1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4 1'. Для любых двух сохраняющих ориентацию диффгоморфивмов окружности с одинаковыми рациональными числами вращения и одинаковым числом циклов, если все циклы нгвырождвны, то существует гомгоморфизм, переводящий первый диффеоморфизм во второй. Для доказательства нужно сначала сопоставить точкам одного устойчивого цикла первого диффеоморфизма точку какого-либо устойчивого цикла второго, затем соседнего неустойчивого и т. д. для всех циклов (порядок точек цикла на окружности такой же, как у поворота). Это сопоставление можно затем продолжить на смежные интервалы, пользуясь следующей легко доказываемой леммой: Любые два гомгоморфизма интервала на себя, нв имеющие неподвижных точек, топологичгски сопряжены.
2'. Если число вращения рационально и все циклы невырождены, то при малом шевелении число вращения, число циклов и невырожденность циклов сохранятся (по теореме о неявной функции). Следовательно, диффгоморфизм с рациональным числом вращения, всв циклы которого нгвырождены, структурно устойчив (см. 1'). 3'. Если диффеоморфизм имеет вырожденный цикл, то малым шевелением диффеоморфизма в окрестности точек этого цикла можно СТРУКТУРНАЯ УСТОЯЧИВОСТЬ [ГЛ.
3 изменить число циклов. Поэтому диффеоморфизм с вырожденным циклом структурно неустойчив. 4'. Если число вращения иррационально, то его можно изменить сколь угодно малым изменением диффеоморфизма. Действительно, рассмотрим возмущенный диффеоморфизм у А(у)+е, з)0. По теореме Данжуа в некоторой системе координат (не гладкой) г а+2пр+<р(г), <р) О. Поэтому число вращения возмущенного диффеоморфнзма больше )«. Итак, всякий диффеоморфизм с иррациональным числом вращения структурно неустойчив.
5'. Число вращения — непрерывная функция -от диффеоморфизма. Действительно, р р/о если и только если при о-кратком применении диффеоморфизма все точки сдвигаются меньше, чем на 2яр. Это свойство сохраняется при достаточно малом изменении диффеоморфизма. 5'. Диффеоморфизмы с рациональными числами вршцения образуют плотное множество. Это вытекаег из 4', 5' и плотности множества рациональных чисел. 7'. Все циклы диффеоморфизма с рациональным числом вращения можно сделать невырожденными, сколь угодно мало изменив диффеоморфизм. Действительно, сколь угодно малым шевелением в окрестности одного цикла можно сделать этот цикл невырожденным. Пусть у — одна из дуг, на которые один невырождениый цикл делит окружность.
Определим гладкую функцию «р, равную 1 на у вне малой окрестности концов у и равную 0 вне у. Положим А, (у) = А (у)+ ар (у). Число вращения этого диффеоморфизма прежнее, так как цикл сохранился. Пусть д — порядок цикла. Тогда А«(у) на дуге Ау совпадает с Ае(у)+е вне окрестности концов дуги Ау. Применим к функции А«(у) — у на Ау лемму Сарда. Мы убеждаемся, что при почти всех е все неподвижные точки А«на Ау невырождены.
Но каждый цикл отображения А, имеет представителя на дуге Ау. Следовательно, нсе циклы отображения А невырождены. Р Л.. Обсуждение. 1'. Предыдущие теоремы создают впечатление, что «общий» диффеоморфизм окружности имеет рациональное число вращения, а диффеоморфнзмы с иррациональным числом вращения являются исключением. Численные эксперименты однако, обычно приводят к всюду плотным (по меньшей мере на вид) орбитам. Чтобы объяснить это явление, рассмотрим, например, семейство диффеоморфизмов А„,: у у+а+аз!пу, аы!О, 2и1, вен[О, 1). Будем изображать каждый диффеоморфизм точкой на плоскости 103 диФФеРенциАЛьные уРАВнения ИА торе э ш (а, з).
Множество диффеоморфизмов с числом вращения р=р/д ограничено (как нетрудно сосчитать) парой гладких кривых, и подходит к оси э =О тем более узким языком, чем больше д. Объединение всех этих множеств всюду плотно. Однако оказывается, что мера множества точек плоскости параметров, для которых число вращения рационально, в области О-=.е -е„О( х -.2п мала по сравнению с мерой этой области (рис.
78). Рис. 78. Таким образом, наугад взятый диффеоморфизм нашего семейства' с малым е с подавляющей вероятностью имеет иррациональное число вращения. Более того, аналогичный результат имеет место для любого аналитического или достаточно гладкого семейства диффеоморфизмов, близких к поворотам, например, для семейства у у+а+ееа(у) с любой аналитической функцией ен при малых е орбиты с подавляющей вероятностью всюду плотны на окружности, и число вращения -иррационально.
Таким образом, точка зрения структурной устойчивости не является единственным подходом к понятию системы общего положения. Метрический подход, указанный выше, в ряде случаев лучше подходит для описания реально наблюдаемого поведения системы. 2'.
Согласно теореме Данжуа, гладкое отображение с иррациональным числом вращения топологически эквивалентно повороту. Возникает вопрос, будет ли это отображение гладко эквивалентно повороту. Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным в случае, когда число вращения ненормально быстро аппроксимируется рациональными числами (А.' Финци).
Вопрос о гладкой эквивалентности повороту сводится к вопросу о гладкости инвариантной меры преобразования. Если число вращения рационально, то инвариантцая мера сосредоточена в отдельных точках. Если же число вращения очень быстро аппроксимируется рациональными числами с не слишком большими знаменателями, то инвариантная мера столь быстро аппроксимируется мерами, сосредоточенными в отдельиых точках, что она не может быть даже абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.
Поэтому гомеоморфизмы в теореме Данжуа нельзя заменить диффеоморфизмами. [гл. э СТРУКТУРНАЯ УСТОПЧИЭОСТЬ 3'. С метрической точки зрения наугад взятое число р с вероятностью 1 иррационально и более того, не допускает слишком быстрой аппроксимации рациенальными числами с небольшими знаменателями.
Например, при любом е ) 0 с вероятностью 1 существует С~ 0 такое, что .для любых целых р, о-»О. Поэтому возникает предположение, что явление 2' встречается лишь с вероятностью О. Сформулируем два результата в этом направлении. Теорема. Для почти усякого числа вращения р достаточно гладкий (класса С' или вьиие) диффеоморфизм окружности с числом вращения р гладко эквивалентен повороту на угол 2яр (М. Эрнан, 1976).
Здесь «почти всякий» означает, что мера Лебега исключаемого множества чисел вращения равна нулю. Теореме Эрмана предшествовали аналогичная теорема для отображений близких к повороту и следующий результат (доказанный в аналитическом случае в 1959 г., а в гладком Ю. Мозером в 1962 г.) Теорема. В достаточно гладком семействе у у+а+еа(у) мера множества пар (сс, е) в области 0~ а( 2п, 0(е(е», для которых диффеоморфизм не приводится к повороту гладким диффеоморфизмом, стремится к нулю вместе с гь. Эта теорема справедлива и для отображений и-мерного тора.
Доказательство этих результатов выходит за рамки настоящего курса, однако мы рассмотрим в следующем параграфе принадлежащую А. Н. Колмогорову технику доказательства теорем этого рода в простейшем случае аналитического диффеоморфизма. М. Приближения иррациональных чисел рациональными. Теорема. Для любого иррационального числа р сущеслмуют сколь' угодно точные рационаяьные приближения, ошибка которых меньше обратной величины квадрата знаменателя: р ~ 1 Например, число и можно приблизить с ошибкой порядка одной миллионной рациональной дробью с трехзначными числителем и знаменателем, и 355Д13.
Прежде, чем доказывать теорему, укажем геометрический способ нахождения бесконечной последовательности таких приближений (называемый алгоритмом цепных дробей, или алгоритмом вытягивания носов, или попросту алгоритмом Евклида). ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ $ и] Рассмотрим плоскость с координатами (х, у) (рис. 79). Проведем прямую у=)«х. Для определенности будем считать )«) О.
Отметим в первом квадранте все точки с целыми координатами. Исключая точку О„они не лежат на нашей прямой, так как 1» иррационально. Рассмотрим выпуклые оболочки целых точек квадранта, лежа- У е щих по одну сторону от нашей прямой Р («ниже» ее) и по другую («выше»). (Чтобы построить эти выпуклые оболочки, можно представить себе нить, закрепленную в бесконечности и лежащую на нашей прямой.
Представим себе, что в каждой е отличной от О целой точке нашего квадранта вбит гвоздь. Потянем нить за свободный конец О вниз (соответственно вверх). Тогда нить натянется, е, наткнувшись на некоторые гвозди, образуя границу нижней (соответственно верхней) выпуклой оболочки.) Вершины построенных выпуклых ломанных опре- Рис. 79. деляют приближения к иррациональному 'числу )«, о которых шла речь. Если целые числа (д, р) — координаты вершины, то дробь р/д, отвечающая вершине, называется подходящгй дробью для )А. Оказывается, для любой подходящей дроби ~ 1» — (р/д) ~ с.
1!д». Для доказательства этого неравенства опишем построение наших выпуклых ломаных другим способом. Обозначим через е, базисный вектор (1, О) и через е,— вектор (О, 1). Эти векторы лежат по разные стороны от прямой у=ух. Будем строить последовательность векторов е„е„... по следующему правилу. Пусть е», и е» уже построены и лежат по разные стороны от нашей прямой. Будем прибавлять к вектору е», вектор е» столько раз, сколько можно, чтобы сумма лежала по ту же сторону от прямой у=ух, что и е„,. Таким образом, получаем последовательность натуральных чисел а» и последовательность целочисленных векторов е,=е,+а,е„...; е»«.,=е»,+а»е», Векторы е» и являются вершинами наших двух выпуклых оболочек (попеременно — верхней при четных й и нижней при не' четных).
Лемма. Площадь парал«елограмма, на нутого на гекторы (е, „е„) равна (е учетом ориентации) ( — 1)». 4 Для исходного параллелограмма (е„е' А) это очевидно. Каждый следующий параллелограмм имеет с предыдущим общую сторону и равную высоту, и задает противоположную ориентацию плоскости. Р' 100 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
