1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 37
Текст из файла (страница 37)
А. Слоение' Зейферта. Слоение Зейферта представляет собой разбиение прямого произведения РхЯ' на окружности, которое строится следующим обраРассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве цилиндр с горизонтальными основаниями и вертикальной ось . сью. Разобьем УСРЕДНЕНИЕ В СЛОЕНИН ЗЕИФЕРТА ч н1 внутренность цилиндра на вертикальные отрезки. Отождествим верхнее и нижнее основания цилиндра, предварительно повернув верхнее основание на угол 2нр/д (мы склеиваем точку (е, 0) нижнего основания с точкой (Аг, 1) верхнего, где А — поворот на угол 2нр/д, р и д взаимно простые целые числа).
Определение. Слаением Зейферта типа (р, д) называется трехмерное мнопюбразие Р х З1 вместе с его разбиением на окружности, полученным из разбиения внутренности цилиндра на отрезки, параллельные оси, при склейке оснований с поворотом на угол 2пр/у. Таким образом, каждая из окружностей слоения Зейферта получается склейкой а отрезков, за исключением одной, центральной окружности, полученной из оси цилиндра. Рассмотрим д-листное накрытие пространства Йехие' слоения Зейферта типа (р, а).
Накрывающее пространство само диффеоморфно Р х 5'. Слоение Зейферта в исходном многообразии индуцирует Я на накрывающем многообразии разбиение на окружности. Это разбиение можно рассматривать как слоение Зейферта типа (р, 1). (Склейка производится теперь с поворотом на угол 2нр.) Слоение Зейферта типа (р, 1) является уже расслоением на окружности, и притом — прямым произведением.
Прн накрытии каждая окружность исходного слоения Зейферта диффеоморфно накрывается д окружностями, кроме одной, центральной окружности, накрываемой а-листно (рис. 99). Б. Определение усреднения в слоенин Зейферта. Предположим, что в пространстве ИхЮ'слоения Зейферта дано векторное поле. Тогда в накрывающем расслоении также определяется векторное поле. Каждый вектор поля можно спроектировать на.базу Р накрывающего расслоения. Усредним полученный вектор на базе вдоль слоя накрывающего расслоения. Мы получим в каждой точке базы определенный вектор.
Таким образом мы определили на базе векторное поле. Описанная операция построения из поля в пространстве слоения Зейферта поля на плоскости называется усреднением исходного полл вдоль слоения Зейферта. Иными словами, усреднение вдоль слоения Зейферта типа (р, д) определяется как обычное усреднение в накрывающем его а-листном расслоении. В. Свойства усредненного поля. При усре)гнении в обычном расслоении на базе может получиться любое векторное поле.
При усреднении в слоении Зейферта на базе получается векторное поле со специальными свойствами: например, в центральной точке вектор усредненного поля обязательно обращается в нуль, если д) 1. ТЕОРИЯ ВОЗМРЩЕНИИ [гл. 4 Теорема.
В резулыпате усреднения вслоении Зейферта типа (р, д) получается поле, инвариантное относительно поворота плоскости на угол 2п/д. 4 Реализуем базу как одно из оснований исходного цилиндра. Тогда усреднение в слоении Зейферта превращается в усреднение по о отрезкам, параллельным оси цилиндра, При повороте на угол 2п/о эти о отрезков переходят друг в друга. Теперь легко видеть, что усреднение коммутирует с поворотом на угол 2п/д (после поворота приходится усреднять по тем же отрезкам, лишь в другом порядке).
э Г., Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение г=!мг+е/(г, !), где ге=С, ! — комплексная (не обязательно голоморфная) -функция, имеющая период 2п по вещественному времени (, е — малый параметр. Уравнение, отвечающее Е=О, будем называть невозмуи!енным. Предположим, что частота невозмущенного движения а рациональна или близка к рациональному числу р/о.
Интегральные кривые невозмущенного уравнения с ь»=р/о образуют в С х 3' — (г, ! шод 2п) слоение Зейферта типа р/д. После усреднения вдоль этого опоения получается усредненное уравнение г =еР (г), где векторное поле Р переходит в себя при повороте плоскости переменной г на угол 2п/д. Д. Коэффициенты Тейлора симметричного поля. Будем задавать векторное поле на плоскости одной комплексной переменной г комплексной (не обязательно голоморфной) функцией Р. Ряд Тейлора комплексной функции Р по переменным х, у (где г =х+!у) можно записать в виде 'ряда Тейлора по переменным г, г. Запишем' этот ряд в виде ~ Р», ~г»г'.
П р е д л о ж е н и е. Если поле Р инвариантно относительно поворота на угол 2п/о, то из коэффициентов Р»,, отличны от нуля лишь те, для которых й — ! сравнимо с 1 по модулю о. 4 Ряд Тейлора единственен. Поэтому каждый член ряда определяет векторное поле, инвариантное относительно поворота. Вектор г»г' при повороте г иа угол 2п/д поворачиваетси на угол (й — !) 2п/д. Этот поворот есть поворот на угол 2п/у если и только если й — ! сравнимо с 1 по модулю о, Ь" 16! УСРЕДНЕНИЕ В СЛОЕНИИ ЗЕЯФЕРТА $211 Рассмотрим квадрант решетки целых неотрицательных точек (й, 1)1 Отметим те из них, для которых й — ! сравнимо с 1 по модулю д. Среди отмеченных точек всегда будет точка (1,0) и все целые точки 1ла йрямой, выходящей из этой точки параллельно биссектрисе квадранта.
Эти точки соответствуют поляы г Ф (~(г ~2), инвариантным относительно поворота на любой угол. Среди отмеченных точек всегда будет точка (О, д — 1). Эта точка соответствует полкг ~4-1, инвариантному относительно поворота на угол 2п/д. Все отмеченные точки образуют серию лучей, параллельных биссектрисе, начинающихся в точках (О, л2д — 1) и (л2д+1, 0) на сторонах квадранта.— Е. Случай симметрии порядка 3. Рассмотрим векторные поля, инвариантные относительно группы симметрий 3 порядка (т.,е. рассмотрим случай д= 3). Мономы наименьшей степени в ряду Тейлора поля, симметричного относительно поворота на 120', даются отмечевпымн точками плоскости (й, 1) с наименьшими л + 1. Два первых монома — это г и дн. Таким образом, каждое поле на плоскости, инвариантное относительно поворота на угол 2я/3, имеет вид г (г) =аг+Ьгл+0(1Е!2).
Отбрасывая последнее слагаемое, мы получаем простейшее дифференциальное уравнение с симметрией порядка 3 2 аа+ Ьдн. Здесь коэффициенты а, Ь и фазовая координата г комплексны. Предположим, что аФО, ЬчьО, умножая г на число и меняя единицу времени, можно добиться Ь=1, ~а~=1. Изменение фазового портрета при а =е"Р, Ь = 1 показано на рис.' 100. При любых а имеется 4 положения равновесия в вершинах равностороннего треугольника и в его центре. При чисто мнимых а система гамильтонова. Чтобы ис- и: следовать систему при любых а, " " 4 достаточно заметить, что она всег- Рис.
100. да получается из этой гамилььгоновой системы формальным умножением переменных г и 1 на комплексные числа (т. е. поворотом и растяжением плоскости г и поворотом гамильтонова поля на постоянный угол). Ж. Учет отброшенных членов. Попытаемся теперь учесть отброшенные члены 0(~а ~2). Предположим, что ~а~ мал (это соответствует тому, что в исходной 6 в,и. Арнольд 1Б2 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ (гл. 4 системе дифференциальных уравнений почти имел место резонанс третьего порядка). Тогда радиус треугольника особых точек также мал (имеет порядок ~а~).
Рассмотрим наше симметричное векторное поле в окрестности точки г=О, которая велика по сравнению с ~а~, но все же мала (по сравнению с 1). В такой окрестности отброшенные члены 0(~ г ~') малы по сравнению с оставленными. Из этого нетрудно вывести, что их учет не изменит в существенном вида фазового портрета, если он был структурно устойчивым. В нашем случае фазовый портрет структурно не устойчив лишь при чисто мнимых а, когда система гамильтонова. Гамильтоновость не сохраняется при учете отброшенных членов. Для всякого луча плоскости комплексной переменной а, не идущего по мнимой оси, при достаточно малых ~а~ ~ 0 вид фазового портрета полной системы (при условии Ь ~ О) в окрестности начала координат, малой по сравнению с 1 и большой посравнению с ~а), будет таков, как указано на рис.
100, уча Й/2. Исследование перестройки фазового портрета при прохождении точки а через мнимую ось составляет специальную задачу, к которой мы'вернемся в главе 6. В случае общего положения перестройка определяется еще одним членом ряда Тейлора: все происходит так же, как для уравнения г=аг+г'+сг ~ г)', где йесФО. 3. Применение к исходному уравнению. Проведенный анализ усредненного уравнения дает значительную информацию об исходной системе в случае, когда параметр е достаточно мал.
Не останавливаясь на обосновании, приведем лишь перевод полученных результатов на язык фазовых кривых исходного уравнения. Три положения равновесия в вершинах равностороннего треугольника соответствуют одной замкнутой интегральной кривой исходного уравнения. При стремлении к нулю разницы между частотой невозмущенного движения в и резонансной частотой р4= 1/3 эта замкнутая кривая сливается с исходной замкнутой кривой, трижды обойдя вдоль нее. Устойчивость положений равновесия усредненной системы интерпретируется как устойчивость периодических решений возмущенной, и т.
д. Существенная разница возникает лишь в одном месте, а именно в случае, когда усредненная система имеет сепаратрису, идущую из седла в седло. В возмущенной системе седлам соответствует замкнутая кривая, а входящей и выходящей сепаратрисам — притягивающееся и отталкивающееся инвариантные миопюбразия этой замкнутой кри- 10З УСРЕДНЕНИЕ В СЛОЕНИИ ЗЕЙФЕРТА 5 311 вой. Но если в усредненной системе сепаратрисы при пересечении сливаются, то в возмущенной системе это, вообще говоря, не так.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
