1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Выполним обычную подстановку доказательства теоремы Пуанкаре, х = у+ й (у). Тогда в исходном уравнении исчезнут ' все члены степени г, кроме резонансных, которые не изменятся. Уравнение примет вид у = Ау+ ш. (у) + где ш, состоит лишь из резонансных членов. 169 РЕЗОНАНСНЫИ СЛУЧАИ ч хз) Следующие шаги проводятся таким же образом. Оставшиеся резонансные члены ге, не влияют на гомологическое уравнение, которое мы решаем, и не меняются при следующих заменах. Действительно, при подстановке у=г+д,(г) уравнение у = Ау+ и~в (у) + ... + гв, (у) + ... превращается в г=Аг+гиз(г)-(- ... ) и~з,( )+г,„( ) скобка Пуассона и~а с д, имеет уже степень з+1.
Таким образом, все нерезонансные члены степени з убиваются выбором л, и доказательство заканчивается так же, как и в не- резонансном случае, ~ В. Примеры. Практически теорема Пуанкаре †Дюла используется обычно для того, чтобы выделить резонансные члены невысокого порядка и отодвинуть возмущение до членов неноторого конечного порядка, т. е. чтобы привести уравнение к виду 2=Ах+в (х)+о ( ( х )и), . (где ю — многочлен иа резонансных мономов) уже не формальной, а настоящей заменой переменных (если угодно.
полиномнальной). Пр и мир 1. Рассмотрим векторное поле на плоскости с. особой точкой 'типа узел с резонансом А,=2)ч.' Теорема Пуанкаре — Дюлака позволяет (формалЪно) привести уравнение к нормальной форме хг = Х,хг+ сх'„ ( Х, АзХз. В этом случае нормальная форма поликомиальная, тая как резонансных членов конечное число (всего 1). Пример 2. Рассмотрим векторное.поле на плоскости (сз с особой точкой с чисто мнимыми собственнымр числами Аь э — — -~- йо (центр по линейному приближению). Перейдем к собственному базису. Собственные'векторы можно взять комп.
лексно сопряженными. Координаты на С~ в базисе из комплексно сопряженных венторов принято обозначать через г, г (зти числа действительно сопряжены лишь на вещественной плоскости (сз ~ Сз). Наше дифференциальное уравнение на йэ задает на 1'э уравнение, которое можно записать в виде г )х( ..., г-Ад+ ... (многоточие означает ряд по степеням а и г). Поскольку второе уравнение получается из первого сопряжением, его можно не писать.
Имеется резонанс Хт+3 =О. По теореме Пуанкаре — Дюлака, наше уран. пенне приводится к виду 1 =)4+ с( ~ ~ ~э+ О ( !» ~Ь) асластаснлой заменой переменной(см. замечание т.л п. д й 23). Следовательно, ~ 2р — гладкая вещественная функция на 11з. Для неа (гз)'=ЬЬ+ээ=(2 Пес) та+О (гз). 170 (гл. в НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Если вещественная часть с отрицательна (соответственно положительна), то положение равновесия устойчиво (соответственно неустойчиво). ' Таким образом, первые несколько шагов метода Пуанкаре дают метод решения вопроса об устойчивости особой точки, нейтральной в линейном приближении.
При этом совершенно несущественно, можно ли продолжать построение дальше и сходится ли вся процедура в целом, важно лишь, чтобьг величина «нелинейного декрементаэ нес была отлична от яуля. 3 а м е ч а н и е. Обобщением теоремы Пуанкаре является одна общая теорема теории алгебр Ли — так называемая теорема Э. Картана о репликах, обобщающая также теорему о жордановой нормальной форме.
Рассмотрим конечномерную алгебру Ли. Пусть и — элемент этой алгебры Лн. Коммутирование с этим элементом определяет линейный оператор из пространства алгебры Ли в себя, о«-~ (и, о). Элемента называется полулростим„ если оператор коммутирования с и днагонализуем (имеет собственный базис). Элемент и называется нилвпошентным, если оператор коммутирования с и нильпотентен (т.
е. все собственные числа этого оператора равны нулю). Теорема о репликах утверждает, что каждый элемент алгебры разлагается (н притом единственным образом) в сумму полупростого элемента о и коммутирующего с ним инльпотентного элемента )т': и=з+АГ, 8«у=дго. Элементы Ю.и а) называются репликами элемента и. (В теории жордановой нормальной формы о — оператор с диагональной матрицей, а )у — сумма ннльпотентных жордановых клеток.) В алгебре Ли струй векторных полей с особой точкой О полупростые поля — зто поля, которые в подходящей системе координат линейны и задаются диагональной матрицей. Нильпотентное поле состоит из нильпотентной линейной части и членов высшей степени. условие коммутирования о н ЛГ оаначает как раз, что в нелинейной части поля в указанной системе координат могут присутствовать только резонансные члены.
Теорему Пуанкаре †Дюла можно было бы вывести из указанной общей теоремы о репликах (которую нужно применять к конечномерным алгебрам Лн струй векторных полей в нуле). и 24. Области Пуанкаре н Энгеля При исследовании сходимости рядов Пуанкаре, построенных в предыдущих параграфах, в зависимости от расположения собственных чисел на плоскости комплексного переменного существенно различаются два случая. А.
Резонансные плоскости. Рассмотрим комплексное и-мерное пространство всевозможных наборов собственных чисел С"= ()ь= ()«„ " , ~;)). Определение. Гиперплоскость в С", заданная целочисленным уравнением Х,=(т, Л) ть)0, ~та)2 называется резонансной плоскостью. Изменяя целочисленный вектор т и номер з, мы получим счетное число резонансных плоскостей. Посмотрг(м, как расположено все множество резонансных плоскостей в пространстве соб- оалксти пукнкАРа и ангеля 171 ,саженных чисел ч'". Оказывается, в одной части С резонансные плоскости Лежат дискретно, а в другой †всю плотно. О п р е д е л е н и е.
Набор собственных чисел Х принадлежит .области Пуанкаре, если выпуклая оболочка и точек (Х„..., Х„) на плоскости одного комплексного переменного не содержит нуля. Набор собственных чисел Х принадлежит области Зигеля, если нуль лежит внутри выпуклой оболочки и точек (Х, ..., Х„).
Замечание. При п»2 области Пуанкаре и Зигеля открыты н разделены конусом. При я=2 область Зигеля имеет вещественжую коразмерность 1 в С', Б. Резонансы в области Пуанкаре. Предположим„что набор собственных чисел Х принадлежит юбласти Пуанкаре. Т е о р е м а 1. Каждая точка области Пуанкаре удовлетворяет ме более чем конечному числу резонансных соотноиыний Х,=(т, Х), )т~~2; т,==:О и имеет окрестность, не пересекающуюся с другими резонансными плоскостями. Иными словами, резонансные плоскости лежат в области Пуанкаре дискретно.
4 Согласно определению, на плоскости комплексных чисел существует вещественная прямая, отделяющая набор собственных чисел от нуля. Рассмотрим ортогональные проекции собственных чисел на нормаль к этой прямой, направленную от нуля. Все эти проекции не меньше, чем расстояние отделяющей прямой от нуля. Но коэффициенты т~ резонансного соотношения неотрицательны.
Следовательно, прн достаточно большом ~т~ проекция (т, Х) на нормаль будет больше наибольшей проекции собственного числа на нормаль к отделяющей прямой. > Теорема 2. Если собственные числаХ линейной части поля о в 0 лежат в области Пуанкаре„.то даже в резонансном случае поле формальной заменой переменных приводится к полиномиальмой нормальной форме. 4 Согласно теореме 1, число резонансных членов конечно, так что теорема 2 вытекает из теоремы 1 и теоремы Пуанкаре — Дю.лака. э Замечание. В области Пуанкаре резонанс возможен только в случае, если одно из собственных чисел с неотрицательными коэффициентами выражается через остальные, не считая его самого, т.
е. если Х,=(т, Х), тот,=О. Действительно, если т,.»О, то О = (т, Х) — Х, имеет положительную проекцию на нормаль к отделяющей прямой. В. Резонансы в области Зигеля. Предположим теперь, что набор собственных чисел Х прннщ~- .лежит области Зигеля. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ [Гл. э Теорема 3. В области Зигеля резонансныеплоскости лежат всюду плотно. 4 Точка О лежит либо внутри некоторого треугольника с вершинами '(Л„Л„Л,), либо на отрезке (Л„Л,). В первом случае рассмотрим угол с вершиной О, образованный' линейными комбинациями чисел Лт и Л, с вещественными неотрицательными коэффициентами.
Отрицательные кратные числа Лз лежат в этом угле. Разобъем угол на параллелограммы с вершинами в целочисленных линейных комбинациях чисел Л и Л,. Пусть г( — диаметр такого параллелограмма. Для любого натурального числа У число — й/Лг лежит в одном из наших параллелограммов. Следовательно, оно лежит не далее г( от одной из вершин, так что ! УЛг+ тгЛг+ т,Л, (-( А Из этого неравенства следует, что расстояние От нашей точКи Л до резонансной плоскости ЛФ =т,ЛА+тзЛ,+ (Л/ + 1) Л, не превосходит г(/й/. Итак, теорема доказайа, если нуль лежит в 'треугольнике.
В случае, когда О лежит на отрезке между Л, и Лз, существуют сколь угодно большие целые р, и р, с ~ р,Лт+р,Л, ~ ч--й. Это дает резонансную плоскость на расстоянии меныпе фр) от Л.э Определение. Точка Л=(Л„..., Л„) енч/" называется точкой типа (С, т), если при любом з !Л,— (т, Л) /)С/)т!ч для всех целочисленных векторов т с неотрицательными компонентами ть ~ щ = ~ т ~ ~ 2. Теорема 4. Мера множества точек, не являюи(ихсл ни при каком С»О точками типа (С, т), равна нулю, если Р) (и — 2)/2. 4 Зафиксируем шар в С" и оценим меру не (С, т)-точек в нем. Неравенство, входящее в определение, определяет окрестность резонансной плоскости ширины не более С,С/~ т ~"'. Поэтому мера части этой окрестности, попавшей в шар, не превосходит С,С'/~ т ' "+'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
