1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 21
Текст из файла (страница 21)
О структурно устойчивых системах на плоскости см. также: Г. Ф. Б а гг и с, Грубые системы двух дифференпиальных уравненйй, Успехи Мат. наук, 10, 4 (!955), !01 — 126; М. С. Ре!хо!о, М. М. Регхо(о, 51гпс1пга! з1аЫ1пу !гт 1Ье р!апе чиЬ еп!агйеб Ьоппбаьу сопб!1!опз, Апа!з Ва Асад. Вгаз!!е!га бе Сыпс!аз, 31, 2 (!959), 135 — 160. Т ео р ем а: Структурно устойчивые векторные поля образуют. в пространстве всех векторных полей на двумерной сфере открытое всюду плотное множество. 0 Эта теорема вытекает из предыдущей.
й Замечание. Аналогичные результаты справедливы для векторных полей на круге, которые не касаются граничной окружности. 6 11. Дифференциальные уравнения на торе В этом параграфе изложена принадлежащая А. Пуанкаре и А. Данжуа теория векторных полей без особых точек на двумерном торе, в частности описаны все структурно устойчивые поля. А.
Двумерный тор. Тором размерности и называется прямое произведение и окружностей. двумерный тор Т'=ВгхВг можно представлять себе как квадрат (х, у: 0(х(2я, О~у -2я) склеенными противоположными сторонами (отождествляютсв и (О, у) и (2п, у), а также (х, 0) и (х, 2я) рис. 75). [гл. 3 СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ Тор можно также рассматривать как множество классов смежности группы И' по подгруппе 2пе, целочисленных векторов, умноженных на 2я: Т = Й72пЕ' = ((х, у) ев Й щоИ 2я).
Я l Таким образом, плоскость [к локально диффеоморфно накрывает тор. Накрытие [к -«Т (рис. 76) позволяет переносить каждую картину стара на плоскость (гдеона бесконечно размножается). Гладкиефунк- Ря ции на торе соответствуют гладким 2ппериодическим функциям на плоскости. '1 Рис. 75 Рис. 76 Каждой замкнутой кривой на плоскости соответствует на торе замкнутая кривая, Обратное неверно: замкнутые кривые на торе ф соответствуют не только замкнутым кривым на плоскости, но и '-' отображениям [р: [О, 11 — «Й', для которых ~р (О) = ~р (1) п[одд 2п. При этом если координаты <р(1) — ~р(0) равны (2пр, 2п[7), то'::.
говорят, что кривая на торе замыкается после р оборотов по '4 параллели и о оборотов по меридиану. Б. Векторные поля на торе, Всякое векторное поле на торе определяет на плоскости ноле,. ' периодическое с периодом 2п по обеим координатам. Обратно, всякому полю, 2я-периодическому по обеим координатам на плоскости, соответствует векторное поле на торе.
П р и м е р. Уравнение х=сс, у=р, где а и р — постоянные, определяет на торе векторное поле без особых точек. Теорема. Если отношение Х=()[сс рационально, пю все фазо-' вые кривые уравнения на торе замкнуты, а если иррационально— то всюду плотны. 4 1) Пусть Х=р/д. Фазовая кривая, проходящая через точку.' (х„у„) имеет уравнение у — ус=(х — х,) р/д. Если х:хь=2пд, то '; у — у,=2пр, следовательно, (х, у) =(х„у„) п[СИ2п, то есть фазовая кривая замкнута. 93 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ 2) Мы докажем далее, что фазовая кривая (в случае, когда Л иррационально) равномерно распределена на торе, т.
е. проводит в каждой части тора*) время, пропорциональное площади этой части. Йз этого следует, в частности, что достаточно длинный отрезок.фазовой кривой побывает в сколь угодно малой окрестности любой точки тора, т. е. что фазовая кривая всюду плотна. й В. Равномерное распределение. Общее определение равномерного распределения состоит в следующем. Пусть о — векторное поле на компактном гладком многообразии М с фиксированным элементом объема (например, поле на торе с элементом площади дх йу). Будем обозначать объем (площадь) области Р через р(Р). Рассмотрим решение 1р уравнения хр в(х) с начальным условием г.
Обозначим через с(Р, Т, г) меру множества тех значений времени, ген[0, Т1, для которых гр(1) принадлежит области Р. Определение. Решения уравнения х=о(х) равномерно распределены, если для всякой области Р с кусочно-гладкой границей !цп т(0, т, г) и()з) )г(М) Теорема. При иррацИональном р/а решения уравнения х=а, у = () равномерно распределены на торе. Равномерная распределенность может быть также определена в терминах временных средних функций.
Пусть ) — функция на М (вообще говоря, комплексиозначная). Определение. Предел г 1'1" т ~ 1 (дгг) й( ='р (г) о называется временным средним функции Г' (здесь д' — фазовый поток). Замечание. Разумеется, такой предел существует не всегда, ' а если и существует, то зависит, вообще говоря, от начальной точки. Теорема о равномерном распределении на торе вытекает из следующей теоремы.
Теорема (о совпадении средних). При иррациональных Л=р/сс временное среднее любой непрерывной (или хотя бы ррр ~ Р р1арр ЬГ' С Р р Р ') Под частью тора здесь понимается измериман по )Кордану область, напРимер — область с кусочно гладкой границей. СТРУКТУРНАЯ УСТОИЧИВОСТЬ [гл. э уравнения на торе Х= )г, у= () суи(еапвует, не зависит от начальной точки и совпадает с пространственным средним: ~,= — „, Д Го~с(у.
4 Чтобы получить из этой теоремы теорему о равномерном распределении, достаточно взять в качестве ) характеристическую функцию множества 0 (равную единице на 0 и нулю вне Р). Г. Доказательство теоремы о совпадении средних. Обозначим вектор с компонентами (а, ()) через ы. Тогда решение с начальным условием г принимает вид г+ый Утверждение теоремы гласит: т "Ш т ~~(г+ы()а)=4„'2 Ц~( г ~ь 4 Заметим; что среди функций на торе имеются гармоники— функции вида е'<А *), где й — целочисленный вектор. Для гармоник теорема проверяется непосредственным вычислением интеграла Пусть й Ф О, тогда г У (А. а) в) [А,*-)-а)) ~Ц е)А~ ~ емь,е)) д) ~е)(А, е)г )] )(А, ы) о о Функция в квадратной скобке ограничена, поэтому временное.„', среднее гармоники с ненулевым номером й равно нулю.
Пространственное среднее также равно нулю. При й=О гармоника ' равна единице. Оба средних единицы равны единице. Совпадение средних для гармоник доказано. Из совпадения средних для гармоник следует их совпадение'' для тригонометрических миогочленов: среднее от линейной комбинации равно линейной комбинации средних с теми же коэффи-;., циентами. В частности, теорема доказана для г' = соз(й, г) и з)п(й, г). Теперь докажем теорему для вещественных функций; тогда (ввиду линейности средних) она будет доказана и для комплекс-' " ных. Приблизим данную функцию ~ сверху и снизу иепрерывнымм.' функциями Р и Я так, что Р(~(О, Д Я вЂ” Р)дгду/4пь(е(возможность такого приближения ири любом е)0 характери- . зует функции, интегрируемые по Риману). Приблизим затеи ф нкции Р и Я тригонометрическими многочленами р и о так, чта У ~)р — Р)(в, )д — )))(е.
Обозначим через р н у свободные члены этих многочленовс ' о о и Числа р и д являются как пространственными, тгк и временным о о но средними многочленсв р и о (так как для тригонометрических мн . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ $!и гочленов временные средние совпадают с пространственными). Таким обРазом, пРостРанственное сРелнее го фУнкЦии Г зажато межДУ Ро и !)о. Ро<Г»<ЧР !7» — Ро<е. Обозначим через рт~ 1т и г(т средние р, ! и !7 за время Т: т Рт(е)= Т 1 Р(е+<ог) о(1 и т д 1 Г о Тогда рт(г) <1т(е) <!)т(г) при любом Т, и при достаточно больших Тт 1Рт(г) — Ро ~ <е, !Цт(Е) — до ! <Еь Следовательно, при достаточно больших Т Д. Некоторые следствии. 1'.
Двумерность тора во всем предыдущем не играла роли. Рассмотрим уравнение г = »о, г ~ Т на и-мерном торе. Вектор частот оо называется резонансны»о, если существует целочисленный не нулевой вектор й такой, что (оо, й) =О. Если вектор »о нерезонансный, то временные и пространственные средние непрерывных (или хотя бы интегрируемых по Риману) функций совпадают, и решения равномерно распределены. 2'. Из теоремы о равномерном распределении следует, что первая цифра числа 2' чаще равна семи, чем восьми.
Точнее, обозна« чим через Л!»(н) число натуральных значений т<а, для которых 2" начинается с цифры й. Тогда А!, (») 1К 8 — 18 7 , 3'. Поводом к открытию. теорем о равномерном распределении ! послужила следующая задача Лагранжа: найти о!= 1пп — агд~(1), где-~ (1) =,У', а»е'"»'. »=,! Приведем ответ для нерезонансного вектора го=(!о„..., го„).
Пусть Д= 3. Тогда, если из трех отрезков (а, ао, а,) можно составить треугольник, то со=2,а»!о»/и, где ໠— угол против стороны а„.' При произвольном п ответ также имеет вид взвешенного средего частот !о»: го =2; йг»го». Веса йг"» вычисляются следующим бравом. Обозначим через 1(7(а„..., а,; Ь) вероятность того, что асстояние от начала до конца плоской ломанной из з звеньев !Тл. з СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧНВОСТЪ длин а,, ..., а, со случайными направлениями меньше Ь. Тогда )!7А= %'(Й»; аА) (йА — набор из всех чисел а;, кроме аА).
Доказательство см., например, в статье Г. Вейль, Среднее движение, УМН, 31, 4(1976), 213 — 219. Лагранж пришел к сформулированной выше задаче (называемой задачей о среднем движении) следующим образом. Рассмотрим вектор, соединяющий Солнце с центром эллипса, по которому движется планета (он называется вектором Лапласа). В первом приближении теории возмущений эволюция вектора Лапласа под влиянием взаимного тяготения планет имеет вид движения суммы равномерно вращающихся векторов (их число равно-числу планет). Если для планет Солнечной системы подсчитать частоты гзА и амплитуды а„то окажется, что для всех планет, кроме Земли и Венеры, одна из амплитуд а„больше суммы всех других.
Поэтому Лагранж сумел найти среднее движение перигелиев всех планет, кроме Земли и Венеры. В случае же Земли и Венеры несколько слагаемых имеют примерно одинаковую амплитуду. Проблема была решена только в двадцатом веке в работах Боля, Серпинского и Г. Вейля. Е. Функция последования и угловая функция. Рассмотрим общее дифференциальное уравнение на торе а=а(г), зев Т'. й Предположим, что поле гз не имеет особых точек и более того, что го,ФО.
!Если особых точек и циклов нет, то в подходящей системе координат первая компонента поля всюду отлична от нуля (см. С. 1.. 3!еяе!, Хо!е оп б!ИегепИа! ециаИопз оп Гпе !огшь Апп. Ма!и., 46, 3(1945), 423 — 428); нетрудно построить поле без осо- бых точек, но с циклами„не допускающее такой У системы координат).] Мы приходим теперь к изучению интегральных кривых неавтономного уравнения с двоякопериодической правой частью у, ггг йУ вЂ” ~ = Х (Х, У), А = а,/а,. х й» Рис. 77. Все решения этого уравнения продолжаются неограниченно, так как правая часть ограничена. Определение. Функцией последования для рассматриваемого уравнения на торе называется отображение А оси у в,себя, сопоставляющее каждой начальной точке (О, у,) значение решения с этим начальным условием при к= 2я (рис.
77). Функция последования дифференцируема (по теореме о дифференцируемости решения по начальным условиям) и обладает свойством периодичности А (у+2я) =А (у)+2я; обратное отображение 97 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРВ эчц А-' также дифференцируемо. Таким образом, А определяет диффеоморфизм окружности на себя.
Можно прэдЬавлягь себе функцию последования как дирфеоморфизм мерил)иана' тора в себя, переводящий каждую точку меридиана в следующую точку пересечения интегральной кривой, проходящей череэ эту точку, с тем же меридианом. Изучение свойств интегральных кривых на торе сводится таким образом к изучению свойств диффеоморфизмов окружности. Например, предположим, что диффеоморфизм окружности имеет неподвижную точку. Тогда на торе имеется замкнутая интегральная кривая. Обратное неверно (пример — поворот окружности на угол и): Для того, чтобы интегральная кривая, проходящая через данную точку меридиана тора, была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы эта точка была периодической точкой диффеоморфизма, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
