1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Мы вернемся к этому примеру в 2 34. Б. Топологически версальные деформации. Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений 2 = о(х, е). Локальным семейством (о; х„е„) мы будем называть росток отображения о в точке (х„еь) прямого произведения фазового пространства и пространства параметров. Таким образом, каждый представитель этого ростка задан в окрестности точки (х„е,) в прямом произведении (а не в окрестности точки х, в фазовом пространстве). Эквивалентностью локальных семейств (1) (о; х„е„) и (2) (ич у„, е,) называется росток (в точке (х„е,)) непрерывного отображения Ь, У=Ь(х, е), для представителей которого Ь(, е) при каждом е — гомеоморфизм, переводящий фазовые кривые системы (1) (в области определения Ь) в фазовые кривые системы (2), с сохранением направления движения, причем Ь(х„е,) =у.
Заметим, что при Б~еь точка хь не обязана переводиться агображением Ь(, е) Уо. Локальное семейство (3) (и; х„р ) индуцируется из семейства (1) с помо[цью ростка в точке р, непрерывного отображвния ~р, е = [р([А), где ч[([А ) =е, если и (х, [А) = о(х, [р([А)). Локальное семейство (о, х„, Б,) называется топологически орбипи[льно еерсальной (короче, просто еерсальной) деформацией ростка полл о„= о(., е,) в точке х,, если всякое другое локальное семейство, содержащее тот же росток, эквивалентно индуцированному из данного. Мы будем в дальнейшем иногда говорить о деформациях, эквивалентностях, индуцированных и нереальных деформациях дифференциальных уравнений, имея в виду соответствующие понятия иля векторных полеи.
задающих эти уравнения. Следует подчеркнуть, что существование топологически версаль- ной деформации данного ростка векторнего поля отнюдь не оче- ВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ $ 321 видно; легко привести примеры полей, не допускающих такой деформации с конечным числом параметров (например, нулевое поле).
Однако в тех случаях, когда версальная деформация существует, найдена и изучена, получаемая информация весьма велика. Указание и исследование нереальной деформации является способом концентрированного представления результатов очень полного исследования бифуркаций фазовых портретов. П р и м е р. Деформация х = + х'+ е дифференциального уравнения х= +-ха нереальна.
4 См. предыдущий параграф. й В. Теорема сведения Шошитайшвили. Бифуркация предыдущего примера (рождение или уничтожение пары особых точек) исчерпывает бифуркации в семействах общего положения векторных полей на прямой (см. з 31). В многомерном случае рождение или уничтожение пары особых точек — также случай общего положения. Что происходит при этом с фазовыми портретами? Оказывается, топологически версальная деформация общей вырожденной особой точки в Р" в случае одного нулевого характеристического числа получается из уравнения предыдущего примера простой надстройкой: х=+ ха+и, хе=(х, вен)?, у= — у, уг=.(ч"-; (1) г=г, г ~ )х»--, где и и и,— числа корней характеристического уравненияв левой и правой полуплоскостях.
Например, при п=2 эта система описывает слияние узла н седла (рис.!24). При В = О получается так называемый 'седло-узел. В з 31 мы назвали бифуркационными точками точки в прямом произве- ........,.„.......,., "И ранство значений параметра, для Рис.
124. которых характеристическое уравнение имеет нулевой корень. Т е о р е м а. В пространстве однопараметрических семейств векторных полей всюду плотное*) ножество образуют семейства оби(его положения, которые в Окрестности каждой бифуркационной точки тапологически эквивалентны семейству (1) в окрестности начала координат. *) Как обычно, множество семейств обпгего положения является пересечеииеы счетного числа открытых множеств и открыто в предположении компактиости области определения семейства или при использоваиии тонкой топологии. В В.И. Арвсльд теОРия виоурклций (гл. е Доказательство этой теоремы удобно провести путем редукции к случаю п=1, в котором теорема очевидна (и доказана выше).
Такое сведение, позволяющее уменьшать число фазовых координат до необходимого минимума, можно провести раа навсегда в самой общей ситуации. Рассмотрим локальное семейство векторных полей, зависящих от конечномерного параметра (о; х„в,). Для сокращения записи будем считатй, что х,= 0 ен (ч", в, = 0 я(ч'. Предположим, что поле о(, 0) имеет особую точку х=О и что соответствующее характеристическое уравнение имеет и (соответственно, п„пе) корней в левой полуплоскости (соответственно в правой полуплоскости, на мнимой оси).
Теорема. 17ри сделанных предположениях семейство топологически эквивалентно надстройке над семейством с филовым пространством размерности па 5=та($, е), ЬевР', еяР, У 69 1Ч"-, г ее Й у = — у> й=г, 4 Доказательство этой теоремы имеется в статье А. Н..Шош ит а й ш в и л и, Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки, Труды семинара им. И. Г. Петровского 1, 1975, стр. 279 — 309 (см. также «Функциональный анализ и его приложения», 6, 2(1972), 97 — 98, где теорема впервые сформулирована).
Доказательство проводится по той же схеме, что доказательство 'теоремы Аносова об У-системах: основную часть доказательства составляет построение пити слоений (сжимающегося, растягивающегося„нейтрального, несжимающегося, нерастягивающегося) в прямом произведении фазового пространства на пространство параметров. [Параметры можно трактовать как дополнительные фазовые переменные, которым соответствует уравнение в=О, но при этом надо следить, чтобы при рассматриваемых заменах плоскости е= сопз1 переходили в такие же плоскости.] ~ Существование пяты опоений было, независимо от нужд теории бифуркаций, доказано также 3.
А. Тихоновой (Э. А. Тихонова, Аналогия н гомео. морфизм возмущенной и невозмущенной систем с блочно-треугольной матрицей, Дифференциальные уравнения 6, 7 (1970), !221 — 1229), а также Хиршем, Пью и Шубом (М. %. Н!гзсЬ,С.С. РцйЬ, М. ЗЬць, 1птаг!ап! шш»!(о!бз, ВАМЗ 76, 5 (1970), 1015 — 1019). Случай л, = 0 ранее рассматривался Плиссом (В. А. П л н с с, Принцип сведения в теории устойчивости движения, Изв.
. АН' СССР, сер. матем., 28, 6(1964),.1297 — 1324). Дифференциальное уравнение редуцированной системы 9=ге (й, е) реализуется в исходной системе на некотором гладком и гладко зависящем от е нейтральном подмногообразии размерности пз в фазовом пространстве. Гладкость нейтрального подмногообразия конечна Э ЗЗ1 ПОТЕРЯ УСТОИЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ йбз (растет при е -ьО), и это подмногообразне определяется неоднозначно (как показывают простейшие примеры), Тем не менее, поведение фазовых кривых, включая всю картину бифуркаций, для полного уравнения определяется тем, что пронсходит на указанном нейтральном подмногообразин (н, в частности, не зависит от выбора нейтрального многообразия). А.
Н. Шошитайшвнлн доказал также, что нереальность исходной деформации эквивалентна версальностн редуцированной деформацнн (т. е. версальносги исходной деформации на нейтральном многообразия). Таким образом, при топологнческом исследовании локальных вырождений фазовых портретов вблизи . особых точек, включая исследования всевозможных бифуркаций, можно ограничиться случаем, когда все корни характернстнческого уравнения лежат на мннмой осн. Переход к общему случаю совершается простой надстройкой (прямым умножением на стандартное седло у= — у, г=г). Пример. Из сказанного выше вытекает, в частности, что при рождении пары особых точек в однопараметрнческом семействе векторных полей общего положения нз одной из родившихся особых точек в другую ведет одна (я только одна) фазовая кривая .(для значеннй параметра, близких к бифуркационным). й ЗЗ. Потеря устойчивости положения равновесия Здесь исследуются.
бифуркации фазового портрета днфференциального уравнения. прн переходе пары корней характеристического урайнення через мнимую ось. А. Пример: мягкая и.жесткая потеря устойчивости. Начнем с восходящего к Пуанкаре н Андронову примера одно- параметрического семейства векторных полей на плоскости. Мы запишем его в комплексной форме г =г((от+ е+сгг),. (1) где г=«+ (у †комплексн координата на плоскости 1ч", рассмат-, риваемой как плоскость комплексной переменной г. В предыдущей формуле оз н с — вещественные ненулевые постоянные, которые можно прн желании считать равными .+ 1; е — вещественный параметр. Прн всех з точка г=Π†положен равновесия типа фокус. Этот фокус устойчив пря е(0 н неустойчив прн в) О. Прн В=О линейное приближение дает центр; характер особой точки прн В=О определяется знаком с: с(0 соответствует устойчивости, с)0— неустойчивости.
При пронеденном локальном по г анализе особых точек мы замечаем, что в момент з О особая точка теряет устойчивость, но пропускаем важное обстоятельство, связзииее с втой потерей устойчивости-рождение предельного цикла йь 244 ТБОРия БиФуРкАций 1гл, в (ср. рис. 127). Чтобы не делать такой ошибки, нужно рассматривать окрест- ность нуля в (г, в)-пространстве, а ие в г-пространстве при фиксированном в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
