1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Ситуация общего положения — это рождение или смерть пары замкнутых фазовых кривых. У функции последования при этом рождаются или умирают две неподвижные точки. . П р и ме р 1. Рассмотрим отображение оси х в себя, заданное формулой х~ к+х'. Точка я=О неподвижна, и ее мультипликатор 260 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ [гл 6 равен 1. Рассмотрим однопараметрическую деформацию с парамет- ром е, близким к нулю: 16(х) =х+х'+е. Эта деформация топологически версальна. Рассмотрим любое отображейие прямой в себя, имеющее неподвижную точку с мультипликатором 1. Мы назовем эту (вырожденную) неподвижную точку регулярной, если вторая производная отображения в неподвижной точке (в какой-нибудь и тогда любой системе координат) отлична от нуля. Если вырожденная неподвижная точка регулярна, то существуег однопараметрическая топологически -нереальная деформация отображения.
При этом как само отображение, так и его версальная деформация локально топологически эквивалентны указанной выше деформации /, специального отображения /6 в окрестности точки О. Чтобы перейти к многомерному случаю, нужно определить надстройку над построенной деформацией.. П р и м е р 2. Рассмотрим отображение линейного пространства в себя, заданное формулой (у, г, и, о) (2у, — 2г, и/2, — о/2), где у, г, и, о — точки четырех подпространств, прямым произведением которых является наше 'пространство. Мы будем называть такое отобрзжеяие стандартным седлом (размерности пространств, которым принадлежат у и и любые, а г и о — нуль или единица), Рассмотрим любое гладкое отображение, имеющее неподвижную точку.
Предположим, что ни один из мультипликаторов не лежит на единичной окружности. Тогда в окрестности неподвижной точки отображение топологичвски эквивалентно стандартному седлу (это легко следует из теоремы Гробмана — Хартмава, 2 13). П р и м е р 3. Рассмотрим прямое произведение деформации отображения прямой примера 1 на стандартное седло. Мы получим однопараметрическое семейство отображений с параметром е и фазовыми координатами, меняющимися в окрестности нуля: (х; у, г, и, о) (х+х'+в, 2у, — 2г, и/2, — о/2). Эта деформация называется надстройкой над деформацией примера 1.
Она топологически версальна. Теорема. Однопараметрические семейства отображений общего положения топологически эквивалентны выписанному выше в окрестности каждой неподвижной точки с мультипликатором 1 при значениях параметра, близких к тому, для которого мульпшпликатор становится равным 1. 46Г ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕЕАНИЙ э Зи 4 Доказательство в одномерном случае легко. Многомерный случай сводится к одномерному при помощи теоремы Шошитайшвили (Э 32), которая верна не только для дифференциальных уравнений, но и для отображений.
)ь В. 1".лучай мультипликатора — 1. При появлении мультипликатора — 1-замкнутая фазовая кривая гладко зависит от параметра и сама не буфурцируег. Но при этом от нее ответвляется дважды наматывающаяся на нее замкнутая фазовая кривая. Чтобы понять, как это происходит, обратимся. опять к функции последования. Пример 1. Рассмотрим отображение прямой в себя Гь(х)= — х-+ х'. Мультипликатор неподвижной точки О равен — 1. Включим Гь в семейство: Г, (х) = (е — 1) х .+ х', Теорема. Деформация Г, отображения Гь версальна.
Одно- параметричедсое .семейство об4цего положения в окрестности непод- вижной точки с мультипликатором — 1 при значениях параметра, близких к тому, при котором мультипликатор равен — 1, топо- логически эквивалентно выписанному. 4 Рассмотрим любое однопараметрическое семейство отображе- ний прямой, в котором мультипликатор неподвижной точки обра- щается в — 1 при некотором значении параметра. Неподвижная точка гладко зависит от параметра (по теореме о неявной функции). Гладко зависящей от параметра заменой коор- динат можно перенести неподвижную точку в нуль.
Будем теперь делать замены Пуанкаре (см. Э 25), последова- тельно убивающие нерезонансные члены. Эти замены будут гладко зависеть от параметра, если мы будем оставлять члены, становя- шяеся резонансными при критическом значении параметра, не только при этом значении параметра (когда их и нельзя убить), ио также при соседних значениях. В нашем случае резонансные члены — это все члены нечетной степени. Следовательно, семейство можно привести к виду х Лх+ах'+О(~х~'), где Х, а и О гладко зависят от параметра. В семействе общего положения производная )4 по параметру при Х= — 1 отлична ог нуля. В таком случае за параметр можно принять е = 1 +Х. Теперь деформация имеет вид х (е — 1) х+а(е) хь+О(~ х~4).
В семействе общего положения а (О)г~ О. Гладко зависящим от параметра растяжением координат добиваемся а (е) = 4- 1. тпория БиФуРЕАции (гл. а Теперь остается проверить, что член 0 не влияет на топологнчзский тип семейства. Рассмотрим квадрат нашего отображения: х (е-1)'х+(е-1)аха+а(е — 1)эха+0()к~э). Каждая точка х сдвигается на Ь* — 2е(1+...) х — (2а+...) ха+О(!х!а), где ... означает 0(е). Нулевую линию уровня функции )г на плоскости (х, е) легко исследовать (рис.
138). Рис. 138 определяет топологический тип семейства. $' Таким образом, в общем однопараметрическом семействе отобра- жений прямой на прямую' мультипликатор неподвижной точки становится равным — 1 в момент трансверсаль. а ного прохождения через единичную окружность (в отличие от обращения мультипликатора в 1, при котором мультипликатор, вообще говоря, через окружность не проходит). В момент прохождения мультипликатора через — 1 изнутри — наружу неподвижная точка теряет устойчивость.
При этом, в зависимости от знака коэффициента Рис. 138. при х', возможно два случая. Либо рядом с потерявшей устойчивость точкой (на расстоянии порядка квадратного корня из отЛичия параметра от критического значения) возникает устойчивый цикл периода 2 (два неподвижных точки квадрата отображения) — это случай мягкой потери устойчивости. Либо область притяжения стягивается до О из-за подхода цикла порядка два еще до потери устойчивости (жесткая потеря устойчивости). Многомерная картина получается надстраиванием седла, как ., зто описано выше.
Прнменяя все сказанное об отображениях к функции последования замкнутой фазовой кривой, получаем в случае мягкой потери устойчивости картину, изображенную на рис. 139: исходный цикл '. теряет устойчивость, но появляется устойчивый цикл с.примерно вдвое большим периодом. Описанные здесь явления хорошо наблюдаются в экспериментах. Следующий примее заимствован из доклада Г. И. Баренблата на семинаре'И. Г.
йетовского. Рассматривается полимерная пленка, медленно растягиваемая грузом. ри малых растяжениях процесс квазистационарен (время можно считать параметром, фазовая точка находится в устойчивом положении равновесия, все наблюдаемые величины при каждом значении параметра постоянны, т. е. фак- ' тически с изменением времени медленно меняются).
Однако при некотором значении параметра (т. а. при достаточном растяжении пленки) картина меняется, н вид различных физических параметров (скажем, длины к пленки) как Функции времени становится таким, как изображено на рис. 140 (каждое колебание на этом рйсунке можно рассматривать как происходвдее при .. потеря устопчивостн Антоколевлиин фиксированном значении параметра, но прн следующем колебание параметр немного меняется). Истолкование этого поведения фазовых переменных со вреыенем следующее: точка ! соответствует мягкой потере устойчивости равновесяя с образованием автоколебаний; видно, что их амплитуда растет как корень квадратный иэ эакритнчности. Точка й соответствует мягкой потере устойчивости цикла с прохождением мультипликатора через — 1. Действительно, предположим, что в фазовом пространстве происходят перестройки, указанные на рнс.
139. Рнс. 139. Рис. 140. Каждая физическая наблюдаемая величина является функцией на фазовом пространстве. Пока фаэовая точка находится в положении равновесия. величина постоянна. Когда фазовая точка движется по циклу, величина л становится периодической функцией времени Г (амплитуда колебаний растет с циклом). Удвоению цикла, изображенному на рнс.
139, отвечает именно такое. удвоение периода завнсймости измеряемой величины от времени, которое наблюдалось и эксперименте (рис. 140). В связи с этим заметим, что вообще при изучении автоколебаний обычно регистрируют временные зависимости измеряемык величин (скажем, на электро- кардиограмме). Во многих случаях более ясное представление о характере явлений можно получить из вида фазовой кривой или ее проекции на какую- либо плоскость. Этим методом давно пользуются для диагностики отказов. таких механических автоколебательных систем, как насосы. Предложения применять этот метод в электрокардиографин уже высказывались медиками. Г. Прохождение пары мультипликаторов через еди ни чнукь. окружность.
Этот случай изучен гораздо хуже обоих предыдущих. Топологически версальные деформации не выписаны и быль может не существуют. Тем не менее метод Пуанкаре позволяет получить существенную информацию. Начнем со случая, когда аргумент мультипликатора, попавшего на единичную окружность, несоизмерим с 2п (этот случай можно считать общим, так как мера множества рациональных чисел равна нулю). Мы будем считать, что размерность отображаемого пространства равна 2. В этом случае после подходящей гладкой и гладко зависящей' от параметра заменй коордйнат наше семейство отображений, приводится к виду хз Л(е)г((+а(е)/г/з+О(/г(а)), таогия БиФуРКАция !гл.
в где вещественное число з †'параметр семейства, Л(0) =е'", а ~ Ф 2пр!д. Для семейства общего положения г(!Л!/де ), ~ О, так что за параметр можно взять )Л) — 1. Предположим, что член О (~ г !') отсутствует. В этом случае отображение легко исследовать. Действительно, модуль точки-образа определяется модулем точки прообраза, так что возникает вещественное отображение г г(Л!!!+аг'!. При ~ Л ) = 1+ е, ( з ! (( 1, г ~ ! имеем (Л~ ! 1+аг')= 1+е+Кеаг'+.... Для семейства общего положения КеаФО.
В этом случае при прохождении параметром е значения нуль из теряющей устойчивость неподвижной точки рождается (или в этой точке умирает) инвариантная относительно отображения окружность, радиус которой пропорционален )/~е!. В первом случае (рождения окружности) она устойчива, во втором неустойчива. На сЪмой окружности отображение сводится к повороту.
Вернемся теперь к отброшенным членам и посмотрим, повлияют ли они на сделанные выводы. Можно показать, что инвариантная замкнутая кривая, радиусом, порядка !Г!а! действительно существует у полного отображения (см. Яаскег К. 3., Оп !пчаг1ап1 знг!асез апб Ь!!игса!1оп о! 'рег !об(с зо!нйюпз о! оггВпагу б!!!егеп!!а! ег)ца!1опз, Иечг т'огк 1)п!чегз!!у, Керог!!ММ вЂ” М'г'с) 333, 1964; СРАМ 18,4 (1965), 717 — 732). Устойчивость этой замкнутой кривой также сохраняется при возмущении. Однако устройство отображения на самой кривой для полного отображения отличается от такового для отображения с отброшенным остаточным членом. Действительно, полное отображение на ннвариантной кривой может иметь как иррациональное, так и рациональное число вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
