1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Исследование окрестности нуля в' (г, Б)-пространстве удобно провести следующим образом. Рассмотрим функцию р (г» = г2. Из (1) находим уравнение для р: р=2р(е+ср), р)0. Полученное семейство уравнений на луче р- О легко исследовать. Кроме присутствующей при каждом Б особой точки Р= О имеется еще (если в и с разных знаков) особая точка р = — Бул пр,,ьс ° .р, ° ,р, л у р .!25 д. Точке р 0 на плоскости г отвечает начало коор— динат, а точке р =т- Б/с — предельный цикл (вещее~- 8<0 венный лишь когда знак в противоположен знаку с . Рнс. 125.
Чтобы лучше понять ситуацию, будем откладывать по одной оси и, а по другой в обе стороны ~ г ~. -'~г1 Тогда поведение цикла при изменении параметра изобразится, в зависимости от знака с, одной из1рух диаграмм рис. 126. Радиус цикла пропорционален, таким образом, 1'~в~. с<0 Рассмотрим сначала случай с(0. При переходе Чг( Б через 0 фокус в начале координат теряет устойчивость.
При е = 0 в начале координат также устойчивый фокус, но негрубый: фазовые кривые приближаются к 0 не экспоненциально (рис. 127). При в~О фазовые кривые, отойдя от фокуса с >О на расстояние, пропорциональное 3/ Б, наматываются рис, 128 на устойчивый предельный цикл. Таким образом, потеря устойчивости при переходе е через 0 в слу- чае с~ 0 происходит с рождением устойчивого предельного цикла, радиус которого растет как ~/ Б. а<0 8=0 а>0 Рис.
128. а<0 ан0 Е >0 Рис. 127. Иными словами, стационарное состояние теряет устойчивость и возникает устойчивый периодический режим, амплитуда которого пропорциональна квадратному корню из отклонения параметра от критического значения. Физики говорят в этой ситуации о мягком возбуждении аатоколабаний. «ЗЗ! ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 245 В случае с) 0 (рис. 128) предельный цикл имеется при е(0, и он неустойчив. Когда г стремится к нулю, цикл садится на положение равновесия, бывшее при В(0 устойчивым фокусом. При В=О фокус становится неустойчивым (неустойчивость — слабая, не экспоненциальная).
При положительных В фокус неустойчив уже в линейном приближении. Этот случай потери устойчивости называется жестким возбуждением по следующей причине. Представим себе, что система находится вблизи устойчивого положения равновесия, и что при изменении параметра это положение равновесия теряет устойчивость.
В случае с)0 при подходе е к 0 с отрицательной стороны (или даже несколько раньше) всегда имеющиеся возмущения выкинут систему из окрестности положения равновесия, и она разом перескочит на какой-либо другой режим (нарример, к далекому положению равновесия, предельному циклу или более сложному притягивающему множеству). Таким образом, при непрерывном изменении параметра режим движения меняется скачком, жестко. В случае с( 0 амплитуда родившихся автоколебаний зависит от параметра хотя и не гладко (коренная особенность), но все же непрерывно; в этом смысле режим движения меняется пдавно, мягко. При исследовании уравнения (1) мы существенно использовали «версальную» точку зрения: если бы вместо окрестности в (г, е)-пространстве мы рассматривали окрестность в г-пространстве прй фиксированном е, то мы пропустили бы предельные циклы.
Это согласуется с тем, что вырождение коразмерности й следует изучать в й-параметрическом семействе: наш случай коразмерности 1 включен в однопараметрическое семейство. Рассмотренный пример в действительности исчерпывает бифуркации фазового портрета в однопараметрических семействах общего вида, происходящие при потере устойчивости положения равновесия на плоскости и, более общим образом, при прохождении пары корней характеристического уравнения через мнимую ось. Б.
Теорема Пуанкаре в Андронова. Рассмотрим однопараметрическое семейство векторных полей. Предположим, что прн нулевом значении параметра поле имеет особую точку 0 такую, что корни характеристического уравнения чисто мнимйе (размерность фазового пространства равна 2). Т е о р е м а. Локальное семейство общего положения (среди семейств с указанными свойствами) топологически эквивалентно семейству предыдущего примера.
4 Будем применять метод Пуанкаре для приведения уравнения к нормальной форме. При нулевом значении параметра имеется резонанс, отсутствующий при близких ненулевых значениях параметра. Соответствующие резонансные члены при нулевом значении ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ (гл. е параметра убить непьзя> а при близких значениях параметра можно. Если мы будем при блйзкнх к нулю нерезонансных значениях пара- метра убивать члены, становящиеся резонансными при нулевом зна- чении параметра, то наша замена будет рйзрывно зависеть от пара- метра, а радиус окрестности, в которой мы изучим фазовый портет, будет стягиваться до нуля прн подходе параметра к реаонаисому значенй(о. Поэтому мы не станем убивать члены, становящиеся резонанс- ными при е =О, не только при нулевом значении параметра, но и при близких значениях параметра.
В результате мы получим замену, гладко зависящую от параметра, после которой в.системе останутся одни лишь члены, становящиеся резонансными при нуле- вом значении йараметра, плюс оста(ок сколь угодно высокого порядка по отношению к расстоянию до особой точки. Мы соби- раемся изучить бифуркации в птдзученном семействе, отбросив остаток, а затем убедиться в том, что он не влияет на топологию перестроек (или учесть его влияние). Описанная выше программа является общей для многих задач о бифуркациях. Посмотрим, к чему она приводит в нашем конкрет- ном случае прохождения пары корней характеристического урав- нениЯ чеРез мнимУю ось.
Резонанс имеет внД Ад+ее =О (Ат,е — — -~-ио). Следовательно, в собственных координатах на комплексифицирован- ной плоскости (()* нормальная форма запишется в виде (см. $ 23) 2д — — )д (е) з + ад (з) за +..., зе = Хе (е) ге+ Ьд (е) гдзе+... Заметим, что, ввиду вещественности исходного уравнения, собствен- . ный базис можно выбрать из комплексно-сопряженных векторов, а нормализующие замены можно выбирать вещественными. В таком случае второе уравнение получается из первого сопряжением. Далее, на вещественной плоскости ге=Я„поэтому мы можем писать одно первое уравнение, обозначая в нем вд через з, а ге через х. Это уравнение можно считать записью исходной системы на веществене' ной плоскости (т' в виде (неголоморфного) уравнения на комплекс- ной прямой (() с координатой г Е=Ат(е) а+ад(е)Без+...; точками обозначен остаток пятого порядка относительно (з(. Итак, мы приходим к исследованию семейства й = 3 (е) г +ад (е) гез.
Это исследование проводится таким же образом, как в рассмотрен- ном в пункте А специальном примере. Соответствие между обозна- чениями: прпмер и. А ( (Ф е е общее семейство(Х~(0) мме еАд (е) Це ад (О) 4 зз! пОтеРя устоичивости положения РАВновесия 247 В семействах общего положения йч (0) чь О, йИВ»те )!т (е) )е о ~ О, »че аз (0) чь О. Бифуркация состоит в рождении или уничтожении предельного цикла (рождение — в случае, когда 1(еа,(0) и )(ей)! /йе!е разных знаков).
Если указанные выше три величины, вообще отличные от нуля, отличны от нуля, то учет отброшенного Остаточного члена не меняет полученной картины бифуркаций. Это легко доказать, рассматривая производную функции р (г~а вдоль нашего векторного поля: р = 2р («се)!т (е)+ р йеа (е)+ О (р')). Из этой формулы легко усмотреть, что 0(р') не влияет на бифуркации фазового портрета в некоторой (не зависящей от в) окрестности начала координат. ~ Рассмотренная выше теорема в сущности была известна Пуанкаре; явная Ф мулировка и доказательство даны А. А.
Андроповым (А. А. Андронов, именеине теорыи Пуанкаре о «тачках бифуркации» и «смене устойчивосты» к простейшим автоколебательным системам, С. К. Ас. Зс! Рама, 189, 15 (1929), 559 — 561; А. А. Андронов, Е. А. Леонтович —,Андр онов а, Некого. ( ые случаи зависимости периодических движений,от параметра, Уч.
эапискы ГГУ, 939, вып. 6, стр. 3 (сочинения А. А. Андронова, стр. 188 — 2!6)). Р. Том, которого я обучил этой теории в 1965 году, стал широио пропагандировать ее под именем «бифуркации Э. Хопфа» (см., например, учебник С. Смейла н М. Хиршы»)).- В. Многомерный случай. Соединяя теорему Пуанкаре — Андронова с теоремой сведения ($ 32), мы приходим к следу!Эацему выводу. Т е о р е м а. Топологически нереальная деформация особой точки векпюрного поля оби(его положения в (ч" с одной парой чисгпо мнимых корней характеристического уравнения получается простой надстройкой из система Пуанкаре — Андронова: й=г(!+в+ гг), г~С', еензч; и= — и, иев(ч в» оенР', п=п +и +2. Исследование выписанной системы не представляет теперь никаких трудностей. Пример.
Пусть п=З, п«0, знак перед гг есть —. В таком случае теорема утверждает, что в не зависящей от и окрестности начала координат при прохождении пары собственных чисел через мнимую ось происходит рождение инвариантного цилиндра ) М. Н !.гаси, 3. 8ш а1е, О!Негеп1!а1 ечпа1!опз, !»упаш!са! ауа(еп»з апб 1.!пеаг А!йеьга, !Чеи Уогк, А. Р., !974. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ !ГЛ. 6 радиуса гге, притягивающего соседние траектории, На самом цилиндре имеется устойчивый цикл, на кспорый в конце концов и наматываются все траектории. Таким образом этот случай соответствует мягкой потере устойчивости с возникновением автоколебаний. Рассматриваемое вырождение изучалось многими авторами, в частности Еь Хопф исследовал рождение цикла в многомерном случае (Е. Н о р 1, АЬяиеп яипй е!пег репойзсЬеп 1.бзцпй топ е!пег з!а!юпагеп Еозцпй, Веге!сЬ.
оасьз. Асад. ЪЧ!зз. Ье!ря!9, Ма!Ь. РЬуз. К1. 94, 19 (!9421, 15 — 25). Дальнейшие результаты были получены Ю. И. Неймарком и Н. Н. Брушлинской. Однако общая теорема, сформулированная выше, дающая-полное исследование бифуркаций фазового портрета (а не только бифуркаций цикла) была доказана лишь в цитированной выше работе А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
