1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Например, одно- параметрическое семейство — это кривая в функциональном пространстве (жирная линия на рисунке). Кривая в нашем функциональном пространстве может пересекать гиперповерхность особых случаев. Если это пересечение происходит «под ненулевым углом» (трансверсально), то оно сохраняется при малом шевелении семейства: всякая близкая кривая пересекает гиперповерхность особых случаев в некоторой близкой точке (нежирная линия на рисунке).
Таким образом, хотя каждый индивидуальный член семейства может быть приведен в общее положение сколь угодно малым шевелением; нельзя добиться того, чтобы все члены семейства сразу были общего положения: при деформации семейства можно избежать случая не общего положения для каждого фиксированного значения параметра, но при некотором близком значении параметра этот случай не общего положения все Равно возникнет. На гиперповерхностях особых случаев в нашем функциональном пространстве, вообще говоря, есть свои особенности (например там, где одна нз гиперповерхностей пересекает другую, что ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ ИГЛ. 6 соответствует одновременному появлению двух вырождений (см.
рисунок 103)). При исследовании общих одиопараметрических семейств этими особенностями гиперповерхностей особых случаев можно пренебрегать. Действительно, множество всех этих особенностей имеет в функциональном пространстве коразмерность не менее 2. Поэтому кривую в функциональном пространстве сколь ' угодно малым шевелением можно снять с этих особенностей, так что она будет пересекать гиперповерхности особых случаев лишь в точках общего положения. Итак, в однопарамегрическом семействе общего положения встречаются как неустранимые лишь, простейшие вырождения, соответствующие неособым точкам гиперповерхности особых случаев.
Эти вырождения называются вырождениями коразмерности 1. Изучение вырождений коразмерности 1 позволяет непрерывно перейти от любой общей точки функционального пространства к любой другой общей точке, так как делят функциональное пространство только множества, коразмерность которых не больше единицы. Во время перехода мы, вообще говоря, должны пересекать поверхности вырождений коразмерности один. Изучение особенностей коразмерности один позволяет описывать бифуркации, происходящие при пересечениях этих поверхностей.
При исследовании й-параметрических семейств общего положения неустранимыми будут лишь вырождения, коразмерность которых не превосходит я. Все прочие вырожденные объекты образуют в функциональном пространстве множество коразмерности больше й, и от них можно избавиться сколь угодно малой деформацией Й-параметрического семейства.
Чем больше коразмерность вырождения, тем труднее исследовать это вырождение и тем (как правило) меньше пользы от такого исследования'. Изучение особенностей большой коразмерности Й разумно проводить лишь в том случае, когда мы интересуемся не индивидуальным объектом, а Й-параметрическим семейством. Но тогда естественным объектом изучения является не индивидуальный объект (скажем, векторное поле со сложной особой точкой), а столь большое семейство, что особенность рассматриваемого типа при малой деформации семейства не исчезает. Это простое соображение Пу анкаре показывает тщетность столь. большого числа исследований в теории дифференциальных уравнений 'и в других областях анализа, что его всегда несколько опасно упоминать.
В сущности, всякое исследование вырожденного случая должно сопровождаться вычислением соответствующей коразмерности и указанием бифуркаций в семействе, для которого рассматриваемое вырождение неустранимо. С этой точки зрения, основанной на изучении й-параметрических семейств, можно вовсе пренебречь исследованием вырождений бесконечной коразмерности, так как пт них можно семелствА и деФОРмАпии избавиться малым шевелением любого й-параметрического семейства при любом конечном й .
Разумеется, вырожденные случаи могут быть полезны в качестве легко исследуемых первых приближений теории возмушений. Б. Отступление о случаяк бесконечной кораамерности. Нногда приходится исследовать и вырождения беснонечной коразмерностн. Например, гамильтоновы системы или системы с какой-либо группой симметрий образуют подмногообраэие кораэмерности бесконечность в пространстве всех динамических систем. В таиих сл) чаях часто удается заранее сузить функциональное пространство так, чтобы коразмерности изучаемых вырождений стали конечнымя (например, ограничиться только гамнльтоновыми системами и их гамильтоновымн деформациями).
Впрочем, такое сужение функционального пространства не всегда легко сделать. Рассмотрим, например, краевые задачи для уравнений с частными производными. Речь идет о пересечении двух подмногообразий в функциональном пространстве: пространства решений н пространства функций, удовлетворяю.
щих граничным условиям. Оба зти многообразия имеют бесконечную размерность и бесконечную коразмерность. Анализ этой ситуации требует умения различать разные бесконечные размерности и кораэмерпосгн: условие обращения в нуль функции одного переменного, шютроенной по данному объекту, выделяет в функциональном пространстве чмногообрззие меньшей (бесконечной) коразмерностиэ, чем условие обращения в нуль функции двух переменных.
Одной из простейших задач, где требуется такое исчисление бесконечяых коразмерностей, соответственно ядрам и коядрам, состоящим иэ функций на многообразиях разного числа измерений, является задача с косой производной. . В этой задаче на сфере, ограничивающей я-мерный шар, задано векторное поле, касательное к «-мерному объемлющему пространству. Требуется определить гармоническую в шаре функцию, Производная которой по направлению этого поля равна заданной граничной функции.
Рассмотрим, например, случай и 3. В этом случае поле общего положения касается сферы на некоторой гладкой кривой. На этой кривой нмеются еще особые точки, где поле касается самой кривой. Строение поля в окрестности каждой иэ этих особых точек стандартное: можно доказать, что при любом и для поля общего положения *) в окрестности каждой точки границы поле задается в надлежащей системе координат одной из формул вида хэдг+хэдз+...+хада !+да, й(л, где да=д/дха и на границе их=о (см. С. М.
В пшик, О задаче с косой производной, Вестник ИГУ, сер. матем., 1 (1972), 21 — 28). Задача с косой производной должна, по-видимому, ставиться по такой схеме. Многообразия касания поля с границей, многообразия касаняя поля с многообразиями касания и т.
д. делят границу на части разной размерности. На некоторых нз этих частей границы следует задавать граничные Условия, на других же, напротив, граничная функция сама должна удовлетворять определенным условиям для существования классического решения задачи. Несмотря иа обилие исследований по задаче с косой производной (особенно полно задача исследована в работах В. Г. Мазьи, которым предшествовали Работы М. Б. Малютова и Ю. В. Ягорова с В. А.
Кондратьевым), описанная выше программа реализована лишь в двумерном случае (когда граница— окружность). ') Т. е. для всякого поля иэ некоторого открытого всюду плотного в функ-. циональном пространстве гладких полей множества. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ [гл. Б В. Пространства струй. Исследование бифуркаций в А-параметрических семействах общего положения есть в сущности исследование функционального пространства, разбитого на части, соответствующие разным вырождениям, с пренебрежением вырождениями коразмерности большей, чем А.
Чтобы избавиться от бесконечномерности самого функционального пространства, разработан специальный аппарат конечномерных аппроксимаций: многообразия А-струй (термин /е/ введен Эресманом). Ниже фиксируются термины и обозначения, которыми мы будем пользоваться. Все утверждения этого и следующего пунктов совершенно очевидны. РБС. 104. Пусть /: М"'-+.А/" — гладкое отображение гладких многообразий (можно считать, что М и /1/— области в эвклидовых пространствах соответствующего числа измерений). Определение. Два таких отображения /„ /Б называются касающимися порядка А илн Й-касающимисл в точке х из М, если (рис.
104) ряб,(у), /,(у)) =о(рьм (х, у)) при у-+ х. Здесь р означает какую-либо риманову метрику; 'легко видеть, что свойство А-касания от выбора метрик р,ч и рл не зависит. Два отображения 0-касаются в точке х, если их значения в точке х совпадают. Касание порядка А является отношением эквивалентности (/, /Б=Ф/~ /1 /1 /Б /з — Р/г /в. 1~ /1). Определение. А-струей гладкого отображения./ в точке х называется класс Й-касающихся в х отображений. Обозначение. /, (/) = (/,: /„Й-касается / в точке х).
Точка х называется истоком, а точка /(х) устьем этой струи. Выберем координаты на М и на Л/ в окрестностях точек х и /(х) соответственно. Тогда Й-струя любого отображения, близкого к /, в любой точке, близкой к х, задается набором коэффициентов отрезка ряда Тейлора степени А. Таким образом, ппи фиксированных координатных системах струю порядка Й можно отождествить с набором коэффициентов отрезка ряда Тейлора степени А. Пример. 0-струя отображения / оси х в ось у в точке х задается парой чисел (х, у), где у=/(х). 1-струя задается тройкой чисел (х, у, р), где р=й//с(х.
Кроме касания порядка А есть еще одно отношение эквивалентности, приводящее вместо струй к росткам отображений. Определение. Два отображения, заданные в двух окрестностях одной и той же точки, имеют общий росток в этой точке, СЕМЕЙСТВА И ДЕФОРМАЦИИ если они совпадают в некоторой третьей окрестности этой точки (третья окрестность может быть меньше пересечения первых двух). ростком отсбразсения,в точке называется класс эквивалентности по введенному отношению эквивалентности.
Для ростка, как н для отображения, можно определить его () струю в точке, 1-струю и т. д. Рассмотрим множество всех Ьструй ростков *) гладких отображений из М в У во всевозможных точках из М. Определение. Множество всех й-струй ростков отображений из М в У называется пространстеом й-струй отображений из М в У и обозначается через Р(М, У)=простпанство к-струй отображений из М в У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
