1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 26
Текст из файла (страница 26)
писать в виде 1пп (Ало~ д) (~ 1) (1 у)/(! 1) л оо где (и, о)=!и(х)о(х)йх, (АллГ)(х)=~(Алх) Пусть теперь ! — экспонента: )=*е' ы ю. Тогда АллГ также экспонентасволновымвектором р' Ал'р. Если рФО,тоорбитаточки р под действием операторов Ал' бесконечна. Поэтому, для любой экспоненты д еГИ ю имеем Вш (АллГ, у) =О. Аппроксимируя ! и д л со в среднем квадратичном суммами экспонент, получаем требуемое. > Более поучительное (хотя и более сложное при аккуратном проведении) доказательство пе-.
ремешивания получается следующим образом. Т е о р е м а 3. Иа торе су- ств ют два поля нап авле- и(е у р ний, инвариантных относительно автоморфизма А. Интегральные кривые каждого из мпих полей направлений всюду плот- ны на торе. Автоморфизм А переводит интегральные кривые первого поля в интегральные кривые того же поля с растяжением в Х) ! раз, а второго— со сжатием в Х раз (рис. 82).
3+уй 4 Рассмотрим собственные числа преобразования А, Х~„= 2 Очевидно, 3 )! )Х, и числа Х„Х, иррациональны. Рассмотрим на плоскости семейство всех прямых, параллельных первому собственному вектору преобразования А. Поскольку Х, иррационально, компоненты собственного вектора несоизмеримы. Поэтому на торе прямые семейства. определяют всюду плотные обмотки. Преобразование плоскости А переводит это семейство прямых в себя, с рас- 114 СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 1гл. 3 тяжением в Х,->1 раз.
Поэтому преобразование тора А переводит в себя семейство обмоток, с таким же растяжением. Это семейство называется расишряющимся слоением преобразования А.. Второг собственное направление определяет, таким же образом, сжимающееся слоение. Р Рассмотрим теперь образ плоской области Р под действием преобразования плоскости А". Зто преобразование представляет собой гиперболический поворот: растяжение в Х", раз по первому собственному направлению и сжатие в Х", раз по второму. Поэтому образ области с" представляет собой при больших и узкую длинную полосу, вытянутую вдоль первого собственного направления. Следовательно, на торе образ области Р под действием преобразования А' представляет собой длинную узкую полосу, близкую к длинному отрезку фазовой кривой уравнения х = гв с нерезонансиым вектором го.
Но эта кривая равномерно распределена по тору, Отсюда вытекает, что при увеличении и образы А"Р пересекут любую область б на торе; немного потрудившись, можно вывести из этих соображений и свойство перемешивания. В. Структурная устойчивость автоморфизма тора. Удивительный, факт, открытый в начале 60-х годов, и явившийся одним из важнейших достижений в теории дифференциальных уравнений за последние десятилетия, состоит в том, что рассматривавшийся выше автоморфизм тора структурно устойчив в классе всех диффеоморфизмов тора.
В частности, всякий диффеоморфизм, достаточно близкий к А, имеет счетное число циклов и всюду плотное множество периодических. точек. Теорема Аносов а. Автоморфизм тора А: Т' — ~ Т', задан- /2 11 ный матрицей ~ ), структурно устойчив в С' топологии. Иными ~1 1)' словами, каждый диффеоморфизм В, достаточно близкий к А вместе с производной, сопряжен с А прц помощи некоторого гомеоморфизма Н; В =Н-'А Н. Замечание. Гомеоморфизм Н можно выбрать сколь угодно близким к тождественному преобразованию, если В достаточно близко к А, но нельзя, вообще говоря„сделать гладким.
Теорема Аносова показывает, что в случае систем с многомерным фазовым пространством возможно и сохраняется при малых шевелениях поведение фазовых кривых, не сводящееся к притяжению к устойчивым положениям равновесия и циклам, как это было в случае векторных полей на двумерной сфере или торе. Физический смысл такого, более сложного чем автоколебания, поведения динамических систем, мы обсудим позже.
Доказательство теоремы Аносова дано в следующих пунктах à — Ж. ВВЕДЕНИЕ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ Г. Гомологическое уравнение. Мы ищем гомеоморфизм Н, Н(х) =х+Ь(х), делающий коммутативной диаграмму рву -1 1., Р Р где В(х) =Ах+)'(х); функции г и Ь имеют по х период 2п. Из диаграммы получаем нелинейное функциональное уравнение относительно Ь: Ь (Ах) — АЬ (х) =) (х+Ь (х)). Мы считаем функцию г малой, предполагаем, что Ь окажется малой того же порядка и 'поэтому заменяем правую часть на Г(х), отбрасывая «малую второго порядка». Получаем линеаризованное уравнение Ь (Ах) — АЬ (х) =~ (х).
Это уравнение называется гомологичесним уравнением. Д. Решение гомологического уравнения. Левая часть гомологического уравненйя линейно зависит от Ь. Обозначим линейный оператор, переводящий Ь в левую часть гомо- логического уравнения, через Е. Решение гомологического уравнения имеет вид Ь=1 Г. Нужно лишь доказать, что оператор Е обратим. Л е м м а 1. Пространство векторных полей на торе распадается в прямую сумму двух надпространств, инвариантных относительно оператора Е.
4 Пространства векторных полей, параллельных первому и второму собственному направлению оператора А, инвариантны относительно преобразования, и каждое векторное поле единственным образом представляется в виде суммы двух полей, направленных вдоль собственных направлений. Ь Пусть ) =),е, +)»е«, Ь = Ь,е,+ Ь,е, — разложения полей ) и Ь. Тогда гомологическое уравненйе принимает вид системы Ь, (Ах) — Х,Ь» (х) =), (х), Ь, (Ах) — Х»Ь» (х) =Г»(х).
Здесь Х„=Х,') 1)Х»=Х вЂ” собственные числа. Рассмотрим оператор сдвига аргумента на 14 в пространстве непрерывных функций на торе. Обозначим его .через Я. Имеем (Вд) (х) =д(Ах), ~5~=1, )Я-»$=1. Гомологическое уравнение записывается теперь в виде (5 — )«Е) Ь; = ~ь 1 = 1, 2. 116 стгуктугнхя устончнвость [гл. з Пусть 1=1. Тогда (5 — Л,Е) ' = — Л (Е+ Л5+ Лз5'+...).
Поскольку Л(1 н '!51=1, обратный оператор существует н (!(5 — Л Е)-г) ( Л~(1 — Л). Аналогично (5 — Л Е) г = 5 '(Š— Л5-') ' =5-' (Е +Л5 ' +Лз5-'+...), ~ (5 — Л,Е)-' ) ( 1/(1 — Л). Таким образом оператор Е-' существует, причем 1Е-'~( 1/(! — Л). Гомологнческое уравнение решено. Е. Построение отображения Н. Нелинейное функциональное уравнение нз пункта Г решается теперь простейшим методом сжатых отображений. Положим ФЯ(х) =~(х+й(х)) — ~(х). Наше функциональное уравнение имеет вид ЕЬ = ФЬ + Е й = Е-'Фй + Е-Ч.
Лемма 2. Если норма ! в С' достаточно мала, то опера- тор Е-'Ф в пространстве С' сжимгиощий. 4 Достаточно проверить, что нелинейный оператор Ф удовлет- воряет условию Липшица с малой константой. Действительно, согласно Д, )! Е-'ФIР— Е-'Ф/Р1 ( (! Фй' — ' Фйз 'р(! — Л). Но !! Фй' — Фйз // = шах ! ! (х + йг (х)) — ~ (х + РР (х)) ~ ( ~~ ~ )с ч (йз — уР ~. Итак, оператор Е- Ф сжимающий, если !г'1с1(1 — Л. > При этом условии наше уравнение решено и Н построено.
Ж. Свойства отображения Н. Докажем, что Н вЂ” гомеоморфизм тора. 4 Если Ь мало в метрике С',то отображение Н = Е+й — гомеоморфизм. Мы знаем лишь, что й мало в метрике С'. Тем не менее, из Н(х)=Н(у), ввиду гиперболических свойств преобразования плоскости А, следует, что х=у. Действительно, на плоскости ЬЙ = ЙА. Поэтому ЙАх =ЙАу, и вообще ЙА"х= ЙА"у. Но ввиду гиперболичности А, расстояние между точками А"х и А"у стремится к со либо при п- +со, либо прн п-~ — оо.
Это противоречит ограниченности й. Стало быть, х=у и, значит, на торе х=у. Докажем, что образ отображения Н есть еесь тор. Действительно, образ круга достаточно большо1о радиуса на плоскости под действием Й содержит круг радиуса 2п (так как 1] ограничено). Поэтому НТ' = Т'. Итак, Н вЂ” гомеоморфизм тора. При этом ВН=НА.
~ Теорема п. В доказана. 3. Теорема о структурной устойчивости седла. Предыдущие рассуждения доказывают также следующее предложение. Т е о р е м а Г р о б м а н а — Х а р т м а н а. Нусть А: Р'-»- Р'— линейное преобразование без собственных чисел, равных 1 по модулю.
Тогда всякий локальный диффеоморфизм В: (Й", О) -»- (Р", ОГ с линейной частью А в неподвижной точке О топологически эквивалентен А в доспиипочно малой окрестности точки О. 4 Локальный диффеоморфизм В совпадает в окрестности точки О с глобальным диффеоморфизмом С: Р"-» Й", определенным так: пусть ч! — гладкая функция, равная О вне 1-окрестности точки О и равная 1 в малс]й окрестности точки О. Тогда С совпадает с А вне е-окрестности, где ]р, отлично от О, а внутри этой окрестности С = А + р, ( — А); здесь ]р, (х) = !р (хуз). Предыдущее доказательство теоремы Аносова доказывает, что всякий С'-близкий к А диффеоморфизм Й"-»- Й" топологическн эквивалентен А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
