1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Н. Шошитайшвили о сведении при помощи двумериыя результатов Андронова — 1)уанкаре. Г. Применение к теории гидродинамической устойчивости. Разобранные выше явления часто встречаются в разнообразных конкретных ситуациях: механические, физические, химические, биологические и экономические системы теряют устойчивость на каждом ' шагу. Здесь мы рассмотрим в качестве примера одну специальную задачу такого рода — вопрос о потере устойчивости. стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости.
Пусть  — заполненная жидкостью область, и и — поле скоростей жидкости. Движение описывается уравнениями Навье †Сток — +(пЧ, и) =ела — Бгабр+1. Й)чи=О, до дг где коэффициент ч означает вязкость, ( — поле массовых, непотенциальных сил; давление р определяется из условия' несжимаемости.
На границе области а) ставятся, скажем, условия прилипани я (о !,и = О). Предполагается, что начальное поле' скоростей определяет все дальнейшее движение, так что уравнение определяет динамическую систему в бесконечномерном пространствебездивергентиых векторных полей, равных 0 на границе области с). [В действительности это доказано только в двумерном случае. Вопросам о существовании, единственности и свойствах решений уравнений Навье— Стокса посвящена обширная литература, одна- 1РЛ ко основные проблемы остаются открытыми.) сз ' Рассмотрим, например, течение ПуазейРис. !29. ля (с параболическим профилем скоростей; рис.
129) в плоском канале. Течение Пуазейля является стационарной точкой нашей динамической системы в функциональном пространстве при любом значении вязкости Вто положение равновесия устойчиво при достаточно большой вязкости, однако при уменьшении вязкости оно теряет устойчивость. Мы можем исследовать, что при этом происходит, пользуясь теоре- мой п. В. ПОТЕРЯ УСТОИЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ й49 ноРазумеется, следует принять особые предосторожности в связи с бесконеч мерностью задачи. Имеется надежда, что бесконечномерность не очень опасна из-за того, что вязкость быстро гасит высокие гармоники, так что фактически при любом ненулевом значении коэффициента вязкости система сваливается к конечномерной. Другая трудность в том, что мы не можем быть уверенными, что наша система — действительно общего положения: это нужно проверять вычислениями.
Кажется естественным, что система Навье — Стокса окажется системой общего положения в области «общего вида» и при общих массовых силах 1, однако течение Пуазейля весьма специально, например, здесь есть большая группа симметрий. Ограничимся возмущениями, поле скоростей которых вдоль потока повторяется периодически с длиной волны !. Чтобы нормировать скорость основного течения, будем .менять внешние силы пропорционально вязкости так, чтобы расход жидкости 9 был постоянен (у =сопз1 (СУ). В таком случае мы получим двупарамегрическое семейство с параметрами 1 и ч. Обычно принято рассматривать в качестве параметров обратные величины с« = 2п/1 (волновое число), г« =сопз1 АУ (число Рейнольдса).
Таким образом, уменьшение вязкости, вызывающее неустойчивость, соответствует увеличению числа Рейнольдса. Вычисления (которые практически невыполнимы без машины) показывают, что при возрастании числа Рейнольдса при некотором критическом значении числа Рейнольдса (че =гте(сс) пара комплексных корней переходит через мнимую ось из устойчивой полуплоскости в не- и устойчивую. Следовательно, мы встречаемся здесь с тем случаем потери устойчивости, при котором рождается или умирает предельный цикл. зейт., с 0~ Знак коэффициента с, определяющего жесткое или мягкое возбуждение й, й; й колебаний, также вычислен.
Для описания результата удобно нарисовать Рис. 130. границу устойчивости на плоскости (а, 1«). Оказывается, она имеет вид изображенного на рис. 130 «языка»; самая левая точка этого языка особенно важна: ее Й-координата соответствует первой потере устойчивости, а а-координата определяет самую опасную на неустойчивость длину волны. Оказывается, для всей левой и верхней части языка границы устойчивости коэффициент с положителен, т. е. имеет место жесткое возбуждение. Следовательно, еще дотого, как число Рейнольдса перейдет через критическое значение гта, где-то в фазовом пространстве, в стороне от стационарной точки (т.
е. от течения Пуазейля), возникнет какой-то колебательный режиме), на который систему ') Другой возможностью в системах произвольного вида' является уход на бесконечность; в нашем случае, по-видимому, этого не произойдет, так как на бесконечности фазовая скорость направлена назад к началу координат ввиду демпфирующего действия вязкости. 260 ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ (гл, а и выбросят малые возмущения при подходе числа Рейнольдса 'к гче.
Этот новый режим может быть устойчивой стационарной точкой (т. е. в гидродинамических терминах †стационарн течением, отличным от течения Пуазейля)г или предельным циклом (в гидро- динамических терминах в периодическим течением), но может иметь и более сложную структуру, например, он может оказаться условйопериодическим движением по тору.
Более того,'возникающий при жестком возбуждении режим может оказаться У-системой илн системой гиперболического характера, т. е. притягивающим множеством с весьма нерегулярными, неустойчивыми траекториями на нем. Спектр соответствующей динамической системы может оказаться непрерывным даже несмотря на конечность числа степеней свободы (т. е. конечность размерности притягивающего множества).
Экспериментаторы назвали бы такой режим, течения турбулентным. В 1963 году появилась работа Лоренца (Е. Ы. 1.огепх, Ое!егш!п!з!)е попрет!оскс !!от«, Л А!пюз. Зс!. 20 (1963), 130 — 141), который первым наблюдал нетривиальный «притягивающий режим в Системе с трехмерным фазовым пространством, моделирующей гндродинамнческую теорию конвекции. Системе Лоренца имеет внд х= —,ох+пу, у — хг-1-гх — у, Ь хв — Ьг; о=10, г 28к Ь=б!3. Кажется, все модели, в которых пока удалось найти гиперболические притягивающие множества, содержат члены типа накачки илб отрицательной вязкости, отсутствующие в уравнении Навье — Стокса. Во всяйом елучйе когда я в 1964 г.
пытался найти гиперболическое притягивающее множество в йнстимерном фазовом пространстве галеркннского приближения к уравнению Навье — Стокса на двумерном торе с синусоидальной внешней силов (используя вычислительную машину, программврованную Н..Д.
Введенской), то притягивающее множество оказалось, пов-идимому, трехмерным тором (быть может из-за слишком малого числа Рейнольдса). Йасколько мне известно, гиперболические притягиваюпше множества для уравнений Навье †Сток или их галеркинсквх аппроксимаций не найдены 'до сих пор. Зато описанный выше численный эксперимент послужил отправной точкой ряда работ о прис менении геодезических потоков на группах диффеоморфизмов к гидродинамике (У. !.
А г п о ! д, Зш !а йеоше!г!е б!Иеген!!е11е без атопрез де ).!е де бвпепз!оп !пйп!е е! зез арр!!са!!опз Ь 1 Ьубгобупаш!Чпе без 11ийез раг(анз, Апп. 1пз!. Роппег, ОгепоЫе, 16, 1 (!966), 319 — 361; О. О. Е Ь! и, Л Ма габен, Огоирз о! гннеогпогоЬипы апб !Ье шо!!оп о1 ап !псшпргезз!Ые Ппы, Апп. о! Ма!Ь. 92 (1970), 102 — 163). Очень простая модель с неустойчивыми траекториями на притягивающем множстве предложена М. Эноном (М. Напои, А Ттгомйшепз!опа1 Марр!пй чч!Ь а 3!гапйе Амгас!ог, Согшп. Ыа!Ь РЬуз. 60 (1976), 69 — 77). Эвон рассматривает квадратичное «преобразование Кремьназ на плоскости, имеющее ввд Т =Т,Т,Тз, где Т (х, р) = (р, х), Т (х, р) = (Ьх, 9), Т (х, р) (х, у + 1 — аье).
Интересно отметить. что наблюдаемое в численном эксперименте при л 1,4, Ь=О,З притяжение к множеству, имеющему локально вид произведения канто- рова множества на отрезок, не удается описать в рамках существующих определений гиперболичности (не исключено даже, что в это множество вкраплены области притяжения длинных циклов). Таким образом, математики не признают притягивающее множество Энона гиперболическим. В то же время с точки зрения экспериментатора движение' фааовой точки под действием ! % зз1 ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОД1ЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ й1 втераций преобразввания Т имеет явно выраженный стохасгическяй, турбуленгный характйр (еще одни прямер опасности фетяшвзировання шгсиом).
Примеры йдсто~пцих гнперболнчесних притягивающих множеств на плоскости построевы Р. В. Плыкиным (Р. В. Плык и н, Источники в'стоки А.диф. феоморфизмов поверхностей, Математический сборник, 94, 2(1974), 243 — 264). Рис. !31. Плыкии строит диффеоморфизм замкнутой области с тремя дырамв, изображенной на рнс.
131 наверху, на ее заштрихованную (на рис. 131 внизу) часть, обладающий следующим свойством: пересечение образов области при всйх итерациях диффеоморфизма является притягивающим множеством (расстояг(ре образов итерапий любой точки до пего стремится к нулю), зто пересечение локально является пронззеденнем канторова множества на отрезок, и расстояние между близкими точками на каждом отрезке растет прн нтерациях преобразования, Обширная библиография работ по теории бифуркаций й ее приложениям имеетсяв книгеМар сдена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
