1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Положения равновесия этой динамической системы — это стацио- нарные поля скоростей, т. е. такие движения жидкости, для кото-. рых скорость в каждой точке пространства не меняется со време- нем. Циклам этой системы отвечают периодические движения жидкости, в которых скорость в каждой точке пространства меняется периодически. Такое движение можно иногда наблюдать, открывая водопроводный кран.
Гипотеза о математическом описании турбулентности состоит в том, что дело в сущности сводится к конечномерной динами- ческой системе, так как вязкость быстро гасит высокие гармоники. Иными словами, предполагается, что в бесконечномерном фазовом пространстве имеется конечномерное многообразие или множество, к которому притягиваются все фазовые кривые; на самом же этом множестве фазовый поток представляет собой У-систему или обла- даег близкими свойствами экспонеициальной неустойчивости траек- торий и перемешивания.
В таком случае наблюдаемые свойства движения жидкости должны быть такими: при любом начальном условии движение довольно быстро выходит на определенный режим; однако этот режим не является ни стационарным, ни периодическим; хотя пре- дельное движение и определяется конечным числом параметров (ефаз» предельного режима), сами эти параметры крайне неуетой- чивы (предельные течения с близкими начальными фазами экспо- ненциально расходятся); впрочем, статистические характеристики течения от этих неустойчивых фаз не зависят.
В этом направлении пока сделано следующее. Если вязкость достаточно велика, система Навье — Стокса имеет единственную . неподвижную точку, к которой притягиваются все фазовые кривые. Это — т. н. ламинарное движение. Всякое другое течение под воз- действием вязкости со временем стремится превратиться в ламинар- ное. С уменьшением вязкости ламинарное течение может терять устойчивость, причем возникаег устойчивый предельный цикл (см, гл.
6). При дальнейшем уменьшении вязкости может терять устой- чивость и цикл, причем из цикла может рождаться более сложное, непериодическое, притягивающее соседей движение. Ожидается, что это движение будет, вообще говоря, обладать свс~йстром экспонен- циальной неустойчивости фазовых кривых на притягйвающем мно- жестве. Хотя этому вопросу за последние годы посвящено много как теоретических, так и экспериментальных исследований (см., напри- мер, обзор Л. В.
Мс!ацяЬ11п, Р. С. Маг11п, Тгапз(11оп 1о 1цгЬи1епсе о1 а з(а11саНу з(геззед Пшб зуз1еш, РЬуз. Кеч. А 12 (1975), 186 — 203), указанная выше гипотеза еще далека от теоремы. Следует впрочем заметить, что появление притягивающего мно- жества с экспоненциально неустойчивыми траекториями на неы 5 В.
и. Арадлвл, 130 СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ 1гл. з не обязательно связано с потерей устойчивости ламинарного течения: это множество может возникнуть вдали от положения равновесия и даже при таких значениях вязкости, при которых ламинар- нос течение еще устойчиво.
$ 15. Структурно устойчивые. системы не всюду плотны В этом параграфе предъявляется свободная от структурноусгойчивы» систем область в функциональном пространстве гладких динамических систем класса С'. А. Пример Смейла. В 1966 году С. Смейл построил пример диффеоморфизма трехмерного тора, в окрестности которого нет ни одного структурно устойчивого диффеоморфизма. Следовательно на четырехмерном мноюобразии имеется векторное поле, которое нельзя сделать структурно устойчивыми посредством малого шевеления. Позже поля с этим свойством были построены и на трехмерных многообразиях (см.
8. Ь(е~УЬопз, Хопдепз((у о1 Ахюш А(а), 61СЬа! Апа1уз)з, Ргосеед. Яшр. Риге Ма(Ь. АМ6, 14'(1971), 191 — 203). В этом параграфе излагается конструкция Смейла. Б. Описание примера. Введем на Т' координаты (х, у, г шоИ2л). Днффеоморфизм А: Т'- Т' мы определим в онрестностях тора Т'. г = О и некоторого интервала оси г (вид диффеоморфизма А в остальной части трехмерного тора нам не важен). В окрестности 17 тора Тэ отображение А задается формулой А (х, у; г)=(2х+у, х+у; г/2). В окрестности точки О с координатами (О, О, л) отображение А задается формулой А (х, у; л+и) = (х72, у/2; л+ 2и). Таким образом, точка О является седловой, причем выходящее инвариантное многообразие — это кривая у, содержащая интервал (л, л — е) оси г.
Кривая у инвариантна относительно А и растягивается под действием А; таким образом, итерируя А, мы получим из указанного интервала половину инвариантного многообразия, которая либо заканчивается в неподвижной точке преобразования А, либо имеет бесконечную длину. Мы потребуем, чтобы кривая эта входила в область (7, указанную выше, и там имела неограниченную длину. 'Нетрудно видеть, что диффеоморфизмы тора с указанными свойствамн суц1ествуют. $1И СТРУКТУРНО УСТОИЧИЕЫЕ СИСТЕМЫ НЕ ПЛОТНЫ 1з1 В.
Устойчивые свойства диффеоморфизма А. Г. Сужение А на достаточно малую окрестность тора Т» структурно устойчиво. 1 Действительно, зто можно доказать с помощью того же приема, которым мы доказали теорему Гробмана — Хартмана. Заменим диффеоморфизм А: Т'- Т' преобразованием А'. Т' Х Й-» Т' Х Й, заданным всюду той же формулой, которая определяет А в области У.
Близкий к А диффеоморфизм А можно заменить преобразованием А'. Т»хй-»'Т»хй, согласованным с Л в окрестности тора Т'хО так, что разность А' — А' имеет компактный носитель и мала в С'. Теперь мы можем применить теорему Аносова (или, точнее, ее доказательство); получаем топологическую эквивалентность А' с А' и значит А с А в окрестности тора Т'. )ь 2'. Из доказанного следует, что диффеоморфизм А имеет инвариантное многообразие Т', близкое к тору 7"', и на' нем †счетн всюду плотное множество периодических точек.
Через каждую точку окрестности 0 тора Т' проходит однозначно определенный и непрерывно зависящий от точки гладкий слой двумерного сжимающегося слоения диффеоморфизма А (он состоит из точек, сближающихся при итерациях диффеоморфизма). 3'. Преобразование А имеет неподвижную точку О, близкую к неподвижной пючке О преобразования А. 4 Это следует из теоремы о неявной функции, так как точка О невырожценная и диффеоморфизм А близок к А.
Собственные числа линеаризации А в этой точке О близки к собственным числам А в О. По теореме Гробмана — Хартмана, точка О,, как и О, является седловой и имеет одномерное выходящее инвариантное многообразие у, близкое, как легко видеть, к у. В частности, у входит в окрестность Ь тора Т'. 4'. Сколь угодно малым шевелением отображения А вдали от О можно изменить кривую у так, что она будет «иметь носик»: локально будет лежать по одну сторону от одного из слоев сжимающегося расслоения для А, содержащего одну точку кривой у, причем касание у с этим слоем будет первого порядка.
Обозначим так определенное отображение через А,. Г. Структурная неустойчивость. Докажем, что диффеоморфизм А„ вместе со всеми близкими к нему диффеоморфизмами, структурно неустойчив. 4 Включим отображение А» в однопараметрическое семейство диффеоморфизмов А„отличающихся лишь малым изменением в окрестности прообраза точки носика при отображении А,. Каждое в« СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ [гл. з из отображений А„ достаточно близких к А„ обладает перечисленными выше свойствами А,: инвариантиым тором, двумерными сжимающимися слоями, седловой точкой с выходящим инвариантным многообразнем и с носиком на нем.
Мы предположим, что с изменением э носик движется поперек слоев сжимающегося слоения. Рассмотрим теперь сжимающийся слой, содержащий носик. Эгот слой может содержать или не содержать периодическую точку на торе. Поскольку периодические точки всюду плотны на торе, сколь угодно малым изменением А, в нашем семействе можно поместить носик как на слой содержащий, так и не слой не содержащий периодическую точку. Но свойство слоя содержать или не содержать периодическую точку топологически инвариантно, поэтому топологический тип А, меняется. при сколь угодно малом изменении этого отображения.
Следовательно отображение А, структурно неустойчиво. Пусть теперь А, †люб диффеоморфизм, достаточно близкий к А,.' Тогда, согласно сказанному в пункте В, для А, можно повторить все построение, только что проведенное для А,. следовательно, А, †структур неустойчивый диффеоморфизм. Ь Глава 4 Теория возмущений Большинство дифференциальных уравнений не допускает ни точного аналитического решения, ни сколько-нибудь полного качественного исследования. Теория возмущений представляет собой в высшей степени полезный набор методов исследования уравненйй, близких к уравнениям специального вида. Эти уравнения специального вида называются невозмущенными, и их решения предполагаются известными.
Теория возмущений учитывает влияние небольших изменений дифференциальных уравнений на поведениерешеннй. Если величина возмущения характеризуется малым параметром е, то влияние возмущений на временах порядка 1 приводит к изменению решения на величину порядка е. Эту величину можно приближенно получить, 'решая уравнения в вариациях вдоль невозмущенного решения. Однако, если нас интересует поведение решения в течение большого отрезка времени, скажем, порядка 1/е, то возникает гораздо более сложная задача, составляющая предмет т. н. асимптотических методов исследования теории возмущений. Важйейшим из этих методов является метод усреднения, который и рассматривается в настоящей главе. Метод усреднения используется в небесной механике со времени Лагранжа и Лапласа для определения эволюции планетных орбит под влиянием взаимных возмущений планет друг другом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
