1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Определение. Две системы называются толологически орбитально эквивалентными, если существует гомеоморфизм фйзового. пространства первой системы на фазовое пространство второй,. переводящий ориентированные фазовые кривые первой системы в ориентированные фазовые кривые второй. При этом не требуется никакого согласования движений по соответственным фазовым. кривым. Гипотеза структурной устойчивости состоит в том, что разбиение систем на классы орбитальной эквивалентности уже не имеет модулей (дискретно), по меньшей мере если ограничиться случаями «общего положения» и пренебречь вырождениями. Г.
Окончательное определение структурной устойчивости. Пусть М вЂ” компактное гладкое мноюобразие (класса С'~', г ) 1)., Пусть о — векторное поле класса С' (если М имеет край, то предполагается, что и не касается края). Система (М, о) называется структурно устойчивой, если существует такая окрестность поля о в пространстве С', что всякое векторное поле из этой окрестности задает систему, топологическн. орбитально эквивалентную исходной, причем, гомеоморфизм, осуществляющий эквивалентность, близок к тождеству.
Д. Одномерный случай. Пусть М вЂ” окружность. Векторное поле на окружности задается периодической функцией. Особые точки поля соответствуют нулям: той функции. Особая точка называется невырожденнои, если в этой. Очке производная функции отлична от нуля. стРуктуРнАя устоичиность [гл, з Теорема. Векторное поле на окружности задает структурно устойчивую систему тогда и только тогда, когда оно имеет лишь ' невырожденные особые точки. Два векторных поля с невырожденными особыми точками на окружности топологически орбитально эквивалентны тогда и только пюгда, когда числа особых точек у них ддинаковы. Структурно устойчивые векторные поля образуют в пространстве всех векторных полей на окружности открытое всюду плотное множеспию.
4 Пусть все особые точки поля невырождены. Тогда их конечное число и они попеременно устойчивы и неустойчивы. Всякое непостоянное решение уравнения х=о(х) стремится к устойчивому положению равновесия при (-~-+со и к неустойчивому при г'- — со. Отсюда легко вытекают все утверждения теоремы, кроме одного: остается доказать, что все особые точки поля можно сделать невырожденными пбсредствбм сколь угодно малого шевеления поля, Доказательство этого последнего утверждения удобно провести с помощью так называемой леммы Сарда.
Л е м м а. Мера множества критических значений гладкойфункции на отрезке [(), Ц равна нулю. 4 Разобьем отрезок на йГ равных частей и отметим те из них, которые содержат критические точки. Если ттГ достаточно велико, то производная функции на каждой из отмеченных частей не превосходит С/гт' (С вЂ” некоторая не зависящая от ет' постоянная). Поэтому длина образа каждой из отмеченных частей не превосхо.дит С/)т'з. Покроем этот образ интервалом длины 2С/)тз. Мы получили покрытие множества критических значений интервалами суммарной длины не более 2С/гт'.
Ь Рассмотрим семейство векторных полей с параметром е на окружности, заданное формулой о (х, е) = о (х) — е. Тогда точка х— вырожденная особая точка поля, соответствующего значению е параметра, если и только если е — критическое значение функции о в точке х. Но все критические значения образуют множество меры нуль, поэтому существуют сколь угодно малые некритические значения. .Зафиксируем некритическое значение и. Все особые точки поля, соответствующего этому значению параметра, невырождены. ~ Е.
Отступление: теорема Сарда. Пусть й М - Н вЂ” гладкое отображение многообразий любой размерности. Точку пространства-прообраза назовем критической, если размерность образа дифференциала отображения в этой точке меньше размерности пространства образа. Значение отображения в критической точке называется критическим влечением. Т е о р е м а,г Мера множеспиа критических значений всяноео достапитно сладкова отобраясения равна нулю. 4 1'. Если размерность пространства-прообраза равна нулю, то теорема очевидна; если эта размеряость 1, то она уже доказана выше.
Предположим, $ !01 ПОНЯТИЕ СТРУКТУРНОИ УСТОИЧИВОСТИ что теорема доказана во всех случаях, когда размерность пространства-прообраза равна т — 1 и докажем ее для размерности пространства-прообраза, равной т. 2'. Разобьем множество К критических точек отображения на части. Точка пространства-прообраза называется точкой унлощвния порядка г, если в ней равны нулю все частные производные порядков 1, ..., г. Обозначим через К, множество точек уплощення порядка г. 3'. Рассмотрим вначале множество критических точек К" К!.
Докажем, что мера соответствующего множества критических значений (т. е. мера множества г (К~ К,)) равна нулю. В каждой точке из К' Кт отлична от нуля одна из частных производных, скажем, дг;)дх! в координатной записи. В окрестности такой гочки можно принять, функцию !! за локальную координату в прообразе вместо хт, сохранив х„..., х . В построенных координатах ! записывается иак однопараметрнческое семейство гладких отображений (т — 1)-мерных пространств в (л — 1)-мерные ()т! «ь " . хт) ~-~ Чт! уз г , ув) Зафиксируем значение с параметра !ть Отображение ! индуцирует отображение ! плоскости !т=с размерности т — 1 в прообразе в плоскость/т=с размерности и — 1 в образе. Множество критических значений отображения ) имеет в плоскости )! с в образе (л — !)-мерную меру нуль по предположению индукции (теорема доказана для (т — 1)-мерных прообразов).
По теореме Фубини л-мерная мера обьединения множеств крнтичесиих значений отображений Ус по с равна нулю. Но образ множества критических точек иэ К~,К„лежащих в окрестности рассматриваемой точки, содержится в этом объединении. Отсюда следует, что мера )(К",К!) равна нулю. 4'. Рассмотрим множество точек г-уплощения, К ",К !. Докажем, что мера соолювтствующевв мноясвснюа критических значений г(К ~,К !) равна нулю. В каждой точке множества Кг~ Кг т отлична от нули одна из частных производных порядка г+1, скажем, дйудхт, где й — одна из часп!ых производных у! порядка г (в подходящих локальных координатах). В окрестности такой точки множество Кг~,Кт! содержится в гладкой (т — 1)-мерной гиперповерхности й=О.
Точци множества Кг~~Кгл являются критическими для сужения / на эту гиперповерхность, так кзк й)=0 на К,. По предположению, мера образа множества критических значений сужения ! на эту гиперповерхность равна нулю. Следовательно, мера г(Кг~,,К ет) равна нулю. 5'.
Наконец, рассмотрим множество К, г-плоских критических точек прв достаточно большом г. Доиажем, что мера соответствующего множества критических значений !" (К„) равна нулю, если г достаточно велико,. С этой целью разделим каждую сторону т-мерного куба в пространстве- прообразе (выбрав локальные координаты) на У равных частей, разделим куб на Ут равных маленьких кубиков и отметим те из них, в которых есть точки из К,. Диаметр образа отмеченного куба не превосходит тогда с(!уу)г+! (где постоянная с не зависит от У). Поэтому все образы отмеченных кубов покрываются открытыми кубами суммарной мары не более с Угл (1!У)л (гем даже если все ут кубиков отмечены.
Это число при У -+со стремится к нулю, поэтому шез)(Кг)=О при. г) (т)п) — 1. Представим все множество К критических точек как обьедннение множеств К'~,Кт, К!'~,Кг~! и К„. Мы доказали, что мера образа каждого из этих множеств равна нулю. Поэтому мера всего множества критических значений равна нулю. т СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ [ГЛ. 3 Ж. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере.
Переходя к системам с фазовым пространством размерности больше единицы, мы сталкиваемся прежде всего с особыми точками и замкнутыми фазовыми кривыми. Определение. Особая точка векторного поля называется: вырожденной, если нуль является собственным числом линеаризации поля в этой точке. Замечание. Невырожденная особая точка поля не исчезает при малом шевелении поля, а лишь слегка сдвигается (по теореме ч[ неявной функции).
Напротив, вырожденная особая точка при 'й малом шевелении поля, вообще говоря, бифурцирует, (делится на й т[есколько невырожденных) или исчезает. Поэтому у структурно- ',; устойчивой системы все 'особые точки невырождены. .1 Определение. Замкнутая фазовая кривая (цикл) вектор- 1 ного поля называется вырожденной, если 1 является собственным ' - числом линеаризации функции последования. [Функция последо-.:; вания — это отображение трансверсали к циклу в себя, сопостав-:~ ляющее каждой точке трансверсали. близкой к циклу, следующую 1 точку пересечения фазовой кривой, выходящей из этой точки, "грансверсали, с трансверсалью, см. рис. 72.1 Рис.
72. Рис. 73. Замечание. Невырожденный цикл не исчезает при малом."-' шевелении поля, а лишь слегка сдвигается (по теореме о неявной:;=, функции). Напротив, вырожденный цикл при малом шевелении''Т поля, вообще говоря, бифурцирует .(делится на несколько невы-.й рожденных) или исчезает. Поэтому у структурно-устойчивой си' стемы все циклы невырвждены. Расрмотрим векторное поле на двумерной поверхности. В дву-- мерном случае невырожденные особые точки — топологически либо -'.. седла, либо узлы. Фазовая кривая, стремящаяся к седлу прн, (-Р+ со называется входящей сепаратрисой седла, а при (-ь-.-ф -~- — оо — выходящей (рис.
73). Теорема. Векторное поле на двумерной сфере задает струк-.,Ц турно-успийчивую систему тогда и только тогда, когда выпал-.'Ц мены все следующие условия: 1) Поле имеет конечное число особых точек. 2) Все особые-точки поля невырождены. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ 4 !6 3) Ни одна выходящая сепаратриса седла не является входящей. 4) Поле имеет конечное число замкнутых фазовых кривых. б) Все замкнутые фазовые кривые — невырожденные циклы. 3 а м е ч а н и е.
Доказательство структурной неустойчивости системы в случае, когда нарушено хотя бы одно из условий !) — 5) несложно (см. рис. 74). Доказательство того, что нз условий 1) — 5) вытекает структурная устоичивость, сложнее; оио подробно проведено Де Баггисом (см. Н. Р. О е Ваяй! з, Оупагпыа! зуз1ешз ФИЬ з1аЫе з1гпсюгез, Соп1пЬ. ТЬеогу Ыоп!!пеаг Озс!!!апоп,- 2 (!952), 37 — 59; М. М. Ре(хо1о, 5(гос1пга! з1аЫ!!(у оп (тто-В!шепа!Ьпа(, шап!(о!бз, Торо!оку, 1 (1962), 1О! — !20; 2 (!963), !79 — !80).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
