1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 60
Текст из файла (страница 60)
и Ма кКр акен «Вифуркация Хопфаиеепрнло, женняэ ') (более 350 названий). ") 1. Б. Магзбеп, М. МССгасйеп, Тпе Нор( ВИнгса1гоп апб !1з Арр!!сары опз, Зрг!пйег, 1976. 252 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ ГЛ. б Определение того, на какой режим выходит динамическая система на самом деле при потере устойчивзсти течением Пуазейля, лежит, по мнению специалистов, на грани возможностей современных машин. В этой ситуации не следует, вероятно, пренебрегать качественными предсказаниями, которые можно сделать совсем без.вычислений, опираясь 'на изложенную выше общую теорию бифуркаций.
В рассматриваемой задаче имеется два параметра, сб и й. Следовательно, кроме особенностей коразмерности 1 могут встречаться также и особенности коразмерности 2. Обратим внимание на одну из них, а именно на ту, которая связана с изменением знака с. Вычисления показывают, что +!г) при достаточно большом числе Рейнольдса )т жесткое возбуждение на нижней стороне языка потери устойчивости сменяется мягким. Чтобы посг<0 се~а нять, что происходит в этот е,<П ~г е>а момент, нужно построить дву+ 121 + (г) параметрическое нереальное семейство для такого двукратного вырождения.
Это семейство легко построить, оно имеет вид: сг>0 сг >д г = г ((се+ е, + е,гг+ с,г'г'), (О е >й гЫ гг Рис. 132. (остальные координаты в фа- зовом пространстве отвечают устойчивым собственным числам и не выписаны). Смысл параметров е, и е, ясен из рис. 130; характер перестройки в точке е,=е, =-0 определяется знаком величины с,. Полагая, как и выше, р = гг, получаем для р уравнение р=2р(е,+е,р+с,р'), р)0. В зависимости от знаков е и с возможны следующие случаи: 1'. с,(0, е,(О.-Прн переходе е, от отрицательных значений к положительным система мягко выходит на периодический устойчивый автоколебательный режим (рис.
132). 2'. с, (О, еб ) О. При переходе е, от отрицательных значений к Положительным система жестно выходит на устойчивый периодический автоколебательный режим, родившийся еще до, потери устойчивости положением равновесия вместе с неустойчивым колебательным режимом, садящимся на положение равновесия в момент потери устойчивости. пОтеРя устойчивости положения РАВнОВесия Указанный выше устойчивый предельный цикл мы смогли исследовать вблизи точки смены жесткого режима мягким, так как при этом ои близок к положению равновесия. Однако аналитическое продолжение этого цикла может существовать (вдали от положения равновесия) и при других значениях параметров (сг, гг); мы видим, что его можно искать аналитическим продолжением неустойчивого цикла, садящегося на положение равновесия при жесткой потере устойчивости. Указанный устойчивый цикл— один из кандидатов на роль устаиавливающегося при потере устойчивости режима.
3'. с, ) О, в, (О. Потеря устойчивости мягкая, но рождающийся предельный цикл быстро умирает, слившись с пришедшим издали неустойчивым, после чего в системе жестко возбуждается новый режим. 4'. с,)О, е,)0. Обычное жесткое возбуждение. Таким образом, каков бы ни был знак с„при надлежащем знаке вз паш анализ позволяет установить качественно новое по сравнению с однопараметрическим анализом явление: при с,( (О мы находим явно установившийся при жестком возбуждении режим, а при с, ) 0 мы обнаруживаем недолговечность мягко возбудившегося режима. Чтобы узнать, какой из двух случаев (с, 0 или с,) 0) имеет место в действительности, нужно провести весьма громоздкие вычисления.
В теории гидродинамической устойчивости встречаются разнообразные особенности границы устойчивости и денремент-диаграмм, так что здесь могут найти применение результаты 6 30. Для применений общей теории бифуркаций в теории гидродинамической устойчивости было бы важно исследовать случаи общего положения в задачах с различными группами симметрий, так как во многих гидродинамических задачах область течения Р выдерживает ту или иную группу симметрий (пример — группа сдвигов в задаче о течении Пуазейля; представления втой группы участвуют в исследовании в виде параметра а). Поведение жидкости после потери устойчивости стационарного течения обсуждается во многих работах (см,, например, учебник Л. Д. Ландау, Е.
М. Лифшиц, Механика сплошной среды, М.,' Гостехиздат 1954; 6 27 (Возникновение турбулентности), основан на работе Л. Д. Ландау 1943 года). При этом обычно предполагается мягкий режим возникновения автоколебаний, и исследуется потеря устойчивости предельным циклом. Ландау предположил, что при этом будут возникать условно-периодические движения со все большим' числом частот; несомненно, это объясняется тем, что другие динамические системы не были ему известны. В 1965 году я рассказывал об изложенной выше теории на семинаре Тома в Институте Высших исследований в Бюре. В появившихся пятью годами позже работах Рюэл и Такенс (О.
К не!1е, Р. Тайепз, Оп Гпе па(иге о! ШгЬВ1епсе, Соппп. Ма!Ь. РЬуз. 20 (1971), 167 — 192; 23 (!971)) построили примеры потери устойчивости цикла с возникновением более сложного режима чем условно-периодический, однако их пример носит экзотический характер, так как соответствует очень тощей метричаски (хотя и открытой) части пространства параметров деформации.
Обзор дальнейших эксперименталь- ' ных работ см. в Л В. МсЬ а пйЬ!! п, Р. С. Маг 1! и, Тгапмиоп. !о 1нгЬп!енсе о( а з1а11са11у з(геззеб Пшб зуз!егп, РЬуз. Кеч Ье!!егз, 33 (1974); РЬуз. Кеч. А 12 (1975), 186 — Ж)3. ~гл. в тнопия виеквкации Следует отметить, что для применимости результатов указанных работ нужно, чтобы потеря устойчивости происходила в мягком режиме, тогда кан режим потери устойчивости течения Пуазейля оказался жестким. Д. Вырождения коразмерностн 2. Разобранными выше случаями (рожденяе н уничтожение пары особых точек, рождение нлн уничтожение предельного цикла нз, особой точки) исчерпываются бифуркации фазовых портретов в окрестности особой точки для общих однопараметрнческнх семейств векторных полей.
В двупараметркческнх семействах этн особенности будут встречаться на линиях плоскости параметров, но кроме ннх будут (в отдельных точках плоскости параметров) наблюдаться более сложные вырождения. Среди этих более сложных вырождений неустранимы малым шевелением двупараметряческого семейства следующие 5 вырождений. 1'. Один нулевой корень с.дополнительным вырождением. Прнмер: х=.+ х'+е,х+е, х я (ч (рнс. 133). Легко проверить, что выписанная деформация (топо- логически) версальна; в многомерном.случае версальная деформацня получится надстройкой седла.
Рис. 133. Бнфуркационная диаграмма (для случая + х') изображена на ряс. 133 слева. Полукубкческая парабола делит плоскость параметров на две части. В меньшей части система имеет вблизи х= О три положения равновесия, в большей — одно. Перестройки фазового портрета прн обходе параметра вокруг точки з = О по малой окружности, показаны на ряс. 133 справа. Прямое произведение этой окружности на (одномерное) фазовое пространство есть круговое кольцо, положения равновесия образуют в этом кольце замкнутую кривую, а поведение векторов поля ясно нз ряс. 133. 2ч.
Одна мнимая пара с дополнительным вырождением. Пример' к 2 (кО+ аз+ заев'+ ззйз), е е= О. % ЗЗ1 потеРя устоичивости пОлОжения РАВнОВесия 2% Бифуркационная диаграмма состоит из прямой е, = О и касающейся ее в нуле половины параболы; она изображена на рис. 134 для случая, когда в формуле стоит +г'22, Перестройки фазового портрета при обходе вокруг О по малой окружности показаны на рис.
134 справа. Изображенное на этом рисунке кольцо — прямое произве- Ег дение окружности на плоскости параметров и прямой, на которой от- . кладывается + ~ г~. Окружность на этом рисунке соответствует поло- С жению равновесия г=О, а каждый В предельный цикл изображается двумя точками пересечения радиу- Рзс. 134. са с линией е,+е,)г('+)21'=О, Бнфуркационная диаграмма' и семейство 'над окружностью для случая, когда в формуле стоит — г'гз, аналогичны. 3'. Две мнимые лары. 4'. Мнимая лара и еще один нулевой корвнь. Исследование этих случаев не доведено еще до той полноты, при которой можно выписывать нереальные семейства; более того, неясно, имеется ли в случае двух мнимых пар двупараметрическое (или хотя бы конечнопараметрическое) топологически версалыээе, семейство (даже в предположении нормальной несоизмеримости отношения частот при одновременном их переходе из одной .полу- плоскости в другую).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
