1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 65
Текст из файла (страница 65)
См. также стр. 304, 1), 2), 3), 4). Ж. Случай симметрии порядка 3. 1'. Пусть А=О, в этом случае система получается из некоторой гамильтоновой поворотом поля. А именно, рассмотрим равносторонний треугольник, образованный особыми точками (седлами). Стороны этого треугольника определяют 3 линейные неоднородные функции. Произведение этих трех функций и есть нужнаи функция Гамильтона. Знак производной этой функции в силу нашей системы г=гх+Вгэ определяется знаком вещественной части параметра в.
Это позволяет испольэовать указанную функцию в качестве функции Ляпунова. Таким образом, при А =О главная деформация исследуется без труда. 2'. В общем случае заменами /=Т/ ~ в (, г= 2 ! в ! приводим систему к виду с/2/с/Т=Е2-!-2»+ ! е ( А2 , '2 |з, Е=в/ ! в !. В области, в которой ) 2', мал по сравнению с 1/в, третье слагаемое можно рассматривать как малое возмущение. В области, где аргумент Е не близок к ьс и/2, зто возмущение не меняет картину, полученную в 1'. Если же веще"ственная часть Е мала по сравнению с комплексной, то систему можно рассматривать как маловозмущеиную систему Гамильтона с/2/с(Т=-ь !2+2». Невозмущейная функция Гамильтона Н описана в 1'.
3'. Вычислим скорость изменения Н вдоль решений системы. Интегрируя по линии уровня Н=Ь, получаем условие рождения цикла на этой линии в виде $ргз+)!гсс/ср О, где и= — а/т, )с=ат, е=о-(-гс, А= — а-1-!Ь; г и ср — полярные координаты на плоскости. Обозначим через р радиус инерции области. ограциченной эллиптической кривой Н=Ь.
Тогда условие рождения цикла именно из линии Н=Ь при прохождении ! е ~ через нуль можно записать в виде а=рзтга. Наибольшее возможное значение р соответствует треугольнику, образо. ванному сепаратрисами седел. Функция р(Ь) монотонна (ср. п. И). 4'. Дальнейшее обоснование версальностн главного семейства и вида бифуркационных диаграмм и фазовых портретов проводится как в случае д= 1. 3. Случай симметрии порядка 2. 1'.
Растяжениями х и заменами времени, а также параметров, семейство можно привести к виду у = ах -1- 2()у+ ахэ+ Ьхгу, а -»- 1, Ь = — 2. Зто семейство с параметрами (и, ()) мы и будем исследовать. 2'. Если ) !) ! ( р а, то делаем замену х = г' ! а 1/~ а ~ х', ! = / /У~ сс (, и риводящую !а ~ я (а! к 1. Получаем почти гамильтонову систему. Функция Гаиильтона имеет вид уэ хз хс Н= — — саста — — зуп а —.
2 " 2- 4' Диссипативные члены имеют вид 2йу+Ьхеу, й'=()/)г (сс(, Ь'=рг(сс,'Ь/(а!. 3'. Интегрируя скорость изменения Н вдоль линии уровня Н=Ь, получаем условие рождения цикла из этой именно линии при прохождении а и ()=им через нуль: а=гз, где 10» 276 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ !Гл. 6 — квадрат радиуса инерции относительно оси у области, ограниченной линией Н=Ь. 4'. Если | а | «С | |1 |, то делаем замену х=Хг', 1=кг', приводящую | а | к 1 и |Ь| к ||!И Л=У| ~(11Ь | =)1 | Ь1З |.
Получаем ы'=| Ы5 |а, Ь«=)/Щ7ЫЬ, О«=1~| Ь)у | |1, а'=а; Х=аьл+О'2у(1 -е-гз)+а«г. Здесь оба параметра О' гг~ |1 | и и' а1(! малы. При |1' О получаем систеыу Гамильтона, уэ а'зе аьч Н 2 2 4 Дальнейшее исследование проводится обычным образом. Н. Нули вллиптическях янтегралов. Выше показано, что исследование поведения циклов в наших семействаи сводится к решению специальных случаев следующей «ослабленной 1Б-й проблемы Гильбертаы Нуатв Н вЂ” тщгстгенный мноммлен самнгни и, Р— вещественный многочлен степени т от иеременныг (г, у). Сколько ггщгстггнных нулей может иметь функция 1(Ь) ) 1 Рйгйуу н~» Для исследования симметрий порядка 2 нужен случай уэ ыг' аг' Р=р+Дг, Н 2 2 4 Прн Р м+)«гз вопрос сводится к иссяедованию монотонностя функции г(Ь), где г — радиус инерции относительно оси у области, ограниченной циклом.
Лемма. функция г на интгрзалаг между критическими значениями Н ведет себя следующим обраюм« Значения ы и а — 1, + 1 Интервал Ь О, 114 Поведение г (в третьем случае г слгрза убывает, а лотом растет). Аналогичная (но более слабая) лемма об эллиптических интегралах использовалась уже в работах Р. И. Богданова. Доказательство Р. И. Богданова .связано с дляннымя вычислениями. Ю. С. Ильяшенко нашел доказательства как приведенной здесь леммы, так и леммы Богданова, основанные не на вычислениях, а на комплексных топологических соображениях (монодромия и фор. мула Пикара — Лефшеца).
(См. Ю. С. Ильяшенко, О нулях спею«альных эбелевых нйтегрзлов в вещественной облает. Функц. анализ и его прина жения, 11, 4 (1977), 78 — 79). К, Саучай резонанса порядка 4. Исходное уравнение: »=ее+Аз | г |э+Вгэ. Предположим, что Вчьб.
Тогда растяжениями н поворотамн г и растя. шепнем времени приводим уравнение к виду М«наг+Аз | г |г+йэ. ЭКВНВАРНАНТНЫИ ВВКТОРНЫВ ПОЛЯ Заменой, знака времени и заменой г на г можно также добиться того, что ЕеА( О, 1шА ( О. Исследуем сначала особые точки, отличные от нуля. 1'. Бифуркации особых точек. Для исследования бифуркаций особых точен при изменении е полезно следующее всяомогательное построение.
Пусть г = геня — особая точка. Тогда 1 — е/го=А+А!, где А(=е 4ге. Поэтому рассмотрнм окружность радиуса 1 с центром 'в А (рис. 146). Значение е, при Аэ котором точка г особая, лежит на луче, противоположном лучу, соединяющему нуль с точв кой А+!т' нашей окружности. При этом чем ближе точка окр!акности к нулю, тем больше модуль е. Из сказанного видно, что резко различаются случаи, когда , 'А , 'меньше и больше Рис. 146.
единицы. Если ! А ! ( 1, то нуль лежит виугри окружности. В этом случае для любого з (кроме нуля) уравнение имеет 4 особых точки в вершинах ивадрата. Когда е обходит вокруг нуля, поворачиваясь на 360', квадрат из особых точек,наворачивается на 90' в обратную сторону. Если же ~ А ( ) 1, то на плоскости переменной е имеется угол, ограниченный продолжениями касательных к нашей окружности. Для е внутри этого угла особых точек 8, а вне †чну.
Когда а поворачивается от одной стороны угла до другой, рождаются четыре особых точки в вершинах квадрата: этот квадрат сразу же делится на 2. За1тР тем близкие особые точки начинают расходиться. Когда з подходит к Фоп сы другой стороне угла, каждая осоустсйсосые, пгуыц Агустойпайые бая точка первого квадрата умирает, сталкиваясь с точкой второго дспюигодэм нвадрата. первоначально отстояв- ,'~ шей от нее на 90' (так что один й р квадрат особых точек поворачивается на 90'относительнодругого).
)91 2'. Типа особых точен линейного ураонгния. )!4ы начнем с лемыеуоспмп адью мы, позволяющей легко исследоугп I ' вать типы особых точек векторного поля на плоскости, эайисанного в номплексной форме Фокусы ыстойчойпг, про ыг, пеуспмйпайыэ Рис. !47. я=рз+(%. Лемма. Тил особой точки 0 нг зависит от ирэуыгнти О. Эти тоагиссдпопри ( Р ( ~)(;!), фюийс при ) 1шР ~) !!2, 'и узел при (1ш Р ! ~! О! ~ ~(Р 9 фокус устойчио при Ее Р (0 и неустойчив лри Ее Р ъ 0 (рис. !47). ч1 При умножении $ на комплексное число А коэффициент Р не изменится, а коэффициент О умножится на АФ. Выбором А можно сделать аргумент !1 любым; этим доказане первое утверждение леммы. Для доказательства второго утверждения рассмотрим случай !2=!.
Пусть Р а+!1!. Запишем матрицу уравнения в базисе (1. !). Эта матрица имеет вяд м-~ йс+ 1 1г М=йи, йе1 М ма+()з — 1, (! 278 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ [Гл. з Следовательно, характеристическое уравнение имеет корни 3,*= =)'1-(Р Условие их вещественности [!) [(1. Корня имеют разные знаки при аэ-1- +(Р)!. Лемма доказана при О=!. Условия седла, узла и фокуса для любого [[г[ следуют теперь из соображений подобия: при заменах времени Р и [г умножаются на одно и то же вещественное число.
Ю Рис. 147, ясно показывающий взаимное расположение узлов, фокусов и седел в функциональном пространстве, полезно иметь в виду при всех иссле. дованиях бифуркаций особых точек на плоскости. 3'. Исследование седел. Вернемся к исходному. нелинейному уравнению. Пусть г,=гете — особая точка. Линеаризуем уравнение в этой точке.
Пусть г=г,+е. Тогда, сохраняя в правой части члены первой степени по $, й получаем $=Р$+[7$, Р=«э (А — И), [ [3 ! — гэ (А+ЗИ). Лемма. Если [А[(1, то асе осабыг тачки — седла. Если [А[>1, то лри каждом е особая точка с меньшим модулем — седло, а с большим — не с«дяо. ч( Условие седла имеет по лемме 2' вид [ А — И , '(, 'А+ЗА» Р Рвссмотрим точки А — И и А+ЗИ (рис. 146). Эти точки симметричны относительно А+ И, причем соединяющая их прямая проходит через А.
Какая из этих точек ближе к нулю определяется тем, по какую сторону от касательной к нашей окружности, проведенной через точку А+ И, лежит точка нуль. Если [ А [ ( 1, то нуль всегда лежит с одной стороны от касательной (с той же, где А в И). Если же [ А [ ~ 1, то ответ зависит от того, на какой из двух дуг, ограниченных касательными к окружности из нуля, лежит А+И. Дальняя от нуля дуга отвечает седлам и ближним особым точкам (см.
1').[ы 4 . Устобчилос»пь особых»почек. Особые точки, соответствующие обращенной к нулю части нашей окружности, могут быть узлами и фокусами. Часть дуги, непосредственно примыкающая к касательной из нуля, соответствует узлу, но при движении по дуге узел может стать фокусом, а фокус может менять устойчивость.
Выясним, при каком условии происходит эта смена устойчивости фокуса. Из леммы п. 2' и формулы п. 3' следует, что смена устойчивости происходит, когда точна А — И (диаметрально противоположная точке А+И нашей окружности) пересекает мнимую ось, в то время как точка А+И лежит на ближней к нулю дуге. Граница, отделяющая точки А, для которых такое явление происходит, определяется условием: диаметр, проведенный через точку пересечения нашей окружности с мнимой осью, перпендикулярен касательной из нуля. Уравнение границы имеет, как легко сосчитать, вид [ !ш А [= (1+ [[ез А)/)' 1 — Ееэ А. Соответствующая линия иа плоскости переменной А касается окружности ! А (=1' в точках А=-»- » и имеет асимптотами прямые ! Ее А [=1 (рис. 148).
ЗК Поведение на бесконечности. При больших г слагаемым ег можно «пренебречь». Полагая ю= гэ, получаем линейное уравнение Рис. 148. Для исследования этою уравнения остается применить лемму 2'. Таким образом, прн ! А [(1 особая точка на плоскости ю седло,анри[А [) !все траектории из бесконечности притягиваются в конечную область, если КеА (О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
