1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Возникающее отображение окружности отнюдь не обязано быть топологически эквивалентным повороту. В случае рационального числа вращения оно будет, вообще говоря, иметь конечное число периодических точек, попеременно устойчивых'и неустойчивых. Эти периодические точки для исходного отображения плоскости на себя будут, соответственно, седлами .и узлами. Таким образом, наша инвариантная кривая состоит в случае рационального числа вращения из цепочки сепаратрис седел, сходящихся в узлах (рис. 141). Заметим, что сепаратрисы седел гладкие.
Но при подходе к узлу с двух сторон две сепаратрисы образуют вместе, вообще говоря, кривую лишь конечной гладкости. Таким образом, возникающая ин- 2бз ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ вариантная кривая, вообще говоря, имеет лишь конечную гладкость. При приближении к значению параметра, соответствующему переходу мультипликаторов через окружность, гладкость инвариантной кривой растет до бесконечности (как нетрудно сообразить). Если наше отображение было отображением последования для дифференциального уравнения, то в фазовом трехмерном пространстве инвариантная кривая отображения последования определяет инвариантный тор, сплошь состоящий из фазоцых кривых. Наша инвариантная кривая — это сечение указанного тора трансверсалью.
Тор имеет конечную гладкость, тем большую, чем ближе момент рождения гора из цикла. При изменении параметра в семействе число вращения на торе, вообще говоря, меняется, так что оно принимает то иррациональные, то рациональные значения. Из описанной картины бифуркаций при переходе пары мультипликаторов через единичную окружность следует также, что в однопараметрнческих семействах общего положения не встречаются ответвления ат данного периодического режима периодических режимов кратности, отличной от двух.
Действительно, последнее могло бы происходить, лишь если бы мультипликатор переходил единичную окружность в точке с рациональным аргументом, а это — явление исключительное. Чтобы разобраться, как возникают периодические движения с большими периодами, необходимо рассматривать семейства с двумя параметрами. Действительно, обращение мультипликатора в корень из единицы (отличный от 1 и — 1) встречается неустранимо лишь в вещественно двупараметрических семействах. Двупараметрическое рассмотрение потери устойчивости неподвижной точки в резонансном случае, т.
е. когда мультипликатор близок к корню из единицы, позволяет также лучше понять бифуркации в одиопараметримских семействах при пересечении мультипликаторами единичной окружности. А именно, как мы увидим, некоторые перестройки, кажущиеся нелокальными при однопараметрическом подходе, поддаются исследованию локальными методами, если рассматривать задачу как двупараметрическую. В частности, на этом пути можно исследовать некоторые случаи жесткой потери устойчивости и указать, на какой режим перескочит система после жесткой потери устойчивости цикла. Д. Резонанс при потере устойчивости цикла.
Рассмотрим отображение плоскости в себя в окрестности неподвижной точки с мультипликатором, равным корню степени д~ 2 из единицы. В соответствии с общим методом Пуанкаре (гл. 5), мы можем записать семейство,в подходящей системе координат в виде г г[Л+А()г(')+Вгг '+0()г1г")1, где Л, А, В и О гладко зависят от ж ТБОРия БиФуРкАции 1гл. а Вместо того, чтобы исследовать это отображение, мы можем ° поступить по-другому. Каждый шаг метода Пуанкаре в случае Г зонанса сводится к усреднению вдоль соответствующего слоения ейферта (см. 2 21). Поэтому вместо приведения к нормальной форме функции последования можно записать исходное уравнение фазо- вых кривых в окрестности цикла как неавтономное уравнение с 2И- периодическими коэффициентами и затем приводить его к нормаль- ной форме 2щ-периодическими по времени заменами координат (ср. 2 26). В результате этой процедуры мы получим в новых координа.
тах (гладко зависящих от параметра) уравнение с 2ид-периодиче- скими по 1 коэффициентами ь- еь+ ьА (! ь (з)+ Вьт-а+ 0 (( ~ (т+х). Здесь з — комплексный параметр, А и 1) голомовфно зависят от е, значение Б=О соответствует резонансу (т. е. обращению мульти- пликатора- исходного уравнения в корень степени д из 1). Замечание 1. Из приведенных рассуждений следует, в частности, что; 1) Функция последования, с точностью до членов степени я+1 (и дзже с точностью до членов сколь угодно высокой степени) совпадает с преобразо- ванием фазового потока векторного поля на плоскости. 2) аГказаниое векторное поле ннгГариаытно относительно цикличесяой группы диффеоморфизмов плоскости (порядка д).
3) Выводы 1 и 2 имеют место не только для индивидуальной функции по. следования, но и для семейства, гладко.зависяюего от параметров, причем как группа, так и инвариантное птносительно нее поле, получаются гладко зависящими от параметров, Замечание 2. Точная функция последования, вюбще говоря, не яв- ляется преобразованием фазового потока никакого векторного поля и не коммугирует ни с какой конечной группой днффеоморфизмов. Из сказанного выше видно, что-с точностью до членов сколь угодно высокой степени относительно расстояния до замкнутой фа- зовой кривой задача о бифуркациях при потере устойчивости вблизи резонанса порядка д) 2 сводится к исследованию перестроек фа- зовых портретов в двупараметрических семействах общего положе- ния векторнмх полей на плоскости, инвариантных относительно вращений на угол 2п/д.
Резонанс называется сильным, если д(4. Случаи резонансов порядка 2 и 1 также можно включить в эту схему. А именно, потеря устойчивости цикла прн прохождении- пары мультипликаторов через единичную окружность соответствует гиперповерхности коразмерности один в функциональном простран-.: стве. Эта гиперповерхцость подходит к гиперповерхностям, соот- ветствующим мультипликаторам 1 и †,1, по поверхностям кораз- мериостн 2. Точки общего положения на этих поверхностях кораз- мерности 2 соответствуют таким замкнутым фазовым кривым, для которых функция последования имеет двукратное собственное число 1 (соответственно — 1) с жордановой клеткой порядка 2. 267 эквивььиьнтныв ввктоьныв поля Поэтому исследование граничных случаев прохождения мультипликаторов через единичную окружность сводится, с точностью до членов сколь угодно высокой степени, к изучению перестроек фазовых портретов в общих двупараметрических семействах векторных полей на плоскости, инвариантных относительно поворотов на угол 2по (о=1, 2) и имеющих при некотором значении парамегря особую точку с линейной частью в виде нильпотентной жордановой клетки; соответствующее линейное уравнение приводится к виду х — у; у — О.
Окончательно, задача о перестройках при потере устойчивости вблизи резонансов приводит к изучению бифуркаций фазовых портретов в двупараметрических семействах эквивариантных векторных полей на плоскости; этой последней задачей мы теперь и займемся. й 35. Версальные деформации эквивариантных векторных полей на плоскости Перестройки фазовых портретов векторных полей, инвариантных относительно какой-либо' группы симметрий, естественно возникают при исследовании различных явлений, в которых симметрия присутствует в самой постановке задачи.
Более удивительным является тот факт, что задачи о перестройках симметричных фазовых портретов возникают сами собой в несимметричной а рпоп' ситуаций, при исследовании бифуркаций вблизи резонансов (ср. Я 21 и 34). В настоящем' параграфе рассматриваются именно те бифуркации снммегричиых фазовых портретов, которые нужны для изучения резонансов А. Эквивариаитные векторные поля на плоскости. 'Пусть Р— векторное поле на плоскости комплексной переменной г. Мы будем рассматривать Р как комплекснозначную (не обязательно голоморфную) функцию на Ж. Ряд Тейлора этой функции в нУле можно записать в виде ~Рь,гьг'. Предложение.
Пусть поле Р переходит в себя при повороте плоскости переменной г на угол 2п/д. Тогда коэффициенты Рь ~ отличны от' нуля лишь при Й вЂ” 1, сравнимых с 1 по модулю д. < Ряд Тейлора единственен, поэтому каждый его член должен повернуться на угол 2п/д, когда г.поворачивается на угол 2п/о. Точка комплексной плоскости гьг' поворачивается иа угол 2п (и — Ц(д. Этот поворот совпадает с поворотом на угол 2п~д в точности при указанном выше условии. ~ С л едет в и е. Дифференциальные уравнения, инвариантные отнххипельно поворотов на угол 2п/д, имеют следующий вид: й гА((г)ь)+Вге-'+0(!г!ем) (д)2). 268 Ггл.
в ГЕОРИЯ БИФУРКАЦИП 4 Рассмотрим на плоскости (й, 1) целые точки, удовлетворяющие сравнению я — 1= 1 (пюд д). Эти точки расположены на лучах, параллельных биссектрисе положительного квадранта, и начинающихся в точках, отвечающих мономам г, гвэг, гвв.Г',...; гв-в, гве-в, г Будем искать среди перечисленных мономов мономы наименьшей степени 2Г-Г (рис. 142). Мы получим последовательно сперва несколько мономов на луче, начинающемся в г (т.
е. мономан вида г1г1вь), ЗатЕМ МОНОМ 2В '; ВСЕ ПРОЧИЕ мономы имеют степень не ниже д+ 1 (рис. 142). ~ Определение. Главным уравРис. 142. пением, инвариантным относительно поворота на угол 2п/д, называется предыдущее уравнение, в котором откинут член О. Правая часть главного уравнения называется главным у-эквивариантным полем. П р и м е р.
Главные уравнения, инвариантные относительно групп 'вращений порядков 3 и 4 имеют, соответственно, вид г=ег+Аг1г1в+Вгв, г=ег+Аг1г1в+Вгв. Для формулировки результатов исследования перестроек фазовых портретов эквнвариантных векторных полей, зависящих от параметров, удобно ввести следующие определения. Б. Эквивариантные версальные деформации. Рассмотрим семейство оА векторнйх полей, инвариантных относительно действия группы 6 на фазовом пространстве и зависящих от параметра Х, принадлежащего окрестности точки О пространства И (называемого базой семейства). Размерность базы называетси числом параметров семейства.
Росток семейства в точке А=О называется.эквивариантной деформацией поля о,. Определение. Эквивариантная деформация ох называется эквивариантно топологически орбитально версальной (короче версальной) деформацией поля ов, если для любой другой эквивариантйой деформации Гв„того же поля существует непрерывное отображение Гу баз деформаций и такое непрерывно зависящее от семейство гомеоморфизмов Ь„фазового пространства, коммутирующих с действием б, что й„переводит фазовые кривые поля Гв'„ .в фазовые кривые поля о <„1 с сохранением направления движения.
Иными словами, эквивариантная деформация версальна, если всякая другая эквивариантная деформация топологически орбитально эквивалентна деформации, индуцированной иэ версальной. ЭКВНВАРНАНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ э зн Аналогичные определения даются для ростков векторных полей, а также для деформаций в классе полей со специальными свойствами (например, с фиксированной линейной частью в особой точке). Теперь мы переходим к построению версальных деформаций. В. Главные деформации. Рассмотрим векторное .поле на плоскости, инвариантное относительно поворота на угол 2пн), д >2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
