1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тогда уравнение (1) записывается в виде . а,— + ... +а„— =О. ди ди дхх ° ° и дхл (2) Определение. Поле а называется. характеристическим векгпорным полем для уравнении (1), а его фазовые кривые называются характеристиками. Уравнение х = а (х) называется уравнением характеристик для уравнения с частными производными (!). Теорема. Функиия и явлчетея решением линейного'уравне.ния первого порядка пюгда и только тогда, когда она является первым интегралом уравнения характеристик.
4 Это определение первых интегралов. ~ Определение. Задачей Коши для уравнения (!) называется задача о нахождении решения и, удовлетворяющего условию и)т=~р, где у — некоторая гладкая гиперповерхносгь в М, а ~р— заданная гладкая функция на этой гиперповерхности. Гиперповерхность у называется начальной гиперповерхностью, а функция ~р — начальным условием. Заметим, что такая задача не всегда имеет решение. Действительно, вдоль каждой характеристики решение и постоянно. Но характеристика может пересекать начальную поверхность у несколько раз.
Если значения заданной функции <р в этих точках различны, то соответствующая задача Коши не имеет решения ни в какой области, содержащей указанную характеристику (рис. 43). Ю Оп р еде лен и е. Точка х на начальной гиперповерхности у называется нехарактеристи-, ческой, если характерисгиха, проходящая через к" у эту точку, трансверсальна (не касательна) к начальной гиперповерхности. Теорема.
Пусть х-нехарактеристичгская . точка на начальной гине рповерхн ест и. Тогда суи(еапвует такая окрестность точки х, что задача Коши для уравнения (1) в втой окрестности имеет решение, и притом только одно. 4 По теореме о выпрямлении можно выбрать вблизи х координаты так, что компоненты поля а будут иметь вид (1, О, ..., О) н уравнение у примет вид хт=О (рис. 44). линзиныв н квхзнлинеиные гоовнення Задача Коши в этих координатах принимает вид ди дк — — О, и ~,, -о = ~Р.
(3) дх« Единственное (в выпуклой области) решение: и(х„х') =ф(х'), где х'=(х„..., х„). ~ Замечание. Решения любого обыкновенного дифференциального уравнения образуют конечномер кое многообразие: каждое решение задается конечным набором началь- )о иых условий. Мы видим, что у линейного однородного уравнения первого порядка с частными производными относительно функции от и переменных «столько решений, сколь- Рис. 44.
ко существует функций и — 1 переменных». Мы увидим далее, что аналогичное явление имеет место и для общих уравнений с частными производными первого порядка. х В. Линейное неоднородное уравнение первого порядка. Определение. Линейным неоднородным уравнением первого порядка называется уравнение Т,,и=Ь, (4) где а заданное векторное поле на мнопюбразии М, а Ь заданная функция на М.
В координатной записи а,— + ... +а„— =Ь, ди ди дк« "'' " дхи где а„=а (хм ..., х„), Ь=Ь(хм ..., х„). Задача Коши для уравнения (4) ставится так же, как для однородного уравнения (1). Теорема. Задача Коши для уравнения (4) в достаточно малой окрестноапи любой нехарактеристической точки хо начальной поверхности у имеет решение, и притом единственное; оно дается формулой « и (у (х„г)) = ~р (х) + ~ Ь (й (х, т)) йт, о ди Ь,. и!,.-о=~р(х'). где у(х, г)-значение решения уравнения характеристик (с начальным условием а(х, 0)=х на начальной поверхности) в момент времени Г.
4 После лоыпрямления поля а приходим к задаче [гл. и УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Единственное решение и(х„х')=<р(х')+~ Ь5, х')й$. ~ о Иными словами: уравнение (4) означает, что производная решения вдоль характеристик — известная функция, Ь. Стало быть приращение решения вдоль отрезка характеристики равно интегралу от функх у(х г) ции.Ь вдоль этого отрезка (рис.
45). Г. Квазилинейное уравнение первого у порядка. 'Определение. Квазилинейныгг уравнением первого порядка называется Рис. 45. уравнение д ~-ии = Р. (6) где а(х)=а(х, и(х)),р(х)=Ь(х, и(х)). Здесь х — точка многооб- я) разия М, и — неизвестная функция на М, а — заданное векторное поле касательное к М, зависящее как от параметра от точки и~ 1, Ь вЂ” заданная функция на Мхй= ге(М, К). В координатах квазилинейное уравнение (б) имеет вид а,(х, и) —. + ... + а„(х, и) — „= Ь (х, и). (7) ., Отличие от линейною уравнения лишь в том, что коэффициенты аи и Ь могут зависеть от неизвестной функции. Рис.
46. Рис. 47. П р и ме р. Рассмотрим одномерную среду, состоящую из- частиц, движущихся по прямой по инерции; так что скорость каждой частицы остается постоянной. Обозначим скорость частицы, находящейся в момент г в точке х через и(х, 1). Запишем урав- нение Ньютона: ускорение частицы равно нулю. Если х=ф(() движение частицы, то ф= и (<~(г), г) и . ди .
ди ди ди ф =' — ср+ — и — + —, дх д~ дх дг ' 83 ЛИНЕННЫЕ И КВАЗИЛИНСИНЫЕ УРАВНЕНИЯ Следовательно, поле скоростей и среды из невзаимодействующих частиц удовлетворяет квазилинейному уравнению ии„+и,=О. 3 а д а ч а. Построить график функции и ( °, Г), если график функции а (., О) имеет представленный на рис.
48 вид, Ответ. См, рис. 47. При Г»й гладкого решения не существует. Начи. ная с этого момента частицы в среде сталкиваются. (Физическое условие движения по ннерции, т. е. отсутствия взаимодействия между частицами, становится- нереалистическим и должно быть заменено другим физическим условием — описанием характера столкновения. Так возникают так называемые ударные волны — функции вида, изображенного на рис. 48, удовлетворяющие уравнению (8) вне разрыва и дополнительным условиям физического проискождения на разрыве.1 Рис. 48. Рис. 49.
, Д. Характеристики квазилинейного уравнения первого порядка. Мы только что видели, как полезно перейти от поля сиоростей к движению частиц для специального квазилинейного уравнения (8). Нечто подобное можно сделать и в случае общего уравнения (6). При этом роль движения частиц играют некоторые кривые в пря-. мом произведении области определения и области значений неизвестной функции; зти кривые .называются характеристиками квазнлинейного уравнения.
Квазилннейное уравнение (6) относительно неизвестной функции и; М -ь(с а а(а, а(ан и = о (Х, и (Х)) (6) означает, что если точка х выходит из хе и начинает двигаться по М со скоростью а(х„и,), то значение решения и=из начинает меняться со скоростью Ь(хе, иэ). Ннымн словами, вектор А(х„и,), приложенный в точке.(хе, ие) пространства Мх(ч и имеющий компоненты а(х„и„) вдоль М и Ь(ха ие) вдоль Й, касается графика решения (рис. 49). Определение. Вектор А(х„и„) называется харстстеристическим вектором квазилинейного уравнения (6) в точке (хэ, ие).
Характеристические векторы во всех точках пространства Мх(с образуют векторное поле А. Это поле назьвается хараоперисти- уРАВнения с чАстными пРоизВодными [гл. 2 чгским векторным полем квазилинейного уравнения (6). Фазовые кривые характеристического векторного поля называются характгристиками квазилинейного уравнения.
Дифференциальное уравнение, заданное полем фазовой скорости А, называется уравнением характгриспшк. Пример. Пусть М есть [ч" с координатами (х„..., х„). Характеристическое поле задается своими компонентами; нх значения в точке (х, и) равны ат(х, и), ..., а„(х, и); Ь(х, и). Уравнение характеристик имеет вид х,=ат(х, и)...
х„=а„(х, и); й=Ь(х, и). Задача. Найти характеристики уравнения среды на невааимодействующвх частиц ии,+и[=о. Ответ. х=и, )=1, й=о. Характеристики — прямые х=а-[-Ы, и=Ь. Замечание. Линейное уравнение является частным случаем квазилинейиого, однако характеристики линейного уравнения — не то же самое, что характеристики того же уравнения, рассматриваемого как квазилинейное: характеристики линейного уравнении лежат в М, а квазилинейного — в М хР.
Характеристики линейного уравнения †это -проекции характеристик тою же ' уравнения, рассматриваемого как квазилинейное, из М хй на М. Е. Интегрирование квазнлииейного уравнения первого порядка. Пусть А — характеристическое векторное поле квазилинейного уравнения (6). Предположим, что это поле нигде не обращается, в нуль. Тогда это векторное поле определяет поле направлений. ', О п р ед е л е н и е. Поле направлений характеристического век- торною поля квазилинейного уравнения называется харакпмристи- чгским полгм направлрний этого уравнения. Характеристики квазилинейного уравнения являются интеграль- ными кривыми характеристического поля направлений.
Пример. Уравнение характеристик в случае М 1ч" с коор- динатами (х„..., х„) принято записывать в так называемом сим- мгтричном виде '[Хт Вке ~~а ат аа "' в„ означающем коллинеарность касательной к характеристике с харак-. теристическим нектором, Теорема. Функция и тогда и только тогда являгп[ся рви[г- нием квазилингйного уравнения, когда гг график является инте- гральной поверхностью для характгристичгсксго поля направлгний. < Это очевидно, так как уравнение (6) выражает касание графика с характеристическим вектором. [и ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ След ст в и е. Функция и тогда и только тогда является решением квазилинейного уравнения, когда ее график содержшп вместе с каждой своей точкой интервал характеристики, проходяи(ей через эту точку.
4 См. п. А. ~ Таким образом, нахождение решений квазилинейного уравнения сводится к отысканию его характеристик. Если характеристики известны, то остается лишь составить из них поверхность, являющуюся графиком функции: эта функция будет решением квазилинейного уравнения, и все решения получаются таким способом. Ж. Задача Коши для квазилннейного уравнения первого по- 1 рядка. Пусть у ~ М вЂ” гиперповерхность (подмногообразие коразмерности 1) в многообразии М и пусть ф: у-~Й вЂ” гладкая функция (рис. 50). Определен ив. Задача Коши для квазилинейиого уравнения (б) с начальным условием ф на у состоит в том, чтобы отыскать решение и, которое на у обращается в ф.
и Г Решение этой задачи легко свести к решению задачи Коши для поля харак- гх, л теристических направлений. Рассмотрим график функции ф: у~И. Этот график является гиперповерхностью у н в прямом произведении у х х. Поскольку у вложено в М, мы можем рассматривать график Г функции ф как подмногообразие (коразмерности 2) в М х (о Рес. 50. (рис. 50). О п р е д е л е н и е. Начальным подмногообразием для начального условия ф на у называется подмногообразие Г~Мхй, являющееся графиком ф на у.
Таким образом, начальное многообразие Г задает как гиперповерхность у в М, так и начальное условие ф на у. Определение. Начальное условие (у, ф) называется нехарактеристическим для квазилинейного уравнения (6), в точке хо из у, если вектор а(хо, и,) (и,=ф(х,)) в этой точке не касается поверхности у (рис. 50). (Замечание. Если уравнение линейно, то вектор а(х, и„) ие зависит от ио и поэтому можно определить нехарактеристические точки поверхности у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
