1625914363-fb1d6769e977945dddc0a6454cc4f922 (532773), страница 69
Текст из файла (страница 69)
С. Пяртли и А. Л. Брюно. Здесь также доказано ответвление от сепаратрис особой точки инвариантного многообразия при л = 3. Пусть (гы г„ гз) — фазовые координаты, а в — параметр деформации (резонанс соответствует е = 0). Тогда инвариантные многообразия заполняют в пространстве с координатами (г, е) голоморфную гиперповерхность, уравнение которой имеет в первом приближении вид га га~г» =Б в подходящей системе координат.
А.. С. Пяртли доказал, что для «йенормально соизмеримых» ()г„й„йв), образующих треугольник Зигеля, в общем случае в любой окрестности положения равновесия 0~1о имеется бесконечно много инвариантных многообразий описанного вида, соответствующих различным резонансам. Из дальнейшего будет видно, что наличие в окрестности нерезэнансной точки О ен С' достаточно большого куска резонансного инвариантного многообразия препятствует сходимости рядов Пуан- ПЕРЕСТРОИКИ ТОПОЛОГИИ ПРИ РЕЗОНАНСАХ 291 каре — 3 и геля в этой окрестности. Поэтому из цитированного результата Пяртли вытекает, что при «ненормально соизмеримых» (Л„Л», Л,) общим случаем является расходимость указанных рядов в любой окрестности начала координат.
Е. Случай дискретного времени. Рассмотрим локальный автодиффеоморфизм А: С"-Р С в акре. стности неподвижной точки О. Обозначим через (Л„..., Л„) собственные числа линеаризации А в О. Предыдущая теория переносится на этот случай со следующими изменениями. .Резонансы: Л» — — Лх» ... Л„» (и ) О, д,'и ) 2). Область Пуанкаре: все )Л,('-» 1 или все !Л, ~ (1.. Область Заселя: существуют ')Л~ ~ ~1 н ~Л, ~ (1. Замечание. Линейному векторному полю в С" соответствует .линейное преобразование в С' ' (ефункция последования Пуанкаре»).
А именно, пусть поле задает дифференциальное уравнение й,=с»,гм ..., г„=а„г„, где а„~ О. Рассмотрим решения с начальными условиями при 1=0 на плоскости г„=1. Значение решения при (=2П(/а„при-. надлежит той же плоскости С '. Полученное отображение А: С" "-«-С" ' имеет собственные«числа Л,=е~"'" т (з=1, ... ..., и — 1). Аналогичная конструкция функции последования имеется (при небольших дополнительных предположениях) и в нелинейном случае. Поэтому результаты об инвариантных многообразиях и бифуркациях для отображений влекут соответствующие результаты для векторных полей. Впрочем, в большинстве случаев отмеченную связь между уравнениями и отображениями лучше использовать как эвристическое средство для угадывания результатов в одной области по имеющимся результатам в другой, доказательства же удобнее проводить независимо в обеих ситуациях.
Ж. Бифуркация инвариантных многообразий диффеоморфизма. Резонанс между тремя собственными числами векторного поля й»а + й»а»+ й»сь» = О соответствует в дискретном случае резонансу вида Л Л *=1, !»*— причем в области Зигеля т,;О, т»)0, ~Л (Ф14"(3 ~. Мы предположим, что Л» по модулю больше 1, а Л, меньше 1. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ [Гл. 6 Результаты Пяртли и Брюно в этом случае означают существование инвариантных многообразий, заполняющих в пространстве с координатами (г, г„гз) поверхность, уравнение которой начинается с членов вида г = г'," г',"*. Здесь е — отклонение от резонанса, а (г„г,) — подходящие (гладко зависящие от е) фазовые координаты. При фиксированном ечьО построенное инвариантное многообразие гомеоморфно цилиндру. Кбэффициенты зацепления направляющей окружности этого цилиндра с координатными осями в С равны т, и т,.
Мы покажем, что существование достаточно большого куска такого резонансного инвариантного многообразия в окрестности нерезонансной неподвижной точки диффеоморфизма препятствует линеаризации диффеоморфизма в этой окрестности. Следовательно, в случае, когда резонансные многообразия имеются в любой окрестности неподвижной точки, линеарязующие ряды всюду расходятся. Топологичееки все отображения С' с [Хт() 1>(Х,~ эквивалентны друг другу. В частности, все они линеаризуются и имеют много инвариантных цилиндров. Однако аналитические инвариантные цилиндры являются, как мы увидим, большой редкостью.
3. Локальные сдвиги. Мы собираемся связать с резонансным инвариантным многообразием отображения С'-+ С эллиптическую кривую, вложенную в голоморфную поверхность. Эта поверхность — многообразие орбит нашего отображения (или многообразие фазовых кривых исходного дифференциального уравнения в С ). Чтобы точно определить многообразие орбит, введем следующую терминологию. Рассмотрим цилиндр З[хй. Стандартным сдвигом цилиндра называется прибавление' 1 ко второй координате.
Пусть 0 — область на цилиндре, содержащая 3 х10, 11. Сужение стандартного сдвига на Рв задает диффеоморфизм 1: Р, — Р,= 1(Р,). Заметим, что пересечение РАПР, содержит окружность 3'х1. Обозначим через 0 объединение Р,ОР,. Пусть М вЂ” двумерное многообразие, М, и М,— его области, ): М, — М, — гомеоморфизм. Определение. Гомеоморфизм г называется локальным сдвигом, если существует гомеоморфизм )[: М-ФР, переводящий М вР,М,вР, и~в1.
Пусть М вЂ” комплексная кривая, и Г: М,-Ф-М,— голоморфный локальный сдвиг. Тогда склеивание каждой точки г ен Мь с ее образом 1(г) ен М, определяет компактную комплексную кривую, гомеоморфную тору, т. е. эллиптическую кривую Г =- М4. l. 1 Доказательство очевидно. Р ПЕРЕСТРОИКИ ТОПОЛОГИИ ПРИ РЕЗОНАНСАХ ззз з м! Рассмотрим теперь прямое произведение цилинДра на плоскость П=(Е~хй)хй. Пусть Т: П-«П — сдвиг на 1 вдоль Р, Ż— окрестность ПАХО, Е1 —— ТЕа, Е=ЕАОЕ;. Пусть У вЂ” гладкое вещественное четырехмерное многообразие, М ~ У вЂ” двумерное подмнопюбразие, Уг и У,— области в У = = УА() Ум Р: У,-«УЗ вЂ” гомеоморфизм. Определение. Гомеоморфизм Р называется локальным сдвигом У вдоль М, если существует гомеоморфизм Н: У-».Е, переводящий У, в Е„У, в Е„Р в Т и М в Р.
Пусть У вЂ” комплексная - поверхность, М с: У вЂ” комплексная кривая, Р: ӄ— «У, — еоломорфный локальный сдвиг вдоль М. Тогда склеивание каждой точки генУЕ с ее образом Р(г) ееУА определяет голоморфную комплексную поверхность г,'=У/Р, являющуюся окрестностью эллиптической кривой Г=М/~. 4 Доказательство очевидно. Р И.
Построение эллиптической крцвой по резонансному инвариантному многообразию линейного преобразования. Пусть А: С*-»- ч~ — линейное преобразование с собственными числами Зт, Д„(ДЗ~)1)~),(. Предположим, что собственные числа удовлетворяют резонансному соотношению Л~ Д'," =1, где т, и т, взаимно просты.
Тогда цилиндр с уравнением г'," г',"*=! (где г„ г, †координа в собственном базисе) инвариантен относительно А. Сужение А на этот цилиндр задает голоморфный сдвиг. Действительно, униформизуем кривую Д'," Д',"~ = 1 параметром ЛФ О по формуле Д,=Л ', Д,=Л ', на цилиндре введем параметр 2 ~ О по формуле г, = Я ', гз=2 '. Тогда действие А на цилиндре принимает вид Я ЛЯ. Это преобразование является голоморфным сдвигом, так как ~ Л ~ ) 1. Соответствующая эллиптическая кривая есть С ~(Л) ыС!(2пл,+вУ), где Л=е'". Заметим,-что линейное преобразование имеет в случае резонанса целое однопараметрическое семейство голоморфных инвариантных цилиндров г, *г, * = с, с чь О.
Эллиптические кривые, построенные по всем этим цйлиндрам, изоморфны. Подходящая окрестность любого такого цилиндра (или его достаточно большого конечного куска) превращается при факторизации по действию А в окрестность эллиптической кривой на комплексной поверхности. Эта поверхность — прямое произведение эллиптической кривой на С. Действительно, гомотетии г йг определяют проекцию на эллиптическую кривую, а отображение г г',"*г',"* — проекцию на второй сомножитель. В частности, индекс самопересечени я эллиптической кривой в построенной поверхности равен нулю. ТЕОРИЯ ВИФУРКАЦИИ ~гл.
6 К. Построение эллиптической кривой по резонансному иивариантному многообразию нелинейного преобразования. Пусть А (е): У-~- С' — биголоморфное отображение области 0 с: С в С, голоморфно зависящее от параметра е. Мы предполагаем, что а меняется в окрестности нуля в С, и что все отображения А (е) оставляют на месте начало координат в С'. Обозначим через Л„3 собственные числа линеаризации отображения А(0) в О.
Мы предполагаем, что (Лт(>1)(Л,) и что Л'," =Л вЂ”,"1, где т, и т, взаимно просты. Для семейства А общего положения при прохождении при е = 0 резонанса от сепаратрис неподвижной точки ответвляется инвариантный голоморфный резонансный цилиндр (см. п. Ж). Зафиксируем достаточно малое е и рассмотрим сужение А (е) на этот цилиндр. Можно проверить, что А (е) индуцирует на соответствующей части цилиндра локальный голоморфный сдвиг. ~Это следует из того, что 1) цилиндр имеет в первом приближении уравнение г'," г',"*=с(е); 2) А (е) близко к лннеаризации А (0) в 0; 3) линк.- ризация А (0) в 0 действует на цилиндре г," г,"*=с как локальный сдвиг (см. п. И).1 Итак, при достаточно малых ~е! отображение А(е) определяет эллиптическую кривую Г (е).
вложенную в поверхность - Х (е). В гомологиях кривой Г(е) имеется отмеченная окружность (образ направляющей окружности цилиндра). Кривую Г(е) можно представить в виде Г (е) — С/(2п2! + а (е) У), где 2п соответствует отмеченной окружности. Функция ы (е) имеет при .е-~-0 предел оЪ, Из формул п. И следует, что Л,=е'"э"'*, Л,=е — '"" Индекс самопересечения кривой Г в поверхности л равен нулю.
Поэтому топологически л является прямым произведением Г на диск., Однако аналитически Х вЂ” не обязательно прямое произведение. Более того, 1) г. может не быть голоморфным расслоением над Г; окрестность Г в Х может не допускать голоморфных отображений на Г тождественных иа Г. Так будет, например, в случае, когда рядом с Г в Е есть семейство эллиптических кривых с разными значениями модуля в. 2) Г может не допускать в Х деформаций, отличных от сдвигов Г по себе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
