1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 46
Текст из файла (страница 46)
0< !«1< г Пример. Функция /(г) ег имеет норму !е/ независимо от радиуса полицнлиндра. 3 а и е ч а и н е. Удобство введенной нормы состоит в ее инвариантиостя относительно изменений масштаба: для всякого козффициеита растяжения н (н/ н-'(~„=1/),. Значения функции / могут быть ие числами, а элементами нормированного пространства, например, векторами, матрицами и т д. Пусть Ф вЂ” оператор, действукпцяй на функции описанного выше класса «). Пусть д, ы, (1 — положительные числа, и пусть О < г < 1.
О п р е д е л е н и е. Оператор Ф имеет порядок (61 ы ~ 6) г если для любого 6 из интервала (О, 1/2) и для любого г из (О, 1) ЦФ((/))'1 е<'1/'146-п, как только 3/),<66. Мы будем записывать зто соотношение в виде Ф ((/)) -)/в(ы ) (1), и/ьи, короче, Ф (И) -.(/в Оператор имеет порядыс 4, если существуют постоянные а и 6 такие, что ои имеет порядок (д; а ) (1) (существеино, что а и 6 не зависят от /, от г щ (О, 1) и ое деи(0, 1/2)). Пр к мер 1. Рассмотрим оператор, переводящий правую часть а гомоло', гического уравнения в его решение й. Этот оператор имеет порядок 1, если (Ав) типа (С, «).
Действительно, нужное неравенство доставляется леммой 1. ') Мы будем обозначать одной буквой операторы, действуюшме на функции яз классов е разными г, при условия, что они совпадают как операторы ца пространстве ростков функций, подобно тому, как в обычном анализе ие меняют обозначения синуса, меняя область определения, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ 197 Точно так же из леммы 2 следует, что опвратор, гмрпюджций правую часть а аомояогичвского уравнения в функцию ИЛ, имеет порядок 1: Ь-~а. И л-4а,. П р Имер 2.
Рассмотрим локальный диффеоморфизм Н, Н(г)=г-(-Ь(г). Обратный диффеоморфизм запишем в виде Н з(г)=г — у(г). Рассмотрим оператор О, переводящий И в у. Оператор О имеет порядок 1, т. в. у-ЗЬ. ч( Заметим прежде всего, что из оценки Коши вытекают следующее неравенство: п ри ! г ! ~ гв ) ди;/дг/ ! к ( ь 1ь/(1 — в а/г). (1) Если 1Ь!(„ ( ОР и б достаточно велико, то правая часть последнего неравенства сколь угодно мала. Теперь у строится как предел итераций: угьг(г)=Ь (г — уг (г)), уз=О.
Сходимость при (г((гв а и оценка д-~Ь легко следуют теперь из теорем о сжатых отображениях. )м П'р амер 3. В обозначениях примера 2 Ь вЂ” 'у-(Ьз. Ю Действительно, по определению функцяи у, Ь (г) — у (г) И (г) — Ь (г — у (г)). Пользуясь неравенством (1) и полученной выше оценкой Ы„-а~И|,б '" получаем при ( г ! ~ гв-а ! Ь (г) — у (г) ! ( С (Ь 1, (1 — в а/ ) ~ г ( Ь ),б а. )ь заметим, что в наших обозначениях 2/-ч/, /з -4/; если /г -~/з и /ц-~/э то /1-~/3 Распространим введенные выше обозначения иа операторы от нескольких функций.
пусть оператор Б переводит пару функций ч, ь в функцию $. пусть ф — многочлен. Мы будем писать б -~ф (ч ~). если существуют такие положительные постоянные (а; бю бг), что для любого б из интервала (О, 1/2) и для любого г из (О, 1) выполняется неравенство !!Б((ч), [1))!1„е ч б!ч) ИИб а, как только (1Ч)„(бР1, '1ь!!г(ббг. Здесь постоянные а н б не должны зависеть от т), ~, от ггм(0, !) н бш(0,1/2). Если Ч-1ф(о, т), то б-~ (о,т),9). 'В р н мер 4. Определим оператор Б формулой $ (г) =ч (г — ь (г)) — ч (г), тогда | -(Ч~.
щ Доказывается с помощью того же неравенства (1), которое мы исполь. завели в примерах 2 н 3 выше. ~ Д. Оценка остаточного члена. Выпишем явно' остаточный член Я. определенный в п. Б. Мы будем пользоваться обозначениями Н (г) =,г -1-Ь (г), Нт (г) = г — й (г). НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ [Гл, з По определению [1 (г) =(Н ° А. Н-') (г) — Лг — [а (г) — ЛЬ (г)+Ь (Лг)[.
Представим [1 в виде [с=с[г+Из+Из где Яз (г) = Л (Ь (г) — у (г)), Яз (г) =а (г — у (г)) — а (г), [сз (г) = Ь (Лг — Ля (г) + а (г — у (г))) — Ь (Лг). Для удобства дальнейших оценок представим Я в виде оператора от трех аргументов а, Ь н и Ь ° Л. Введем операторы б, б([Ь])=у,' Е, Е([а], [у]) (г)=а(г — у(г)) — а(г). В этих обозначениях [11 ([Ь]) Л (Ь вЂ” б ([Ь])), /сз ([а] [Ь]) Е ([а] б ([Ь])) )[з([и], [а), [Ь])=Е([и], [о]), где о (г) = у (г) — Л-за (г — у (г)). Прн подстановне и=Ь Л оператор Нт+Яе+Нз превращается в интересующий нас остаточный член Я([а], [Ь]).ПустьЬ~!б (Гб тождество; условие означает, что производная Ь мала).
Оценка 1. Имеют место оценки [гг([Ь])-«Ьз, )[з([а], [Ь[)-«аЬ [[з([и\, [а], [Ь])-«и(Ь+а). 4 Оценка Ят -«Ьз доказана в примере 3 п. Г, неравенство Е ([а), [у)) -« 4 ау — в примере 4. Согласно примеру 2, б (Щ) -«Ь, поэтому Яз ([а), [Ь]) « аЬ. Для введенной выше величины о из уже полученных оценок у-«Ь полу. чаем о -«Ь+а. Следовательно, согласно оценке оператора Е из примера 4, получаем яз-«и(Ь+а) ~ Оценка 2. Пусть У вЂ” оператор, решающий гомологичсское уравнение.
Тогда онсратор Ф, заданный формулой Ф ([а)) = К ([а[, У ([а])), имеет порядок 2; 4 По леммам 1, 2 и 3 п. В вмеем Ь -«а, Ь ° Л-«а, где Ь=У([а)). Сопоставляя это с оценкой 1, получаем Яг (У([а])) -«аз, Кз ([а], У ([а])) -«аз, Яз (У ([а]) ' Л. [а], У ([а])) -«аз. [Ь Б. Сходнмосэь приближений. Окончание доказательства теоремы Зигеля в точности такое же, каи оценки 4 12. я[ [[[ы выбираем последовательности чисел бз/2 д дз/2 бм м мз/з м мз/г дм ге. гг е 'гь гз=е '1/ы Зтн последовательности определяются выбором дь, Н и ге. Число дь выбирается столь малым, чтобы все г были больше ге/2, Опишем выбо числа Ф. С огласно оценке 2, существуют постоянные сс и [) такие, что [Я ([а], У ([а))) [ а ( [а [гьй-а, как только [а]г(3Р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ ОпРеделим аззз )с((аз], У((аз))). ПРедположим, что (аз~, «М б'". Тогда при У ) б применимо предыдупьее неравенство с б=б, й мы получаем ~ Мг б-а бтм-а '3+1 Если (2~2а, то правая часть не превосходит Мз+ь=бзлтг. Поэтому мы фиксируем А() ((3, 2а). Тогда, если ьаз3(, «Мр — — бед. то при всех з будет ~аз1, ~Мз б,. Йаконец, выбираем гз. По условию, начальная функция аз а имеет в начале координат нуль не менее второго порядка. Следователъйо, в неко. торой окрестности точки г 0 |а (г) ) «К ! г р. Отсюда вытекает, что ьаз~ ~КГ Значит при достаточно малом гз условие )аз), «бо выполнено.
Зафиксируем и такое гз. Теперь все числа б„М„Г, определены. При всех з выполнены. неравенства ьа (~ «М . Иэ ннх следуют оденки для В . Поэтому произведения Н, ° ... ° Нт определены прв (г ( «гз(2 и при з-ьсо сходятся к пределу Н. Нетрудно проверить. чго для предельного диффеоморфиэма (з' ° А.зг-ь= = й. ~ Локальная теория бифуркаций Слово бифуркация означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всякой качественной, топологической перестройки картины при изменении параметров, от которых зави. сит изучаемый объект.
Объекты могут быть самые разнообразные: например, вещественные или комплексные кривые или поверхности, функции или отображения, многообразия или расслоения„ векторные поля или уравнения, дифференциальные или интегральные. Если объект зависит от параметров, то говорят, что задано семейство. Если мы интересуемся семейством локально, при малом изменении параметров в окрестности фиксированных значений, то говорят о деформации объекта, 'соответствующего этим значе. пням параметров. Оказывается, во многих случаях изучение всевозможных деформаций сводится к исследованию одной единствейной, из которой получаются все остальные.
Такая деформация, в некотором смысле самая богатая, должна давать все возможные бифуркации данного объекта; она называется нереальной деформацией. В настоящей главе рассматриваются 'главным образом бифуркации и версальные деформации фазовых портретов динамических систем в окрестности положений равновесия и замкнутых траекторий. й 29. Семейства и деформации В этом параграфе обсуждаются общие «эвристическиез соображения, на которых основана теория бифуркаций.
Эти общие соображения принадлежат в основном А. Пуанкаре. А. Случаи общего положения и особые случаи малой коразмерности. При исследовании всякого рода аналитических объектов (например, дифференциальных уравнений, или краевых задач, или задач оптимизации) обычно можно выделить случаи общего положения. семвиства и дафоэмхции Например, из особых точек векторного поля на плоскости точками общего положениЯ ЯвлЯютсЯ Узлы, фокУсы и седла, в то ирами как, скажем, центры разрушаются сколь угодно малым шевелением поля. Изучение случаев общего положения является всегда первоочередной задачей при анализе явлений и процессов, описываемых данной математической моделью. Действительно, сколь угодно малым изменением модели случай не общего положения превращается в случай общего положения, а параметры модели обычно определяются приближенно„ Однако встречаются ситуации, в которых 'естественно возникает необходимость исследования случаев не общего положения.
А именно, предположим, что мы изучаем не идивидуальный объект (скажем, векторное поле), а целое семейство, объекты которого зависят от некоторого числа параметров. Чтобы лучше представить себе ситуацию, рассмотрим функциональное пространство, точкой которого являются наши объекты (скажем, пространство всех векторных полей). Случаи не общего положения соответствуют некоторым гиперповерхностям коразмерности 1 в этом пространстве. Сколь угодно малым сдвигом точка может быть сдви- Рас, 1ОЗ.
нута с гиперповерхности в область случаев общего положения. Гиперповерхносги особых случаев образуют границы областей случаев общего положения (рис. 103). Семейство с й параметрами изображается й-мерным многообразием в нашем. функциональном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
