов степени не ниже г), г)2, то Х =Лх+ [ — Лх — ЛИ+ — 1+ ..., где многоточием обозначены члены степени выше г относительно х. 4 Х=(Е+И„)Лу.+Ир=(Е+И„)Л(х — И(х, С))+Ьг+ ... = =Лх+1И„Лх — ЛИ(х, С)+Ь!]+ ...
Ь О п р е дел е н не. Гамолсгическим уравнением, связанным с уравнением с 2п-периодическими коэффициентами у=Лу, назы- вается уравнение относительно 2п-периоднческого по С векторного поля И 1лЬ+И~ = о, где о заданное 2п-периодическое векторное поле, (Е„И) (х, С) = — Лх — ЛИ (х, С) . Мы будем также рассматривать случай, когда Ь и а формальные ряды с 2п-периодическими по С коэффициентами. В. Решение гомологического уравнения.
Пусть сперва о и И вЂ” ряды Тейлора — Фурье о (х, С) = Х о,ь, ь,, х е'и е„И = Х И,„к, х"' е'и е,. Формальное решение гомологического уравнения дается формулой ст. ь ю -. ' = и+(м,' ь) а, где Ьс †собственн числа оператора Л. Условие резонанса:, 3.,=(т, Х)+СИ, тс~О, ~,'тс~2, — со(Ь(+со, 1(в(п, 1 (гл, 'в 180 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Если для данных лг, з резонанса нет, то ряд Фурье ~,"й,а,,е'"' и его производная по г сходятся. Поэтому в отсутствие резонансов гомологическое уравнение разрешимо в классе однородных многочленов с 2п-периодическими по ( коэффициентами, а значит и в классе формальных степенных рядов с 2п-периодическими по г коэффициентами.
Если же резонанс имеет место, то гомологическое уравнение формально разрешимо в случае, когда ряд Тейлора — Фурье для о не содержит резонансных членов, т. е. когда обращаются в нуль коэффициенты п а,, для тех членов ряда, для которых выполнено условие резонанса А,,= И+ (лт, А). Г. Формальная нормальная форма. Действуя 'Обычным способом, мы в нерезонансндм случае приводим уравнение с 2п-периодическими формальными коэффициентами к линейному уравнению с постоянными коэффициентами у=Лу посредством замены переменной, имеющей вид формального ряда по у с 2л-периодическими по г коэффициентами.
В резонансном случае мы приводим уравнение к виду у=Лу+ти(р, (), где та — формальный ряд по степеням у .с 2п-периодическими по г коэффициентами, состоящий из одних лишь резонансных членов (заметим, что резонансные члены любого фиксированного порядка по у содержат лишь конечное число гармоник Фурье, так как условие резонанса Х, = (лг, А)+ Й однозначно определяет й). Практически используется обычно лишь нормализация членов невысокого порядка.
П р и и е р. Рассмотрим уравнение с 2и-периодичрскими коэффициентами. Предположим, что размерность фазового пространства л равна 2 и что оба собственных числа оператора монодромии комплексны и равны по модулю единице. Линеаризоваиное компяексифицированное уравнение в подходящей системе координат имеет вид а=лег (как обычно, уравнение для г, как сопряженное с выписанным, опуснается).
Собственные числа; лаз=.+- (ы. Резонансные члены в уравнении для й опре деляются из условия Рй+ (щт — щз — 1) ио О. Если вещественное число ы иррационально, то е=о, щг=щ +!. Следовательно, уравнение приводится к не зависящей от времени формальной нормальной форме я=ног+стг)г,"+с г)гр-(-.... Настоящей (не формальной) заменой переменной можно привести уравне. иие, например, к виду д=ьвг+сгг ',г,'+..., 'й га) уРАВнение с периодическими кОЗФФициентАми 181" где (2п-периодическая) зависимость от / сохранилась лишь в членах 5 порядка малости по г, обозначенных многоточием.
Заметим, что вэтом случае каждый шаг метода Пуанкаре сводится к усреднению по Г и агйг, и что полученное уравнение инвариантно относительно. сдвигов Г и поворотов г. Д. Случай соизмеримости. Предположим теперь, что в предыдущем примере число ю рационально,. ы=р/д.
В этом случае из уравнения для резонансных членов получаем А=рг, щд — -юг+1 — Ег. Для исследования нормальной формы удобно рассмотреть о-листное накрытие вдоль оси времени. Заметим, что интегральные кривые линейной части нашего уравнения образуют слоение Зейферта типа (р, В) (ср. й 21). На пространстве д.листного накрытия интегральные кривые образуют тривиальное расслоение, и мы можем ввести координаты прямого произведения.
Координату вдоль слоя мы будем обозначать через Г(шов 2пе). Координата на базе, ь, определяетсяиз условия г=е™(. В этих обозначениях линейная часть нашего уравнения принимает вид ь =О,- а нормальная форма — внд не зависящего Г формального ряда аз=~ юж ддьь~д.
где А — /кп! шов ф Иными словами, на базе с-листного накрытия получается (формальное) уравнение, инвариантное относительно вращений на угол 2п/д. Если вместо полного формального приведения ограничиться нормализацией несколькия первых членов ряда, то мы получим для ь уравнение с 2пд-перио-. дическим по времени остаточным членом порядка в+1: С=(п ((Г Р)+бич-д+.... В этом случае кажда(й шаг метода Пуанкаре сводится к усреднению вдоль. слоения Зейферта, поэтому полученное уравнение инвариантно относительно сдвигов Г и поворотов Ь на углы, кратные 2п/Е.
Исследование получившихся уравнений проведено в гл. б. Е. Обсуждение сходимости. Область Пуанкаре для уравнения с периодическими коэффициентами х — Лх+... определяется условием: все собственные числа линеаризованного уравнения лежат в левой полуплоскости КеЛ((Г (либо все в правой). В этой области 1) резонансные плоскости (Л: Л,=(т, Л)+(/г) лежат дискретно; 2) нормальная форма при резонансе содержит лишь конечное число членов; 3) ряды Пуанкаре сходятся. Дополнение к области Пуанкаре образует область Зигеля. В области Зигеля 1) резонансные плоскости образуют всюду плотное множество; 2) нормальные формы могут содержать бесконечное число членов; 3) ряды Пуанкаре могут расходиться. Однако для почти всех (в вжысле лдеры Лебега) наборов собственньдх чисел Л оператора Л голожорфное 2п-периодическое по ! дифференг(паленое уравнение х=Лх+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
