1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда расстояние между значением решения усредненного уравнения 1 (1) и 1-компонентой решения возмущенного уравнения 1(1) с 1(0) = 1 (О) остается малым в пмчение времени 1ен [О, Т1г) если е доспиипочно мало: !1(1) — 1(1) /(Се, где постоянная С не зависит от е. Б. Основная конструкция. Основная идея доказательства теоремы состоит в том, чтобы постараться уничтожить возмущение при помощи подходящей замены переменных. Эта идея имеет много приложений (см., например, предыдущую и следующую главы) и является основой всего формального аппарата теории возмущений.
Выберем вместо 1 новую координату Р=1+е1«(1, «р) так, чтобы Р-компонента решения перестала осциллировать. Для этоп> в правой части уравнения для Р мы хотим уничтожить члены порядка е, зависящие от «р. Иными словами, мы постараемся построить диффеоморфизм многообразия М, (1, «р) (Р, «р) так, чтобы возмущенное поле перешло в поле, имеющее на каждом слое почти постоянную (с точностью до ошибки порядка е') проекцию на базу. Дифференцируя Р=1+еЬ(1, «р) по времени и собирая члены первого порядка по е, мы получаем Р = е (у+ «» д)«1д«р)+ г, где аргумент в у функции д заменен нулем; остаток г (как мьь 139 УСРЕДНЕНИЕ В ОДНОЧАСТОТНЫХ СИСТЕМАХ $ !71 ниже проверим) есть величина второго порядка малости относительно е. Постараемся выбрать Ь так, чтобы уничтожить члены первого порядка по е, т.
е. чтобы квадратная скобка обратилась в нуль. .Мы получаем формально Ь(г ф)= — „<~ а(у ф О) И. 1 ~Здесь исг(ользуется условие теоремы озчьО.) В действительности "такой способ решения уравнения аг+отдЬ!дф=О незаконен, так как функция Ь должна быть 2п-периодической по ф, чтобы отображение (1, ф)» (Р, ф) было определено на М. Предыдущая формула определяет функцию'Ь на окружности (а не на накрывающей ее прямой), лишь если среднее значение функции д по окружности равно нулю. Таким образом, выбор Ь позволяет уничтожить не все возмуз щение аг, а лишь его осциллирующую часть йУ, р, О)=ар, р, О) — ВЩ.
Среднее по периоду функции д уже равно нулю, и мы можем определить периодическую функцию Ь формулой ЬУ, ф)= — — „'„, ~У, ф, О)дф. (1) Теперь для Р получается уравнение )ч = еб (Р) + етч. Это уравнение малой величиной ЕЯ порядка е' отличается от усредненного уравнения й =еб(1). й1оэтому решения расходятся со скоростью порядка е' и, следовательно, за время 1/а разойдутся на расстояние порядка е; Отличие Р от т есть также величина порядка е. Поэтому и расстояние между г (1) и г'(1) остается величиной порядка е в течение времени порядка 1/е.
Доказательство этого утверждения требует еще проведения ~простых) оценок отброшенных выше членов. ' В. Оценки. 1'. Обозначения. Пусть К~. — компактная выпуклая область, содержащая точку 1е. Мы предполагаем, что й (О не выходит на границу К в течение времени т)е. Будем обозначать через ) ~е и ~ Ь нормы в пространствах Се а Сз (максвмум модуля функции и максимум модулей функции н ее первой ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [Гл.
о производной). Обозначим череа ст такую постоянную, что для 1 нз К [1)1(си )й[[~сю )ю г[а(см 2'. Докажем, что отабражение А: (1, ~р)»-ь (Р, ~р) — диффсоморфиэм К1СЗг при досшаоажно малых е. ч[ Из определения Ь (формула 1) следует, что ЛщОл. Значит [аЬ[т<1 прн достаточно малых е. Если бы две точки прн отображении А перешли в одну, разность значений еЬ в этих точках была бы равна разности значе- ний 1; это противоречит неравенству [ вЬ[1 ~ 1, так как область К выпуклая.
Из [зЛ[1 ( 1 вытекает также, что А локальный днффеоморфнзм. Итак, А— днффеоморфизм. )» 3'. Оценка величины й. Имеем й(Р(1, Ф, е), ~р, е)=йт+йз+йа+йл+йз, й,=я (1, р, О) -я (Р (1, р, е), р, О), йз=я (1, р, з) -я (1, р, О), йз=Ь(1, ~р) — Ь(Р(1, р, е), ~р), йл=ея(1, ~р, е) дЬ1д1, йз=з1(1, ~р, е) дЛ/дср. Предположнм, что 1 н Р(1, ~р, е) принадлежат К. Тогда, поскольку Р=1+вЬ(1, ~р), )йт((е[й[1)Ь)е, [йз[~з)й[1 )йз(~е(Ь[;)Л[„ (йа(~в[Ь!,)й)з, )йз((а[Ь!1[1)о. Входящие сюда нормы 1, й н Ь оцениваются через ст. Окончательно, еслн 1 и Р (1, ~р, е) принадлежат К, то (й(Р (1, ф, в), ~р, в) ) (сзз, где сз (ст) ) 0 — не зависящая от 1, ~р, в постоянная.
4'. Оценка Р (Г) — 1 ([). Обозначая штрихом производную по медленному временк т ву, мы полу чаем, что Р н Х удовлетворяют соотношениям Р'=О (Р)+ай(Р, ~р([), е), 1'=С(1). Следовательяо, Р— 1 Е удовлетворяет неравенству [б| ~о[Я[+Ь, где а [6(В Ь сзв, до тех поР, пока'Р, 1 и Х остаютсЯ в областн К. Обозначям )Е(0)( с. Решая уравнение г' аг+Ь с начальным усло- вием с, получаем оценку ~г(т) ~ а«+Ьт) пока Р; 1, 1 остаются в области К.
б'. Окончание дскозапмласкма жсорсиы п. А. чй Обозначим через сз велнчнну [Ь[е. Тогда ) Р(1, ць е) — 1)(с,в. В то же время доказанная выше оценка дает (Р Я вЂ” 1(Г) )~соле, с, (с,-[-с,т) евт при егщ-'Т, пока 1([), Р (г)=Р(1(г), <р(г), е) и 1(г) остаются в К. Обозначим через р расстояние от траектории усредненного движеннм «,1(1), е1~Т) до границы К.
Если (се+се)в.ср, то, согласно предыдущим оценкам, 1(1), Р(1) и 1(1) не могут выйти на границу К прк ст(Т. НО тогда в течение всего этого времени [ 1 (Г) — 1 (Г) [ ( ( 1 (Г) — Р (1) /+ ( Р (Г) — 1 (Г) [ ~ сев+сев. ~ 143 ясяядняння в многочастотных систямах Г. Пример. Уравнением Ван-дер Поля называется уравнение 2= — х+е(1 —.х') Х. Это уравнение маятника, в котором добавлено нелинейное »трение», положительное при больших амплитудах и отрицательное при малых. Невозмущенное уравнение 2= — х можно записать в стандартном виде ф= — 1, 1=0, где ~р=агд(х+1х), 21=х»+х».
Уравнение для 1 в возмущенном движении имеет вид 1 = е (1 — х') ха= 2е1 (1 — ' 21 соз» ~р) з(п» <р. Усредненное уравнение, следовательно, есть .) = е (1 — 1»12). Это уравнение имеет отталкивающее положение равновесия 1=0 и притягивающее 1=2. Положения равновесия уравнения для 1 соответствуют циклам возмущенной системы.
Доказанная выше теорема позволяет утверждать, что изменение 1 в возмущенной системе близко к измене- Ф нню 1 в усредненной системе в течение времени порядка 11е. Но если усредненная система имеет невырожденное (например, устой- а чивое по первому приближению) положение равновесия, то возмущенная система (при достаточно ма- Рис. 94. лых е) будет иметь невырожденный (например, устойчивый по первому приближению) цикл; это легко следует из теоремы о неявной функции. В частности, уравнение Ван-дер Поля при малых е имеет устойчивый предельный цикл, близкий к окружности х'+ х'= 4 (рис.
94). $18. Усреднение в многочастотных системах Многочастотный случай изучен гораздо хуже, чем одночастотный. В этом параграфе содержится обзор основных результатов в этой области. А. Резонансные поверхности. Рассмотрим обычную возмущенную систему метода усреднения ф=в(1)+ег(1, <р, е), ~рея Т", еч~~1, е»чьО, 1 — ея (1, ~р, е) 1 я В ~ Р. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ !гл. 4 Вектор частот а=(м» ..., в„) называется резонансным, если существует целочисленный ненулевой вектор т=(в„..., т„), для которого (т, в) =О. Целочисленный вектор т называется номером резонанса, Точка 1 нз базы В называется резоиаяочой, если вектор е(1) резонансный. Все резонансные точки 1, соответствующие одному резонансу с номером и, образуют в базе В нашего расслоения гнперповерхность Г =(1 енВ: (гл, е(1))*=0» Зта поверхность называется резонансной поверхкостью.
В общем случае как резонансные, так н нерезонансные точки лежат в В всюду плотно (если число частот л) 1). П р и м е р 1. Рассмотрим невозмущенную двухчастотную систему ф,=1,. Е,=1„1=0. Здесь В-плоскость с координатами 1„1, (без нуля, т. к. мы 1 предполагаем, что вчьО); резонансные поверхности — это все прямые, проходящие через 0 с рациональным тангенсом угла наклона к оси 1,.
Как н в этом примере, в общем случае двух- (/ . частотной системы резонансные поверхности обра- зуют, вообще говоря, семейство непересекающихся 95 гиперповерхностей (рнс. 95; вообще говоря = если ранг да1д1 максимален). В этом случае при движении точки 1 по базе зта точка, вообще говоря, трансверсально пересекает резонансные поверхности. Совершенно по другому расположены резонансные поверхности в случае, когда число частот 3 илн больше. П р н м е р 2. Рассмотрим невозмущенную трехчастотную систему ф,=1„Ф,-1,, Ф,=), )'=О. Здесь В-плоскость с координатами 1„1,; резонансные поверхности — это все прямые с рациональными уравнениями.
В этом случае прн движении точки 1 по плоскости эта точка, если и пересекает трансверсально все резонансные кривые, то, во всяком случае, многие из ннх пересекает' под малыми углами, нбо сколь угодно близко к любому линейному элементу имеется линейный элемент резонансной кривой (рис. 96). Замечание. Сказанное станет, быть может, понятнее, если рассмотреть отображение базы в проективное (л — 1)-мерное пространство И: В -~- ЙР", И (1) = (ы1 (1):...: а (1)). зсгвдняниэ в многочаоготных системАх Резонансные поверхности — это прообразы рациональных гиперплоскостей в РР" .
В двухчастотном случае л=2 и резонансам соответствуют рациональные 'гочки на проективной прямой. Если же число частот и ~ 2, то рациональные гиперплоскости образуют связное всюду плотное множество, так что от окрестности любой точки до окрестности любой другой можно добраться по резонансам. В соответствии со сказанным, в двухчастотных системах основным эффектом является прохождение через резонансы, а при большем числе частот обязательно нужно учитывать также касания с резонансами. Б. Влияние отдельного резонанса. Чтобы представить себе возможный эффект одного резонанса, рассмотрим простейшие примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
