1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Его проекция в нормальное просгрансво к оси х в втой точке определяет вектор нормального расслоения. Решения уравнения в вариациях Определикп, таким образом, кривые в пространстве нормального расслоения. Оказывается, зти иригыг иг загисят от того, какая система координат ислогьзогагась дгя из построения; именно в этом смысле мы и говорим, что уравнение в вариациях можно рассматривать как уравнение в нормальном расслоении. Доказательство выделенного утверждения легко извлечь, например, нз доказанной выше леммы.
Вобочначеннях леммы доказываемое утзержденне означает, что если Р(Х, 0) Х и Фз †линейн по у и р член разложения Ф в ряд Тейлора по У и Р, то Фг(Х, 'г', Р) Фг(Х. )г, Р). Последнее Равенство легко следУет нз формул леммы. Итак, заданная уравнением в вариациях структура локально-проективной плоскости задана на нормальном расслоении. Ш 3'. Пргобритоганиг загигимой лгргмглиой.
Рассмотрим локальный диффеоморфизм плоскости (х, у), заданный подстановкой у=О(Х, 2), х Х, перенодящий точку с координатаыи (х. у) в точку с координатами (Х, 3). 50 сппымлльмып урлвнкния (гл. ь Л е и м а. Уравнение Пзу/йхз=Ф (х, у, р), р= ну/йх, преобразуется указанной подстановкой в уравнение йети/йХз=Ф(Х, Е, П), П=йЕ/йХ, гдг Ф(Х, 2, П)=0 ~Ф(Х, 0(Х, Е), О+Пбх) — б — 2Пбх — Пьб 1; 1 здесь штрих еспв частнол производная по Х, аргумешпаии у 0 и ее производных всюду являются Х и 2.
«(Пусть у=о(х) — решение исходного уравнения, Я=У(Х) — его образ. Тогда =б'+У'0 (здесь и далее аргументы у 0 и ее производных — Х и У (Х)). Далее, —,=0 +20;У +О У +Ох У =Ф (Х, б, б +ХО,). йзо Находя У" из последнего равенства, получаем формулу, приведенную в лемме. )м Из доказанной леммы непосредственно вытекают Следствие !. Пусть Ф=О. Тогда Ф вЂ” многочлен нр выше второй сте- пени относшпельно П. С л едет в не 2. Пусть Ф вЂ” многочлен не шягю и-й степени относшпельно р, и) 2. Тогда Ф-многочлен не вьвие п-й степени относительно П. 4'.
Вычисление квадратичных членов. Рассмотрим локальный днффеоморфизм плоскости, заданный подстановкой -Р(Х, 2)=Х+/(Х)2+0(!2Р), у=0 (Х, 2) =2+2(Х) 2з+О (~ 2 ~ь). Л е м и а. Уравнгние йеу/йхз=Ф(х, у, р), р=йу/Их, Ф=б()у(з-)-!р(з) преобразуется указанной подстановкой в уравнение й 2/йХ =Ч (Х, 2, П), П=й2/йХ, где Ч~ (Х, Е, П) — Ф (Х, 2, П) ( () (Х, Е, П) + О (( Я )г ).
! П (ь) () = аЕз+ ()ЕП+ТП', ,и = — й", й = — 4д'+/', у = — 2у+ 2/' (в качестве аргумента у /, й и их щюизводных подставлено Х). 4 Доказательство получается применением лемм о преобразовании сначала независимой, а затем зависимой переменной. Разлагая правые части полученных там формул,в ряд по (Е, П) и оставляя лишь квадратичные члены, получим в качестве добавки к квадратичным членам Ф указанную выше величину ().)ь 5'. Приведение квадратичных членов. Обозначим квадратичные члены исходной правой части Ф через Фз Ауз+ дур+ Сре. Тогда квадратичные члены для преобразованного уравнения будут т,— (А — 'й') гь+( — 42 +Р) 2П+(С вЂ” 22+2/) П* (у функций А, В, С /, й и их производных в качестве аргумента подставлено Х, $6] ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА совпадающее, впрочем, с х вдоль рассматриваемого решения).
Непосредственно проверяется Лемма. Величина 1 = 6А — 2В'+ С" не менлетсЯ пРи пеРеходе от Фэ к Чгз. Выбирая произвольные функции ) и й, можно аннулировать дна нз трех коэффициентов А, В, С (сохраняя величину /). В частности, выберем ) и й из условий 4у' — Г=В; 2й — 2Г'=С. Тогда получим Ч' =А2э, Я=1)6, что и доказывает теорему.
)Р В. И нфннитезимальная недезарговость. Система координат, в которой дифференциальное уравнение второго порядка записывается вблизи графика фиксированного своего решения в виде йу]й =А() у +О((у]з.+]р]е), р=йу]й, определена неоднозначно. Исследуем, в кайой мере коэффициент А, препятствующий выпрямлению семейства решений и измеряющий инфинитезимальную недеззрговость в данной точке по данному направлению, инвариантен, т.
е. Ее зависит от способа приведения к нормальной форме. Т е о р е м а. Дифференциальная форма степени 5/2 вдоль графика нулевого раиения ю А (х) ! йх (6Ге определена инвариантно, с точностью до мультипликативной постоянной. Иными словами, если (Х, ]') — другая система координат, в которой уравнение также записывается в-нормальной форме, причем решению ]'=О отвечает у О и коэффициент А (х) заменен на А (Х), то Л (Х) = СА (х) ] йх/йХ ]з!г где С не зависит от х.
Мы будем называть форму ю еформой недгтареомкти вдоль данного решенияе. ч( Наиболее общий днффеоморфизм, оставляющий на месте ось у=О, переводит точку (х, у) в точку Х )ь(х)+у)т(х)+..., ]г=уйд(х)+угйэ(х)+.... Вектор нормального расслоения, приложенный в точке х и имеющий у-компоненту $, переходит при этом в вектор, приложенный в точке ]ь(х) и имеющий У-компонентУ йт (х) 6. Проективная структура нормального расслоения определена инвариантно (см.
п. Б), поэтому преобразование (х, $) ь-п(Гь(х), ут(х) $), построенное по дифферморфизму (х, у) ь-ь(Х, г'), переводящему некоторое уравнение в нормальной форме в уравнение в нормальной форме, должно быть проектнвным. Отсюда мы находим ах+ Ь С Гь — Яз = —. в сх+й ' сх+й ' Всякнй днффеоморфизм, оставляющий на месте ось у О и сохраняющий проективную структуру се нормального расслоения, можно поэтому представить в виде произведении специального преобразования Х=)ь(х), г'=ууг(х) н диффеоморфизма, сохраняющего нормальное расслоение поточечно: (Х, У) (Х+У(,(Х)+..., 'г'+]'эй (Х)+...).
Последний диффеоморфизм можно представить в виде произведения преобразований зависимой и независимой переменной, рассиотренных в п. Б. Поэтому спныилльыып трлпнпнип (гл. г составленный из квадратнчных по у и р членов правой части уравнения инвариант 1 (см. п. Б, Р) при этом днффеоморфиэме не меняется.
Исследуем пойедение 1 при специальном проективном преобразовании. Всякое проектпвное преобразование прямой разлагается в произведение сдвигов, растяжений и преобразования х ь-ь 1/х. Величина 1 инвариантпа относительно сдвигов, а при растяжениях х и у лишь умножается на постоянную.
Поэтому достаточяо рассмотреть ее поведение при замене х 1/Х, у= У/Х. Вычисляя производные Р=йУ/йх и йР/йХ=йгУ/йХз, находим Р=у — рх, йР/йх ' Х зйр/йх (где р йу/йл). Следбвательно, йзУ/йХэ-Х-эА (ИХ) (У/Х)э+О(! Г)з+! Р Р). Поэтому коэффициент при г'з равен Х-зА (х). ~ Г. Построение скаляркых инвариантав. Из определенной выше дифференциальной формы ю можно получить скалярные функции, инвариантно связанные с уравнением. Прежде всего заметим, по с дифференциальной формой ю (любой степени) на одномерном мнопюбразии инвариантно связано векторное поле (форма степенн — 1): значение формы на векторе этого поля в каждой точке равно 1.
Например, с формой А (х) (йх)з/з инвариантно связано поле о(х) д/дх, где а А э/з. Те о р ем'э. Пусть о(х)д/дх — ггюпорног лоле на прямой. Тогда следующие скалярные функции сгязаны с полем инеариантно относшпгльно нрогктионмх преобразований прямой: 1 2с'о — о'з, 1э 2о"'о', ..., 1„о/„' Здесь штрих означамн нроимодную по х. н( Инвариантность 1э легко проверить непосредственным вычислением: достаточно рассмотреть замену х= 1/Х, так как инвариантность относительно сдвигов и растяжений очевидна.
Производная функции вдоль заданного поля связана с функцией и полем инвариантно не только относительно проектнвных преобразований, но н относительно всех диффеоморфизмов прямой. Поэтому инвариантность всех 1„ вытекает иэ инварнаитностн 1,. )ы 3 а и е ч а н и е 1. Инвариант /э построен из следующих соображений. Алгебра Ли проективной группы прямой порождена полямн д/дх, хд/дх, хэд/дх ").
Поэтому каждое векторное поле в любой точке с точностью до квадратичных членов включительно можно аппроксимировать проективным полем (полем из алгебры Ли проектнвной группы). При проектнвных преобразованиях проектнвное поле аппроксимирующее исходное поле в исходной точке, переходит в новое проективное поле, аппроксимирующее преобразованное поле в точке-образе. Действие проективных преобразований.прямой на трехмерном пространстве проективных полей есть присоединенное действие проективной группы на своей алгебре Ли. Но такое действие ') Соответствующие однопараметрические группы проеятнвных преобразований имеют в аффинных координатах вид у х=х+1, у'х=ггх, йгх= (х/1 †/х) и, следовательно, в однородных каор/гннатах задаются унимодулярными матрицами второго порядка (О 1)' ( 0 ехр( — 1/2))' ( — 1 1) Поэтому матрицы производящих операторов суть (О 0)' ( 0 — 1/2)' ( — 1 0)' Б Б! ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА сохраняет квадрэтычную форму нэ эйгебре.
Действвтельно, еслн записывать проектнвные преобразования мэтрыцэмы второго порядка, з проектявные поля— матрицами соошетствующнх вм пронэводящых операторов однопэраметрыческвх групп, то действие преобрэзовзывя я нз поле о записывается как произведение мзтрвц ЕРВ г. Но де(йод ' де! о. Поэтому определитель мэтряцы о является квэдрзтячной формой нв алгебре Ля проектявных полей, ннварвантной относительно прнсоединевного представления. Следовательно, этот же определитель, вычисленный для проектнвного поля, аппрокснмнрующего заданное векторное поле, является скалярам, связанным с данным полем инвариантно относительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
